Transcript Taylor 和Maclaurin級數

Ch12
Infinite Sequence and
Series
無窮數列與級數
•
•
•
•
•
•
12.1 無窮數列
12.2 無窮級數
12.3 積分檢定法
12.4 比較檢定法
12.5 交錯級數
12.6 比值與根式檢定法與絕對收斂、條件
收斂
• 12.8 次方級數
• 12.9 以次方級數表示函數
• 12.10 Taylor 和 Maclaurin級數
2
12.10
Taylor & Maclaurin
Series
Taylor 和 Maclaurin級數
學習內容
• 知道Taylor 和 Maclaurin級數的定義
• 會改寫函數成為Taylor 和 Maclaurin
級數
4
Taylor 和 Maclaurin級數
可一直微分
5
Taylor 和 Maclaurin級數
• Taylor n次多項式
6
x
Example 1 e 的Maclaurin級數
f(x)
f’(x)
f”(x)
f
(3)
f
(4)
(x)
(x)
x
e
f(0)
x
e
x
e
x
e
x
e

f’(0)
f”(0)
f
(3)
f
(4)
(0)
(0)
0
e =1
0
e =1
0
e =1
e0 = 1
0
e =1
7
x
e 的Maclaurin級數
e  f (x)
x
f 1(0)
f 1(0) 2 f 1(0) 3 f ( 41) (0) 4
 f 1(0) 
x
x 
x 
x 
1!
2!
3!
4!
1
1 2 1 3 1 4
1 n
 1 x  x  x  x  x 
1!
2!
3!
4!
n!

n
x
ex  
n  0 n!
8
x
Example 3 e 的Taylor級數 a=2
f(x)
f’(x)
f”(x)
f
(3)
f
(4)
(x)
(x)
x
e
f(2)
x
e
x
e
x
e
x
e

f’(2)
f”(2)
2
e
2
e
2
e
f
(3)
e2
f
(4)
2
(2)
(2)
e
9
e  f (x)
x
2
f e(2)
f e(2)
f e(2)
2
3
x  2 
x  2 
x  2  
 f e(2) 
1!
2!
3!
2
2
2
e
e
e
2
n
2
 e  x  2  x  2    x  2  
1!
2!
n!
2
2
2

2
e
n
x
e   x  2
n  0 n!
10
Example 5 cosx 的Maclaurin級數
f(x)
cos x
f(0)
cos 0 = 1
f’(x) -sin x
f’(0)
-sin 0 = 0
f”(0)
-cos 0 = -1
f”(x) -cos x
f
(3)
f
(4)
(x) sin x
(x) cos x

f
(3)
sin 0 = 0
f
(4)
cos 0 = 1
(0)
(0)
11
Example cosx 的Maclaurin級數
cos x  f ( x)
(0) 2 f 0(0) 3 f ( 41) (0) 4
f 0(0)
f -1
 f 1(0) 
x
x 
x 
x 
1!
2!
3!
4!
0
(1) 2 0 3 1 4
 1 x 
x  x  x 
1!
2!
3!
4!
1 2 1 4
n 1
2n
 1  x  x     1
x 
2!
4!
2n!
12
cosx 的Maclaurin級數
13
Example 4 sinx 的Maclaurin級數
1 2 1 4 1 6
n 1
cos x  1  x  x  x     1
x 2n  
2!
4!
6!
2n!
d
d  1 2 1 4

n 1
2n
cos x  1  x  x     1
x  
dx
dx  2!
4!
2n!



1 3
1
n
2 n 1
 sin x  0  x  x     1
x  
2n 1!
3!


1 3
1
n
sin x  x  x     1
x 2 n 1  
14
2n  1!
3!
常用函數之Maclaurin級數
1 n
1 2 1 3
e 1 x  x  x  x 
n!
3!
2!
x
奇數
偶數
等比

 1 2n 1
1 3 1 5

x
sin x  x  x  x   
2n  1!
5!
3!
n

 1 2n
1 2 1 4
x 
cos x  1  x  x   
2n!
4!
2!
1
 1  x  x 2  x3  x 4    x n  
1 x
n
15
Example 6 xcosx 的Maclaurin級數
1 2 1 4
n 1
cos x  1  x  x     1
x 2n  
2!
4!
2n!
 1 2 1 4

n 1
2n
x cos x  x 1  x  x     1
x  
4!
2n!
 2!

1 3 1 5
n 1
x cos x  x  x  x     1
x 2 n 1  
2!
4!
2n!
16
Q 1 cos2x 的Maclaurin級數
1 2 1 4
n 1
cos x  1  x  x     1
x 2n  
2!
4!
2n!
1 3 1 4
1 n 1
a   x  x  x  x    x  
2!
3!
n!
2

1 3 1 5
 1n 2n 1
b  x  x  x   
x

2!
4!
2n!

4 2 16 4
 1n 22 n 2 n
c   1  x  x   
x 
2!
4!
2n!
17
Q1 cos2x 的Maclaurin級數

1 2 1 4
 1
cos 2xx  1  2xx  2xx   
2xx 2 n  
2!
4!
2n!
n

1
1
 1
2
4
cos 2 x  1  2 x   2 x    
2!
4!
2n!
n
2 x 
2n


4 2 16 4
 1 2 2 n 2 n
 1
x 
x 
x 
2!
4!
2n!
n
18
Q2
e 1  x
lim
2
x 0
x
x
• 用羅比達定理
f x 
f  x 
lim
 lim
x 0 g  x 
x 0 g  x 
(a) ½
(b) 1
(c) ⅓
(d) 0
• Maclaurin’s Series
2
3
4
n
x
x
x
x
x
ex  1 x     
1!
2! 3! 4!
n!
19
ex 1  x
lim
x 0
x2
Example 11
x x2
x3
xn




   1  x
1  
1! 2!
3!
n!


 lim
2
x 0
x
1
x2
x 31
x n n-2



3!
n!
 lim 2!
x 0
x2
1
x
x n2
0
0
 lim    

x 0 2!
3!
n!
1

2!
20
-x
Q3 e
的Maclaurin級數
1
1
1
1
2
3
e  1
x
x 
x 
xn  
1!
2!
3!
n!
x
1
1 2 1 3
1 n
a   1  x  x  x    x  
1!
2!
3!
n!

1
1 2 1 3
- 1 n
b   1 - x  x - x   
x 
1!
2!
3!
n!
n

1
1 2 1 3
- 1
c   -1  x - x  x -  
1! 2!
3!
n!
n 1
x 
n
21
Example e
-x
的Maclaurin級數
1
1
1
1
2
3
e  1  -x
1x 
-x
1x 
-x
1x    -x
1 xn  
1!
2!
3!
n!
1x
-x
e
x
1
1
1
1
2
3
n
 1   x    x    x      x   
1!
2!
3!
n!
1 1 1
1
e  1        2.718282
1! 2! 3!
9!
22