Transcript Matematika a zenében

Matematika a
zenében
A Fourier-elemzés
• Fourier-elemzésnek nevezett matematikai
tételből következik, hogy minden periodikus
rezgés megfelelő számú tiszta, színuszos
részrezgés eredőjeként is felfogható. Ezeknek
a részrezgéseknek a körfrekvenciái az
előforduló legkisebb körfrekvencia egész
számú többszörösei lesznek.
…mindez képlettel
ahol
n = 1, 2, 3, ….
y(t) az elemzett periodikus
rezgés pillanatbeli kitérése,
αn az egyes részrezgések
csúcsértéke, amplitúdója,
ω0 = 2π x f0, ahol f0 az elemzett
periodikus rezgés
alapfrekvenciája, φn az egyes
részrezgések kezdeti fázisszöge.
Grafikonon ábrázolt rezgésciklusok:
A felhangsor
A részhangok és a felhangsor fogalma
nem más, mint ennek az
összefüggésnek a hangok világára való
alkalmazása.
A felhangsor az akusztikus
hangszereknél játszik szerepet, de
vannak kivételek. Többek között a
zongora, a hárfa és a gitár (bundozott).
Ennek kapcsán írta J. S. Bach –
Wohltemperiertes Klavier (= Jól
hangolt zongora) c. művét.
Az alábbi ábrán a „C” hang felhangsora
látható.
A felhangsor
Az előző ábrán látható
felhangsor számozásából
rezgésszám aránypárokat
kapunk, melyekből megkapjuk a
hangköz nagyságát (ti. a két
hang rezgésszámának
hányadosát, vagyis a két hang
távolságát).
Mindez fizikai szemszögből ábrázolva:
A felhangsor
Nézzük tehát a legfontosabb hangközök aránypárjait!
•Az oktáv:
Akkor jön létre, ha a két hang rezgésszámának aránya 1:2
A zeneelmélet legfontosabb hangköze
A hangrendszerekben a hangok magassági viszonyainak alapegysége
Különböző népek, különböző korokban, eltérő módszerek alapján alakították ki
hangrendszereiket, egy dolog azonban majdnem az összesben közös, hogy a hangok
viszonya egymáshoz képest oktávonként megismétlődik
Ennek fizikai magyarázata van, mivel az oktávot alkotó hangok jól szólnak együtt,
hasonlítanak egymásra
A különböző hangnemek skálái is az alaphangtól, az alaphang oktávhangjáig tartanak,
mivel utána minden hangköz megismétli önmagát
A felhangsor
•A kvint
Akkor jön létre, ha a két hang rezgésszámának aránya 2:3
Ezt szokták a második legfontosabb hangköznek nevezni
Ez is nagyon jól szól együtt, ezért hangzatok fontos alkotórésze
Ilyen hangközzel hangolják a szomszédos húrokat
a hegedűn
a brácsán
a csellón
a mandolinon
a német citerán
•A kvart
Akkor jön létre, ha a két hang rezgésszámának aránya 3:4
A kvint kiegészítő hangköze, mivel együtt egy oktávot tesznek ki
(Hangközöket úgy tudunk összeadni, hogy a rezgésszámok arányát
kifejező törteket összeszorozzuk)
Erre hangolják a nagybőgő és a basszusgitár húrjait, illetve egy-egy
hangköztől eltekintve a lant és a gitár húrjait is
A felhangsor
•A terc
Ha a két hang rezgésszámának aránya 4:5, akkor a hangközt nagytercnek nevezzük
Ha 5:6, akkor a hangközt kistercnek hívjuk
Együtt egy kvintet alkotnak
•A szekund
A második legkisebb hangköz (ti. a legkisebb hangköz a prím, de a gyakorlatban nem
létezik, mivel hangközaránya 1:1)
A szekundnak nincs meghatározott aránypárja
A felhangsor 8. fokától „felfelé” már csak kis- és nagyszekundok vannak
Két nagy szekund egy nagytercet alkot
Egy kisszekund és egy nagyszekund együtt, egy kistercet alkot
A felhangsor
Ez itt a természetes hétfokú
hangsor. Attól természetes,
hogy a természetes
felhangrendszer darabjai
fedezhetők fel benne, és attól
hétfokú, hogy oktávonként hét
hangból áll. Nézzük meg
közelebbről, számozzuk meg a
hangokat, majd írjuk le ezeket a
sorszámneveket latinul:
A felhangsor
Ábrázoljuk végül a felhangsort
számegyenesen úgy, hogy
feltűntetjük az aránypárok
neveit is!
Zárógondolatok
Mivel idén született 200 éve Liszt Ferenc, ezért nem fejezhetem be mással, mint pár szóval a
zongora hangterjedelméről, és annak fejlődéséről. (A hangközöknél - így a
hangterjedelemnél is - a hangok számába beleszámoljuk a kezdő- és záróhangot is)
1. A klaviatúra terjedelme Christofori gravicembalo col pian e fortéján 1700 körül 4 és fél
oktáv (54 hang).
2. A klaviatúra terjedelme Silbermann, Stein zongoráin és az angol zongorákon az 1770-es
évekig 5 oktáv (61 hang).
3. Broadwood ért el előszőr 5 és fél oktáv terjedelmet 1792 körül (68 hang).
4. A bécsi zongorák körében 1805 körül mindennapinak számított a 6 oktávos terjedelem
(73 hang).
5. Az angol zongorák 1805 körül általában 6 oktávos terjedelműek voltak (73 hang).
6. Egy 18. század közepén készült zongora jellemző hangterjedelme 82 hang volt.
7. Napjaink standard hangterjedelme 7 és 1/4 oktáv (88 hang)
8. A Bösendorfer Imperial koncertzongoráknak 8 oktáv a hangterjedelme (97 hang)
Bibliográfia
Források:
http://www.mek.iif.hu/porta/szint/human/zene/kaboca01/html/dalla1.htm
http://hu.wikipedia.org/wiki/Felhangsor
John-Paul Williams : A Zongora
Kiegészítve zenei tanulmányaimmal. /Kővári Gergő/
Készítették
Joó Róbert (fizikai elméleti rész)
Nádas László (fizikai elméleti rész)
Kővári Gergő (egyéb zeneelméleti részek)
2011. február 9.