Transcript VECTOR CROSS PRODUCT Oleh : Warsun Najib Jurusan Teknik Elektro FT UGM

VECTOR
CROSS PRODUCT
Oleh : Warsun Najib
Jurusan Teknik Elektro FT UGM
Vektor Product (Cross Product)

Hasil perkalian Dot product adalah skalar. Dlm beberapa aplikasi,
misalkan berkaitan dengan rotasi, diperlukan perkalian vektor

Definisi
Cross Product a x b antara vektor a  [a1 , a2 , a3 ] dan b  [b1 , b2 , b3 ]
adalah sebuah vek tor
v
v  a  b, length : v  a b sin 


b
a
|v| merupakan luas parallelogram pd gambar di atas.
Arah v = a x b tegaklurus kedua vektor a dan b dan a, b, v
sedemikian sehingga membentuk aturan tangan kanan.
Warsun Najib, 2005
2
Aturan tangan kanan v = a x b
v
a
b
a
b
v
Warsun Najib, 2005
3
Vektor Product (Cross Product)

Dalam bentuk komponen vektor
v
v  [v1 , v2 , v3 ]
 [ a2b3  a3b2 , a3b1  a1b3 , a1b2  a2b1 ]

b
a
Utk mengingat rumus di atas (ingat rumus determinan matrik)
3
i
j
k
a  b  a1
a2
a3
b1
b2
b3
i
j
k
a  b  a1 a2
b1 b2
i  j    ijk k
k 1
 ijk  1 if ijk  123,231,312
 ijk  1 if ijk  321,132,213
 ijk  0 if any two indices are alike
i
j
a3 a1 b2
b3 b1 b2
Warsun Najib, 2005
4
General Properties of Vector Products:
Sifat Skalar
( q a )  b  q ( a  b)  a  ( qb)
Sifat Distributi f
a  (b  c)  (a  b)  (a  c)
(a  b)  c  (a  c)  (b  c)
Not Commutative a  c  c  a
( i  j  j  i )
Anti Commutative b  a  (a  b)
Not Associativ e
 
a  (b  c)  (a  b)  c ( i  i  j  i  i  j )
Warsun Najib, 2005
5
Penerapan Cross Product

Momen Gaya

Hal 417
Warsun Najib, 2005
6
Applications of Vector Product
Moment of a force

|P|=1000 lb
30o
Find moment of force P about the
center of the wheel.
1,5 ft
P  [1000 cos 30, 1000 sin 30, 0]
 [866, 500, 0]
r  [0,  1.5, 0] (pusat roda pada titik y  1,5)
i
j
k
0
m  r  p  0  1.5 0  0i  0 j 
866
866 500 0
 1.5
500
k  [0, 0, 1299]
Vektor moment (m) tegak lurus thd bidang roda
Warsun Najib, 2005
7
Scalar Triple Product
Scalar triple product dari tiga vektor
a  [a1 , a2 , a3 ], b  [b1 , b2 , b3 ],
c  [c1 , c2 , c3 ]
ditulis (a b c) didefinisi kan sebagai
(a b c)  a  (b  c) andaikan b  c  v  [v1 , v 2 , v 3 ]
a  (b  c)  a  v  a1v1, a2 v2 , a3v3
 b3 b1 
b1 b2
  a3
 a1
 a2  

c2 c3
c
c
c1 c2
3
1


Ini mrpk ekspansi determinan orde 3 mnrt brs pertama, shg
b2
b3
a1 a2
(a b c)  a  (b  c)  b1
c1
b2
c2
a3
b3
c3
Warsun Najib, 2005
8
Scalar Triple Product
Geometric representation

bxc

a
β
h

c
a,b,c vektor
β sudut antara (bxc)
dan a
h tinggi parallelogram
b
Besar a  (b  c)
| a  (b  c) || a || b  c | cos 
| a | cos   height h
jajaran genjang alas dg sisi b dan c mempunyai luas area | b  c |
Warsun Najib, 2005
9
Referensi

Advanced Engineering Mathematic, chapter 8
Warsun Najib, 2005
10