Transcript 授課內容： 政治大學財政所與東亞所選修 課程名稱：應用計量分析 授課老師：黃智聰

政治大學財政所與東亞所選修
課程名稱：應用計量分析--中國財政研究
授課老師：黃智聰
授課內容：
時間序列模型之應用
參考書目：Hill, C. R., W. E. Griffiths, and G. G. Judge, (2009),
Undergraduate Econometrics. New York: John Wiley & Sons
日期：2014年5月12日
1
大綱

時間序列模型之平穩性 (stationarity)

常用之判定方法：單根檢定



Augmented Dickey-Fuller test
Philips-Perron test
多變量時間序列模型




向量自我迴歸模型 (VAR)
共整合模型 (Cointegration)
向量誤差修正模型 (VECM)
自我迴歸分布落後期模型 (ARDL)
2
時間序列資料之平穩性(stationarity)

若 et 為一圍繞在零附近的一個隨機變數，變異數為固定，
且具有本期的資料與前期資料無關的特性，也就是 E(εt，
εs)=0 (t≠s) ，這樣的數列，我們一般將它稱為白噪音
(white noise)。
et-1
－et
3
3
2
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
25
50
75
100
125
150
175
200
-3
t
-2
-1
0
1
2
3
et
3
時間序列資料之平穩性(stationarity)

任一時間序列模型均可由一組獨立同分配(iid)的白噪音
{et}t=1,2,…,∞以線性組合而成
iid

yt    0et  1et 1  2et 2  
e t ~ N (0,  2 )
則 yt 的變異數γ0 = Var(yt) = E(yt，yt)
E( y，
t yt )  E   0 et  1et 1   2 et  2  ，   0 et  1et 1   2 et  2  
 02 2  12 2  22 2  


  2 02  12  22  

若當 0  1   2     i  
i 0
的時間序列
2
2
2
2
時，則yt 即為一平穩
4
時間序列資料之平穩性(stationarity)
y t  e t  0.7e t 1  0.7 2 e t  2  0.7 3 e t 3  
5
穩定
4
yt  yt 1  et
3
2
8
1
0
不穩定
4
-1
-2
0
-3
25
50
75
100
125
150
175
200
-4
-8
-12
25
50
75
100
125
150
175
200
5
時間序列資料之平穩性(stationarity)
若 yt  yt 1  et
令 y0  e0
則 y1  y0  e1  e0  e1
y2  y1  e2  e0  e1  e2
y3  y2  e3  e0  e1  e2  e3

yt  yt 1  et  e0  e1    et
Var( yt )   2   2   2    t   2
當 t→∞ 時， Var( yt ) →∞
不平穩的時間序列
6
如何檢定時間序列資料之平穩性？

單根檢定 unit roots test
yt   0   0 yt 1   t
yt  yt 1   0   0 yt 1  yt 1   t
yt   0  (  0  1 ) yt 1   t
yt   0  yt 1   t

(令 γ = β0-1)
若β0=1γ=0，代表時間序列具有單根，亦即為非
穩定數列，因此只需估計最後一式迴歸式，並檢定
γ=0？即可，虛無假設為 H0：γ=0 (有單根，亦即
數列不穩定)
7
如何檢定時間序列資料之平穩性？

實務上，有時需考慮Δyt有無漂移項，或有無時間
趨勢，另外，Δyt 亦有可能存在自我相關，因此檢
定式考慮如下：
yt   0   2t  yt 1   i yt i  t
i 1
8
不同的單根數列
16
3
e
2
yt- = yt-1 + et
12
1
8
0
4
-1
0
-2
White noise
-3
25
50
75
100
50
125
150
-4
175
200
25
yt =0.2+yt-1 + et
50
75
1000
40
100
125
150
175
200
yt =0.2+0.05t+ yt-1 + et
800
30
600
20
400
10
200
0
0
-10
25
50
75
100
125
150
175
200
25
50
75
100
125
150
175
200
9
單根檢定之步驟
估計yt   0   2t  yt 1   i yt i  t
i 1
No
γ=0 ?
沒有單根，穩定
Yes
估計yt   0  yt 1   i yt i  t
Yes
i 1
No
α2=0 ?
No
i 1
No
α0=0 ?
γ=0 ?
有單根，不穩定
沒有單根，穩定
Yes
Yes
Yes
No
γ=0 ?
估計yt  yt 1   i yt i  t
γ=0 ?
No
γ=0 ?
Yes
有單根，不穩定
No
沒有單根，穩定
Yes
有單根，不穩定
Enders (2004), Applied Econometric Time Series 2nd，p.213.
10
單根檢定實例


消費者物價指數 (CPI) (taiwan_var_data.wf1)
1981M01~2007M06
110
CPI
100
90
80
70
60
82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06
11
單根檢定操作步驟—以ADF test 為例

步驟1：在Eviews指令列中輸入
uroot cpi
 在 test type中選擇ADF test
 Test for Unit root in選擇 「Level」，代表檢
定未差分的數列。
 Include in test equation選擇
 「Trend & intercept」，代表先估計包含漂移
項及趨勢項的檢定式。
12
單根檢定操作步驟—以ADF test 為例

「Lag length」中選擇「Schwarz Info.
Criterion」代表以SIC做為選擇最適落後期數的
準則。Maximum lags輸入16，代表最大測試落
後期。(Eviews 4.0 版以上，在執行 uroot test
時，系統會自動為使用者測試最佳落後期數。)
13
單根檢定操作步驟—以ADF test 為例


右側的估計結果可發現第
一階段的檢定結果為不拒
絕虛無假設，因此代表可
能有單根。
檢查估計方程式中是否應
有趨勢項。由估計結果下
方可以發現@TREND的估
計結果為不顯著，因此在
估計方程式中不應有趨勢
項。
14
單根檢定操作步驟—以ADF test 為例

步驟2：
 點選估計結果視窗的「View」「Unit Root
Test」，在設定視窗中，將Include in test
equation選擇「Intercept」，點選「OK」。
15
單根檢定操作步驟—以ADF test 為例


從估計結果發現單根檢定結
果仍為不拒絕虛無假設，代
表仍然可能存在單根。
檢定估計方程式中是否應包
含漂移項，由估計結果下方
可以發現，漂移項項係數不
顯著，表示估計方程式中不
應有漂移項。
16
單根檢定操作步驟—以ADF test 為例

步驟3：
 點選估計結果視窗的「View」「Unit Root
Test」，在設定視窗中，將Include in test
equation選擇「None」，點選「OK」。
17
單根檢定操作步驟—以ADF test 為例

檢查估計式之檢定結果，
仍不拒絕虛無假設，則
此時代表CPI數列存在單
根，亦即CPI數列為非
定態數列。
18
如何處理不平穩的時間序列資料？

常用的平穩化方法


差分
CPIt  CPIt  CPIt 1
取變動率 (物價上漲率)
CPI t  CPI t 1
PI t 
CPI t
PIt  d log( CPIt )  log( CPIt )  log( CPIt 1 )

若變數經過 1 次平穩化後可成為穩態數列，則
稱之為I(1) 數列。
19
平穩化階次


一般總體經濟時間序列資料多為 I(1)變數，亦即經
過一階差分後即可成為穩定數列，欲判定變數的階
次，可在變數差分後再依前述步驟重覆進行uroot
test。
如下所示，CPI數列在經過一階差分後，單根檢定便
拒絕虛無假設，亦即經一階差分後即成定態數列，
因此我們可稱CPI為 I(1) 數列。
20
平穩化階次
21
VAR模型定義


向量自我迴歸模型Vector Autoregressions (VAR)
model
考慮變數為自身落後項以及其他變數落後項的
函數


多變數VAR與單變數AR模型最大的不同處在於，VAR
模型考慮了體系內變數的動態交互行為
假設VAR的落後期數為1期，稱之為 VAR(1)。
以一個三變量的 VAR(1) 為例，
xt  c1  11 xt 1  12 yt 1  13z t 1  1t
yt  c2   21 xt 1   22 yt 1   23z t 1   2t
zt  c3  31 xt 1  32 yt 1  33z t 1   3t
22
向量自迴歸模型重要目的




描繪總體經濟時間序列之動態變化
預測總體經濟時間序列
刻劃總體經濟時間序列之因果結構
總體經濟政策分析
23
VAR模型範例



理論：經濟體系中，政府經常利用短期利率作為
貨幣政策工具之一，透過短期利率的調整來控制
失業率及通貨膨脹率。(taiwan_var_data.wf1)
期間：1981M01~2007M06
變數： 物價上漲率(pi)、失業率(due)
、短期利率(r)
24
VAR模型範例
.04
Inflation Rate
.03
.02
.01
.00
-.01
-.02
-.03
82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06
1.2
20
Change of Unemployment Rate
Interest Rate
0.8
16
0.4
12
0.0
8
-0.4
4
-0.8
0
82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06
82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06
25
VAR模型Eviews操作步驟

步驟1：確認VAR系統中之變數是否均為定態變數
26
VAR模型Eviews操作步驟

步驟2：建立VAR模型
 在workfile中，將變數pi、due、r 選取，點右
鍵，選擇「open」「as VAR」
 選擇unrestricted VAR，並將落後期數改為 1 1
(1空格1：代表落後期數由第1期至第1期)，點
選確定。
27
VAR模型Eviews操作步驟
28
VAR模型Eviews操作步驟


右側為三變量VAR(1)模型估
計結果。
右則三個迴歸式看似為聯立
方程式，但事實上整個VAR
就是近似無關迴歸模型
(seemingly unrelated
regression; SUR)，也就是三
個方程式分別用OLS估計，
亦可得到相同的結果。
29
VAR模型Eviews操作步驟

步驟3：記錄不同落後期之下的AIC及SIC，以利
判斷最適落後期數。
 由表中數值可以發現，SIC最適落後期數為1，
但AIC最適落後期數為12個月。若依統計最
佳估計而言，應選擇落後1期，但若就經濟觀
點來看，由於貨幣政策施行直到總體經濟產
生反應，中間的遞延日期應該超過1個月，因
此12個月應該是一個合理的貨幣政策遞延長
度。
30
VAR模型Eviews操作步驟
lags
AIC
SIC
1
-4.173
-4.030
2
-4.233
-3.983
3
-4.311
-3.953
4
-4.277
-3.811
5
-4.293
-3.717
6
-4.272
-3.587
7
-4.360
-3.565
8
-4.446
-3.540
9
-4.478
-3.461
10
-4.468
-3.339
11
-4.523
-3.282
12
-4.710*
-3.356
13
-4.681
-3.214
14
-4.709
-3.127
15
-4.688
-2.992
*
31
Granger causality (Granger 因果關係)

檢定Ganger因果關係，考慮以下迴歸式 (以2變
數為例)
xt  c1  1 xt 1   2 xt  2     P xt  P  1 yt 1   2 yt  2     p yt  p   t

利用Wald test檢定虛無假設HO：γ1 = γ2 =… =
γp = 0 ，若無法拒絕虛無假設，則代表代表y對
於預測x而言沒有幫助，則我們稱 y 不會
Granger 影響 x。
32
Granger causality 操作步驟

若依先前三變量的VAR(1)為例，從估計結果表的工
具列中選擇「View」「Lag Structure」
「Granger Causality/Block Exogeneity Tests」。
33
Granger causality 操作步驟



從PI式來看
 失業率的變動會Granger影響通貨膨脹率。
 利率會Granger影響通貨膨脹率。
從DUE式來看
 物價上漲率不會Granger影響失業率的變動
 利率不會Granger影響失業率的變動。
從R式來看
 物價上漲率會Granger影響利率。
 失業率的變動會Granger影響利率。
34
Granger causality 操作步驟

從結果來看。短期利率會
影響通貨膨漲率，但通膨
率和利率都不影響失業率
的變動，亦即名目變數對
實質變數沒有影響，說明
了古典二分法。另外，利
率會受到通膨率及失業率
變動的影響，隱含利率是
內生化的貨幣政策，以因
應物通膨率及失業率的變
動。
35
共整合模型Cointegration Model之定義

若數個時間序列變數均為 I(1) 變數，若將這些序列
做某一線性組合後變成一個新序列
xt  c  yt  t
或t  xt  c  yt
如上式，若εt 為一I(0)數列，則稱此三個變數存在共
整合關係。
36
共整合檢定： Engle-Granger 兩階段程序

檢定步驟：
 步驟1：估計共整合關係式。 x  c  y  e
t
t
t
 步驟2：對 et 做ADF檢定，若 et 為 I(0) 序列，
則代表變數間具有共整合關係。
37
共整合檢定：Engle-Granger 兩階段程序

Engle-Granger兩階段共整合檢定面臨的挑戰
 兩階段程序無法處理多個共整合關係的存在
xt  c  yt  et
(其模型假設變數間僅有一個共整合關係）。
 兩階段程序可能不具效率性，因為在第一階
段估計共整合關係式時，產生的估計誤差會
被帶到下一階段。
 Engle-Granger檢定中的ADF檢定不能使用傳
統ADF統計量的臨界值，其漸近分配由
Phillips & Ouliaris (1990) 推導出。
38
共整合檢定： Johansen程序

Johansen共整合說明
 容許同時存在多個共整合關係。
 提供兩種不同的檢定方式
 Trace test
 Max eigenvalue test
 兩種不同的檢定方式可能會有不同的檢定結
果，此時Johansen建議採用最大特性根檢定。
 Johansen共整合之理論推導請參見陳旭昇
(2007)。
39
共整合檢定： Johansen共整合範例

利率期限結構方程式 (tbill_us1953.wf1)
長期利率是短期利率的平均水準
k
Rk ,t 
 E( R
t j
i 1
k
)
 et
Rk,t為長期利率水準，Rt為短期利率水準，Et(Rt+j)
為在第t期時預期第t+j期的短期利率。令Rt為一
隨機漫步，亦即 Rt = Rt-1 + et，則 Et(Rt+j) = Rt，
利率結構方程式可以重新整理成：

k
Rk ,t 
R
i 1
k
t
kRt
 et 
 et  Rt  et
k
也就是說，長期利率與短期利率之間存在整合關
係。
40
共整合檢定： Johansen程序Eviews步驟


步驟1：將workfile中欲檢定共整合關係的變數標示，
點右鍵，選擇「Open」「as group」。
步驟2：兩變數組合group之後，點選資料視窗之
「view」，選取「cointegration test」。
41
共整合檢定：Johansen程序Eviews步驟

步驟3：在共整合選項設定中，選擇「summary」
列出5種共整合模式的摘要，並在lags intervals輸入
「1 2」，並點選確定。
42
共整合檢定：Johansen程序Eviews步驟

在5種不同的檢定估計式中，AIC及SIC建議選用模
式1或模式2。
5種不同的共整
模式2：intercept
合估計式設定
(no trend) in CE,
no trend in VAR
AIC準則
SIC準則
43
共整合檢定：Johansen程序Eviews步驟


步驟4：若選擇以模式2為檢定方程式的估
計式，重新設定共整合選項設定為模式2，
並得到估計結果。
從跡檢定及最大特性根檢定，都拒絕「沒
有整合向量」的虛無假設，但無法拒絕
「最多只有1個整合向量」的虛無假設，
因此推論此兩變數之間應存在一個共整合
向量。
44
共整合檢定：Johansen程序Eviews步驟
共整合關係式
R10,t  0.74  1.01Rt
45
誤差修正模型Error Correction
model (ECM)


VAR模型中要求序列皆為 I(0)。
若VAR系統中之序列為I(1)，且序列間不存在共
整合關係，則可直接將序列穩態化 (差分或取
變動率) 後再放到VAR系統中估計。
xt  c1   1i xt i   1i yt i  1t
yt  c1    2i xt i    2 i yt i   2t
46
誤差修正模型Error Correction
model (ECM)

若VAR系統中之序列為I(1)，且各變數之間存在
共整合關係，則此時若僅估計穩態化後之序列，
則會流失變數之間的長期關係的訊息，因此需
改以VECM模型估計
xt  c1   x xt 1  1 yt 1    1i xt i   1i yt i  1t
yt  c2   y xt 1  1 yt 1     2i xt i    2i yt i   2t
47
ECM模型

透過Engle & Granger第一階段估計出共整合關
係式
ˆ y e
x  ĉ  
t

t
t
令
ˆy
ECMt  êt  xt  ĉ  
t

Engle & Granger 建議將VECM模式修正為
xt  c1   x ECM t 1   1i xt i   1i yt i  1t
yt  c2   y ECM t 1    2i xt i    2i yt i   2t
48
ECM模型Eviews操作步驟

選取變數後將變數組成VAR系
統，並在VAR設定中選擇
「Vector Error Correction」，
在cointegration中選擇模式2
(同前例)。
49
ECM模型Eviews操作步驟

誤差修正項的係數
 式1的cointEq1係數為負，代
表當長期利率與短期利率脫
離其長期均衡關係時，長期
利率會下跌，以回復長期均
衡，但其效果並不顯著。
 式2的cointEq1係數為正，代
表當長期利率與短期利率脫
離其長期均衡關係時，短期
利率會上漲，以回復長期均
衡，且其效果為顯著。
共整合
關係式
50
ECM模型之Granger causality test


檢定步驟如 VAR下之Granger causality test。
從結果中可發現，短期利率的變動不會Granger影響
長期利率，但長期利率的變動會Granger影響短期利
率。
51
共整合模型限制


共整合模型中，要求所有變數階次相同，若階
次不同，則無法產生共整合模型。
解決方案：Toda and Yamamoto (1995)
ARDL模型
 若多變量時間序列模型中之變數階次不同，
Toda and Yamamoto (1995) 主張在估計VAR
時，除了原先估計的最適落後期數p之外，另
外再將模型中之落後期數延長dmax期，會使
VAR(p)之參數 Wald test 符合卡方檢定，即
可解決階次不同之多變量時間序列問題。
 dmax：為變數中之最大階次 。
52
Toda & Yamamoto共整合模型之
Granger causality test

以一個雙變量的VAR(p)為例，Toda &
Yamamoto共整合模型估計式如下：
xt  c1 
yt  c 2 
p  d max

i 1
1i
xt i 
p  d max

i 1
2i
p  d max
xt i 

i 1
1i
yt i  1t
p  d max

i 1
2i
yt  i   2 t
p為VAR最適落後期， dmax：為變數中之最大
階數。檢定虛無假設H0：γ11 = γ12 =… = γ1p
= 0 ，若無法拒絕虛無假設，代表y對於預測x
而言沒有幫助，則我們稱 y 不會 Granger 影
響 x。
53
利用Eviews進行T & Y共整合模型之
Granger causality test操作步驟



利用Eviews進行VAR模型的 Granger causality test
時，在估計一個VAR(p+dmax)模型後，若利用
Eviews的VAR系統進行Granger causality檢定，系統
檢定的落後期數包含 p+dmax期。
但在Toda & Yamamoto模型中僅需檢定p期落後期
即可。
解決方案：利用OLS分別估計VAR中的方程式，再針
對估計所得參數進行Wald test。
54
利用Eviews進行T & Y共整合模型之
Granger causality test操作步驟

以前述利率結構方程式為例
 步驟1：確定變數之階次。從以下的單根檢定可
以得知長期與短期利率均為I(1)變數，因此
dmax=1
55
利用Eviews進行T & Y共整合模型之
Granger causality test操作步驟

步驟2：評估VAR之最適落後期數。由下表若
以SIC為準則，則VAR系統最適落後期數為3
期，因此p=3
Lags
AIC
SIC
1
0.405
0.447
2
0.184
0.252
3
0.120
0.216*
4
0.101*
0.225
5
0.104
0.256
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利用Eviews進行T & Y共整合模型之
Granger causality test操作步驟

步驟3：建立VAR(3+1)系統，分別以OLS估
計VAR中的兩個方程式。
4
4
i 1
i 1
R10,t  c1   1i R10,t i   1i Rt i  1t
4
4
i 1
i 1
Rt  c2    2i R10,t i    2i Rt i   2t
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利用Eviews進行T & Y共整合模型之
Granger causality test操作步驟


步驟3：進行Wald test。
圖為R10,t式之Wald test，在R10,t式中，需檢定
虛無假設
H0：γ11= γ12= γ13=0，因此在Wald test設定
視窗中輸入c(6)=c(7)=c(8)=0。檢定結果如
圖所示。
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Granger causality test操作步驟
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