VECTOR CROSS PRODUCT Oleh : Warsun Najib Jurusan Teknik Elektro FT UGM
Download
Report
Transcript VECTOR CROSS PRODUCT Oleh : Warsun Najib Jurusan Teknik Elektro FT UGM
VECTOR
CROSS PRODUCT
Oleh : Warsun Najib
Jurusan Teknik Elektro FT UGM
Vektor Product (Cross Product)
Hasil perkalian Dot product adalah skalar. Dlm beberapa aplikasi,
misalkan berkaitan dengan rotasi, diperlukan perkalian vektor
Definisi
Cross Product a x b antara vektor a [a1 , a2 , a3 ] dan b [b1 , b2 , b3 ]
adalah sebuah vek tor
v
v a b, length : v a b sin
b
a
|v| merupakan luas parallelogram pd gambar di atas.
Arah v = a x b tegaklurus kedua vektor a dan b dan a, b, v
sedemikian sehingga membentuk aturan tangan kanan.
Warsun Najib, 2005
2
Aturan tangan kanan v = a x b
v
a
b
a
b
v
Warsun Najib, 2005
3
Vektor Product (Cross Product)
Dalam bentuk komponen vektor
v
v [v1 , v2 , v3 ]
[ a2b3 a3b2 , a3b1 a1b3 , a1b2 a2b1 ]
b
a
Utk mengingat rumus di atas (ingat rumus determinan matrik)
3
i
j
k
a b a1
a2
a3
b1
b2
b3
i
j
k
a b a1 a2
b1 b2
i j ijk k
k 1
ijk 1 if ijk 123,231,312
ijk 1 if ijk 321,132,213
ijk 0 if any two indices are alike
i
j
a3 a1 b2
b3 b1 b2
Warsun Najib, 2005
4
General Properties of Vector Products:
Sifat Skalar
( q a ) b q ( a b) a ( qb)
Sifat Distributi f
a (b c) (a b) (a c)
(a b) c (a c) (b c)
Not Commutative a c c a
( i j j i )
Anti Commutative b a (a b)
Not Associativ e
a (b c) (a b) c ( i i j i i j )
Warsun Najib, 2005
5
Penerapan Cross Product
Momen Gaya
Hal 417
Warsun Najib, 2005
6
Applications of Vector Product
Moment of a force
|P|=1000 lb
30o
Find moment of force P about the
center of the wheel.
1,5 ft
P [1000 cos 30, 1000 sin 30, 0]
[866, 500, 0]
r [0, 1.5, 0] (pusat roda pada titik y 1,5)
i
j
k
0
m r p 0 1.5 0 0i 0 j
866
866 500 0
1.5
500
k [0, 0, 1299]
Vektor moment (m) tegak lurus thd bidang roda
Warsun Najib, 2005
7
Scalar Triple Product
Scalar triple product dari tiga vektor
a [a1 , a2 , a3 ], b [b1 , b2 , b3 ],
c [c1 , c2 , c3 ]
ditulis (a b c) didefinisi kan sebagai
(a b c) a (b c) andaikan b c v [v1 , v 2 , v 3 ]
a (b c) a v a1v1, a2 v2 , a3v3
b3 b1
b1 b2
a3
a1
a2
c2 c3
c
c
c1 c2
3
1
Ini mrpk ekspansi determinan orde 3 mnrt brs pertama, shg
b2
b3
a1 a2
(a b c) a (b c) b1
c1
b2
c2
a3
b3
c3
Warsun Najib, 2005
8
Scalar Triple Product
Geometric representation
bxc
a
β
h
c
a,b,c vektor
β sudut antara (bxc)
dan a
h tinggi parallelogram
b
Besar a (b c)
| a (b c) || a || b c | cos
| a | cos height h
jajaran genjang alas dg sisi b dan c mempunyai luas area | b c |
Warsun Najib, 2005
9
Referensi
Advanced Engineering Mathematic, chapter 8
Warsun Najib, 2005
10