Problemas geométricos: Una visión sintética y analítica

Alfonsa García López Universidad Politécnica de Madrid Dibujo técnico y matemáticas: una consideración interdisciplinar Universidad Internacional Menéndez Pelayo Santander. Septiembre 2006

Contenido • • • • • • • Introducción El enfoque sintético-analítico Una caja de herramientas Los triángulos Polígonos regulares Proyectos para el aula Bibliografía Dibujo técnico y matemáticas. Santander, 2006

Pintores y Matemáticas …

Si tú, músico me dices que tan sólo las ciencias de la mente no son mecánicas, te replicaré que la pintura es de la mente, y que, así como la geometría y la música consideran proporciones de las cantidades continuas y la aritmética de las discontinuas, aquélla considera todas las cantidades continuas y cualidades de las proporciones, las sombras, la luz y las distancias según perspectivas.

Leonardo da Vinci (Tratado de Pintura) Dibujo técnico y matemáticas. Santander, 2006

Hablamos de geometría • • • • • Estudio de las propiedades y medidas de las figuras en el plano y en el espacio.

Herramienta para explicar la realidad.

Íntima relación entre el razonamiento intuitivo y el método deductivo.

Métodos sintéticos.

Métodos analíticos.

Dibujo técnico y matemáticas. Santander, 2006

Realidad del aula: figuras y ecuaciones • • Dibujo técnico: Construcciones geométricas con regla y compás.

Software de dibujo y de geometría dinámica.

• • • Matemáticas: Métodos de la geometría analítica. Software de cálculo simbólico.

Búsqueda de conexiones.

Dibujo técnico y matemáticas. Santander, 2006

El enfoque sintético analítico Arco capaz de 90º • • • • P=(x,y) verifica x 2 +y 2 =a 2 PA=(x+a,y) PB=(x-a,y) El p. escalar de los vectores PA y PB es x 2 - a 2 +y 2 =0 Dibujo técnico y matemáticas. Santander, 2006

Pero si las cuentas y los dibujos se complican, viene bien un ayudante • • • • que haga las cuentas y los dibujos, que nos ayude a experimentar, a elaborar conjeturas, a demostrar resultados.

Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.

Un sistema de

cálculo

simbólico

• • • • Tiene menos prestaciones gráficas que un programa de dibujo geométrico.

Pero permite trabajar simultáneamente con las ecuaciones y las figuras correspondientes.

Permite definir funciones para usarlas con distintos datos.

Permite abordar problemas desde el punto de vista sintético-analítico.

Dibujo técnico y matemáticas. Santander, 2006

Operaciones básicas • • • • • Las herramientas básicas del dibujo son la regla y el compás. Las operaciones básicas, trazar segmentos y circunferencias.

Estas dos operaciones se pueden hacer automáticamente con Derive y obtener ecuaciones y dibujos.

Pero además se pueden medir ángulos distancias y áreas.

Se pueden hacer cálculos numéricos y simbólicos.

Ejemplo Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.

La caja de herramientas • • • • • • • • • Distancia(P,Q):=|P-Q| Punto_medio(P,Q):=(P+Q)/2 Circunferencia(P,Q):=(x-P 1 ) 2 +(y-P 2 ) 2 =|P-Q| 2 Recta(P,Q):=(Q 1 -P 1 )(y-P 2 )=(Q 2 -P 2 )(x-P 1 ) Paralela(P,Q,R):=(Q 1 -P 1 )(y-R 2 )=(Q 2 -P 2 )(x-R 1 ) Perpendicular(P,Q,R):=([x,y]-R) • (Q-P)=0 Angulo(u,v):=acos(u•v/|u| |v|) area_triangulo(P,Q,R):= |det([[1,P 1 ,P 2 ],[1,Q 1 ,Q 2 ],[1,R 1 ,R 2 ]])| .........

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Mediatriz de un segmento. VER Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.

Teorema de Vangnon

• • Si en cuadrilátero convexo cualquiera, se unen los puntos medios en el orden dado la figura es un paralelogramo y su área es la mitad que la del cuadrilátero original.

Demostración Dibujo técnico y matemáticas. Santander, 2006

La divina proporción A TI, maravillosa disciplina, media, extrema razón de la hermosura que claramente acata la clausura viva en la malla de tu ley divina.

A ti, cárcel feliz de la retina, áurea sección, celeste cuadratura, misteriosa fontana de mesura que el Universo armónico origina.

A ti, mar de los sueños angulares, flor de las cinco formas regulares, dodecaedro azul, arco sonoro.

Luces por alas un compás ardiente.

Tu canto es una esfera transparente.

A ti, divina proporción de oro.

Alberti Dibujo técnico y matemáticas. Santander, 2006

Razón áurea • • La corrección de la construcción clásica se prueba con el teorema de Pitágoras (el segmento NM mide sqrt(5))/2).

En la práctica, conviene incluir en la caja de herramientas el segmento [A,A+(B-A)(1+sqrt(5))/2)] Dibujo técnico y matemáticas. Santander, 2006

Triángulos

• • • • • Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto (circuncentro).

Las alturas también se cortan (ortocento).

Las medianas también (baricentro).

Las bisectrices en el incentro.

Las coordenadas de estos puntos se pueden obtener analíticamente.

Dibujo técnico y matemáticas. Santander, 2006

Experimento-Conjetura-Prueba

• • • Dibuja un triángulo con los vértices sobre la hipérbola y=1/x Determina su ortocentro Modifica el triángulo, haz una conjetura y pruébala.

Experimento Dibujo técnico y matemáticas. Santander, 2006

Polígonos regulares

Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.

¿Cuál de los dos pentágonos es regular? (construir) Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.

La alternativa de los números complejos ( ver función ) • Se puede definir una función que determine los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en la circunferencia de radio r Dibujo técnico y matemáticas. Santander, 2006

Proyectos para el aula • • • Taller de matemáticas y dibujo con herramientas informáticas.

Ejercicios compartidos o al menos desde la clase de matemáticas. Conocer otras experiencias.

Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.

¿Sabrías dibujar esta figura?

Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.

Teorema de Napoleón Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.

Algunas páginas interesantes : http://descartes.cnice.mecd.es

http://www.acarioja.com/dibujo/geométrico http://www.matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=indice http://roble.pntic.mec.es/  jarran2/ http://centros5.pntic.mec.es/ies.marques.de.santillana/matem http://www.rescarrus.com/eduma/cabriderive/cabriderive.htm

http://www.recursos.pnte.cfnavarra.es/  msadaall/geogebra/ Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.