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Ch12
Infinite Sequence and
Series
無窮數列與級數
•
•
•
•
•
•
12.1 無窮數列
12.2 無窮級數
12.3 積分檢定法
12.4 比較檢定法
12.5 交錯級數
12.6 比值與根式檢定法與絕對收斂、條件
收斂
• 12.8 次方級數
• 12.9 以次方級數表示函數
• 12.10 Taylor 和 Maclaurin級數
2
12.2
Infinite Series
無窮級數
學習重點
• 知道無窮級數的定義
• 會利用極限方式判別無窮級數收斂
與否
• 知道且會利用等比級數判別檢定法
判別無窮等比級數收斂與否
• 會判別伸縮級數收斂與否
• 會利用發散檢定法判別無窮級數發
散與否
4
無窮級數
球走了多少路程?
5
無窮級數
1 1 1
1
1       n 1   
2 4 8
2
?
6
1 1 1
1
1       n 1   
2 4 8
2
部分和
?
符號表示 部分和
S1 =Sa1 1= a1
S 2 = a 1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
Sn = a1 + a2 + a3 +…+ an
…
…
7
無窮級數
1
 ak  a1  S1
2
k 1
 ak  a1  a2  S2
3
k 1
 ak  a1  a2  a3  S3
n
k 1
n
∞
k 1
…
 ak  a1  a2    ann  Sn
 ak  a1  a2    an   = S∞
k 1
8
無窮級數
• {S1, S2, S3, … , Sn , … }
– 無窮部分和數列
• 數列的極限 lim S n  S
n
• {S1, S2, S3, … , Sn , … , S∞}

Sn   a
S = S∞ = lim
k
n
k 1
9
無窮級數
• lim S 極限收斂  S  數列收斂
n
n 1
n
•

級數收斂
a
 k
k 1

lim
S
• n   n 極限發散  Sn 1 數列發散

•
 ak
k 1
級數發散
10
無窮級數
特殊級數
Series
檢定法
Tests
幾何級數
Geometric S.
發散檢定法
Divergence T.
伸縮級數
Telescoping S.
檢定法或特殊級數都是捷徑
11
無窮級數
• 幾何級數 Geometric Series
2
n
– 特點 a + ar + ar + … + ar + …
– 首項 = a, 公比 = r
– 判別
• |r| ＜ 1  幾何級數收斂
• |r| ≧ 1  幾何級數發散
a/1-r
∞
12
Example 2
10 20 40
5 

 
3 9 27
首項 = 5, 公比 = -2/3
5
3
 5  3
判別
2
5
|-2/3| ＜ 1  幾何級數收斂 1  ( 3 )
|-2/3| ≧ 1  幾何級數發散
13
Q 1(3/6)
1 1
1

  
9 27 81
?
(a) 3 2 (b) 2 3 (c) 1 6 (d) 1 9
2
1 1 1 1 1
      
9 9 3 9  3
1
6
首項 = 1/9, 公比 = 1/3
判別
19
1 3 1
  
|1/3| ＜ 1  幾何級數收斂
11 3 9 2 6
|1/3| ≧ 1  幾何級數發散
14

Example 3
2
2 n 1 n
3
n 1

2
n 1

3   (2 ) 3
2 n 1 n
 (2 ) 3
1

2 n  ( n 1)
2 n  ( n 1)
n 1



4
4
  n1   4 >1
n 1 3
n 1  3 
n

4
4
  n1   4  
n 1 3
n 1  3 
Diverges !!!
n
n 1
15
n 1
Example 4 Write the number as a
ratio of integers. 2.317  2.3171717...
2.317  2.3171717...
17 17 17
 2.3 首項
 5  7  
3
10 10 10
17
17
3
17 1000
10
1000
2.317  2.3 
2.3
2.3
1
99
99 100
1 2
10
100
1147
3

17 10
1
23
17

 495

17公比
10 5 10 2
10 990
16
Example 5
where
|x|
<
1.
x
n
n0

x

n
 1  x  x  x  x  
2
3
4
n 0

1
x 

1 x
n 0
n
|r | = |x| < 1, it converges
17
無窮級數
• 伸縮級數 Telescoping Series
– 特點
a b
1 1
 a  b    b  a , a  b


• 求 Sn
• 求 lim Sn , n→∞
18
Example 6
1 1 1 1 1 1
1
1
     
  
1 2 2 3 3 4
(n  1) n
• 求 Sn
伸
?
縮
1
1
1 
1 1   1 1 
  1 
           
(n  1)
1 2   2 3 
 n (n  1) 
• 求 lim Sn , n→∞
1 

1
lim 1 

n 
 n 1 
19
Q 2

2

n  2 n - 1n  1
(a) 發散
(b) 3/2
(c) 1
(d) 0

2
1 1 1 

 lim  1  - 

n 
2 n n 1

n  2 n - 1n  1
1 3

 1   
2 2

20
無窮級數
• 發散檢定法 Divergence Test
– 緣起
+
=
有限的水量
=
a1
+
+
a2
+
+ …
+…+
a3
+ …+
an
+ …
有限,
 0
21
無窮級數
• 發散檢定法 Divergence Test
– 依據

≠0 或不存在
22
無窮級數
• 發散檢定法 Divergence Test
– 對象：任何Σan
– 檢查： lim an
– 判定：
• 只有 lim an ≠ o  Σan發散
結論
23

Q 3
2
n
 ?
n 1
(a) 發散
(c) ∞
(b) 收斂
(d) 0
-檢查：
lim n 2  
-判定：
lim n 2    0
-
n 
n 

結論：
2
n

n 1
發散
24

n2
?

2
n 1 5n  4
Example 8
n2
-檢查：nlim
 5 n 2  4
-判定：
2
n
1
lim 2
 0
n  5 n  4
5

n2
- 結論：  2
n 1 5n  4
發散
25
Q 4 (Eg. 9)

3
1

 n   ?

2 
n 1  nn  1

 1    1 
    n  
3 
n 1  nn  1 
n 1  2 

(a) 發散
12
 3 1 
 3  1  4 (b) 3/2
1-1 2
(c) 1
(d) 4
26