Transcript Document 7747929

İKİ ORTALAMA ARASINDAKİ FARK
TESTİ (GENİŞ ÖRNEKLEM)
 Varsayımlar:
 Örneklemler birbirinden bağımsızdır.
Örneklemdeki elemanlar arasında
ilişki yoktur.
 Örneklemlerin seçildiği
populasyonlar normal dağılıma
sahiptir ve standart sapmaları
biliniyordur veya örneklem
büyüklükleri 30’dan büyüktür.
Çift Kuyruklu
H0 = µ1 - µ2 = 0
H1 = µ1 - µ2 ≠ 0
/
/
H0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 ≠ µ2
/
/
H0 : µ1 ≤ µ2
H1 : µ1 > µ2
/
/
H0 : µ1 ≥ µ2
H1 : µ1 < µ2
Sağ Kuyruklu
H0 = µ1 - µ2 ≤ 0
H1 = µ1 - µ2 > 0
Sol Kuyruklu
H0 = µ1 - µ2 ≥ 0
H1 = µ1 - µ2 < 0
’lar biliniyorsa  z testi kullanılır.
 ’lar biliniyorsa

X
z
1

 X 2  1  2 
 12  22

n1 n2
 ’lar bilinmiyor ama n1 ≥ 30 ve
n2 ≥ 30 ise

X  X      
z
1
2
1
s12 s22

n1 n2
2
Sorunun çözümünde izlenecek
basamaklar:
 Hipotezlerin kurulması ve iddianın belirlenmesi
 Kiritik değer (ler)in belirlenmesi
 Test değerinin hesaplanması
 Karşılaştırma yapılarak karar verilmesi
 sonuçların yorumlanması
 p-değeri yöntemiyle çözümde izlenecek basamaklar:
 Hipotezlerin kurulması ve iddianın belirlenmesi
 Test değerinin hesaplanması
 p-değerinin hesaplanması
 Karşılaştırma yapılarak karar verilmesi
 sonuçların yorumlanması
İki Ortalama Farkı İçin Güven Aralığı
Hesaplanması


2
2
1  2 

 X 1  X 2  z 2 n  n 
1
2




•’lar bilinmiyor ama n1 ≥ 30 ve n2 ≥ 30 ise
2
2

s1
s2 
 X1  X 2  z


2 n n


1
2




Örnek 1:
 Bir işletmenin insan kaynakları müdürü,
pazarlama ve finans bölümlerinde çalışanların
performans düzeylerinin eşit olup olmadığını
merak etmektedir. Pazarlama bölümünden 32,
finansman bölümünden 37 kişilik örneklemler
alır. Pazarlama bölümünün performans
değerlendirme ortalaması 85, standart sapması
11, finansman bölümünün performans
değerlendirme ortalaması 80, standart sapması
ise 8 bulunur.
 a. % 5’lik anlamlılık düzeyinde iki bölümün
performans düzeylerinin eşit olmadığını iddiasını
test edin.
 b. p-değeri yöntemi ile çözün.
 c. % 90’lık güven aralığı hesaplayın.
Örnek 2:
 Bir bankada yeni bir çalışma sistemi sayesinde
müşterilerin bekleme sürelerinin azaltılacağı
iddia edilmektedir. Eski ve yeni sistemin
uygulandığı bankalarda 100’er kişilik örneklem
seçilerek müşterilerin bekleme süreleri
kaydedilmiştir. Eski sistemin uygulandığı
bankadan seçilen örnekleminin bekleme süresi
ortalaması 8 dakika, standart sapması 4 dakika,
yeni sistemin uygulandığı bankadan seçilen
örnekleminin bekleme süresi ortalaması 6
dakika, standart sapması 2 dakika bulunmuştur.
 İddiayı % 1’de test edin
 p-değeri yöntemiyle çözün.
 %95’lik güven aralığı hesaplayın.
İKİ VARYANS
ARASINDAKİ FARK TESTİ
İKİ VARYANS ARASINDAKİ FARK TESTİ
 İki varyans arasında fark test etmek için F testi
kullanılır.
 İki normal dağılıma sahip populasyondan (12=
22) iki bağımsız örneklem seçtiğimizde, s12 /
s22 varyanslarının dağılımı F dağılımını
oluşturur.
 F Dağılımının Özellikleri:
 F değerleri negatif olamaz, çünkü varyanslar 0 veya
pozitiftir.
 F dağılımı sağa yaslılık gösterir.
 F’in ortalam değeri !’dir.
 F dağılımının şekli pay (numerator) ve paydaya
(denominator) yazılan varyansların serbestlik
derecelerine göre (n1-1, n2-1) değişir.
Çift Kuyruklu Hipotez Testi
 H0 : 12= 22
 H1 : 12 ≠ 22
 Test değeri:
s2
1
F 
s2
2
s12 = varyanslar içinde büyük olan (her zaman paya
yazılır).
Kritik değer
 Kritik değer:
 Fkr =Farklı  değerleri için farklı F tabloları
vardır. Tek kuyruklu testlerde doğrudan  için
hazırlanan f tablosu kullanılır. Çift kuyruklu
testlerde /2 için olan F tablosu kullanılır.
 F tablolarında iki serbestlik derecesi vardır.
 Numerator = df1 = n1 – 1;
 denominator = df2 = n2 – 1
 n1 = büyük varyansa sahip olan örneklem
büyüklüğü
Örnek1:
 Bir araştırmacı devlet üniversitesi ve özel
üniversite okuyan öğrencilerin başarı notu
varyanslarının birbirinden farklı olduğunu
iddia etmektedir. Her iki gruptan 20’şer
öğrenci seçilerek bir test uygulanmıştır.
Devlet üniversitesi öğrencilerinin notlarının
varyansı 103, özel üniversite öğrencilerinin
notlarının varyansı 73 bulunmuştur. İddiayı
=0,05 için test edin.
Çözüm
F
 H0 : 12= 22

H1 : 12 ≠ 22 (iddia)
2
s
 1
= 103/73 =1,41
s2
2
 Fkr = F
0,025; 19,19
=2,62
 1,41< 2,62 ise null hipotez reddedilemez.
(12= 22)
Örnek2:
 Nike ve Adidas marka spor
ayakkabılarının aylık satışlarının
varyanslarının eşit olup olmadığı test
edilmek istenmektedir. Rastlantısal
olarak seçilen 15 nike bayiinden
alınan satışların standart sapması 35,
21 adidas bayiinden alınan satışların
standart sapması 28 bulunmuştur.
=0,01 için testi yapın.
Çözüm
F
 H0 : 12= 22

H1 : 12 ≠ 22 (iddia)
2
s
 1
= 352 / 282 =1,56
s2
2
 Fkr = F
0,005; 14;20
=3,68
 1,56 < 3,68 ise null hipotez reddedilemez.
(12= 22)
İKİ ORTALAMA ARASINDAKİ FARK TESTİ (KÜÇÜKBAĞIMSIZ ÖRNEKLEM t-TESTİ)
 Populasyonun satndart sapması bilinmediğinde
ve bir veya iki örneklemin büyüklüğü 30’dan
küçük olduğunda ve iki örneklem bağımsız
olduğunda t-test (bağımsız örneklem
t-testi) kullanılır.
Bağımsız örneklem t testi
 Varyanslar eşit (homojen) değilse

X
t 
1

 X 2  1   2 
s12
s22

n1
n2
tkr için df = küçük olan n – 1
 Varyanslar eşit (homojen) ise
t
X
1

 X 2  1   2 
n1  1s12  n2  1s22
n1  n2  2
tkr için df = n1 + n2 – 2

1
1

n1
n2
Güven aralığı:
 Küçük Örneklemler (varyanslar eşit değilse)


 X 1  X 2  t 2


2
2
s2
s1

n1
n2





 Küçük Örneklemler (varyanslar eşitse)






n1  1 s12  n2  1 s22 1
1 


 X 1  X 2  t 2
n1  n2  2
n1 n2 






Ör 1:
 Bir araştırmacı kız öğrencilerin okula
devamsızlıklarının erkek öğrencilerden
daha fazla olduğunu iddia etmektedir.
Rastlantısal olarak seçilen 16 kız
öğrencinin devamsızlık ortalaması 3,9
gün, standart sapması 0,6 gündür. 22
erkek öğrencinin devamsızlık
ortalaması 3,6 gün standart sapması
0,8 gündür. İddiayı =0,01 için test
edin. % 95 lik güven aralığını
hesaplayın.
Ör 2:
 Bir fabrikada aynı işi yapan iki
makineden A makinasının B’den
daha az üretim yaptığı iddia
edilmektedir. A makinasının 15
günlük üretim ortalaması 94,
standart sapması 5 birim iken, B
makinasının 10 günlük üretim
ortalaması 98, standart sapması
12 bulunmuştur. İddiayı
=0,10’da test edin.
İKİ ORTALAMA ARASINDAKİ FARK
TESTİ (KÜÇÜK-BAĞIMLI
ÖRNEKLEM)
 Örneklemlerin bağımlı olduğu
durumlarda (aynı örneklem üzerinde
yapılan iki farklı ölçüm) bağımlı /
eşleştirilmiş örneklem t-testi
(dependent / paired sample t-test)
kullanılır.
 D: difference
 µD = µ 1 - µ2
 Çift Kuyruklu
 H0 : µD = 0
 H1 : µD ≠ 0
 Sağ Kuyruklu
 H0 : µD ≤ 0
 H1 : µD > 0
 Sol Kuyruklu
 H0 : µD ≥ 0
 H1 : µD < 0
 D = X1 – X2
D
D
n
D  D
t
sD n
df = n – 1
2 
2 


D

D
n

 

sD 
n 1
D  t kr
sD
n
Örnek1:
 Bir turizm işletmecisi, genel müdürü olduğu
otel zincirine bağlı otellerde bir yıl boyunca
yapılan promosyon çalışmalarının, bir yıl
önceki sayılara oranla müşteri sayısında
artış sağladığını iddia etmektedir.
Rastlantısal olarak seçilen yedi otelin, 2002
ve 2003 yıllarındaki Temmuz ayı müşteri
sayıları aşağıda aşağıdaki tablodadır.
 a. =0,01 için müdürün iddiasını destekleyecek
kanıt var mıdır? Sonucu yorumlayın.
 b. Gerçek fark ortalamasını (µD) içeren %99 luk
güven aralığını hesaplayın.
Oteller
1
2
3
4
5
6
7
Temmuz 2002
300
280
305
350
400
190
340
Temmuz 2003
320
290
290
375
415
185
360
D
D2
Örnek2:
 Bir diyetisyen belli vitamin ve
minerallerle güçlendirilmiş bir diyetin
kolesterol seviyesini düşüreceğini
iddia etmektedir. 6 denekten diyet
öncesi ve sonrası kolesterol ölçümleri
alınmıştır.
 a. 0,05 anlamlılık düzeyinde iddiayı test
edin
 b. Gerçek ortalama farkı için %95’lik
güven aralığı oluşturun.
Denek no
1
2
3
4
5
6
Ön ölçüm
210
235
208
190
172
244
Son ölçüm
190
170
210
188
173
228
D
D2
İKİ ORAN ARASINDAKİ FARK TESTİ
z 
pˆ1  pˆ2   p1  p2 
 1
1 

pq

n
n
2
 1
X  X2
X
p 1
; p̂1  1
n1  n2
n1
pˆ1  pˆ2   z 2
X2
q  1  p ; p̂ 2 
n2
ˆ1q
ˆ1 p
ˆ2q
ˆ2
p

n1
n2
Örnek1:
 İstanbul’da yapılan bir araştırmada
rastlantısal olarak seçilen 150 kişilik
örneklemde 80’inin alkol alışkanlığı
olduğu görülmüştür. Ankara’da
yapılan çalışmada seçilen 100 kişiden
30’u alkol kullanmaktadır. 0,05
anlamlılık düzeyinde iki ildeki alkol
kullanım oranının farklı olup
olmadığını test edin. % 99’luk güven
aralığı oluşturun.