Transcript Méthodes de prévision (STT-3220) Section 4 Concepts fondamentaux de séries chronologiques

Méthodes de prévision (STT-3220)
Section 4
Concepts fondamentaux de
séries chronologiques
Version: 8 novembre 2004
Modèles de régression versus
modèles versus modèles de type
ARIMA

On a considéré jusqu’à maintenant des modèles de la
forme:

Les variables explicatives xt pouvaient être:
zt  f xt , b    t
–
–

Paramètre b:
–
2
Fonctions du temps t.
Fonctions indicatrices, fonctions trigonométriques, etc.
Constant à travers le temps, ce qui nous amenait à l’utilisation
des modèles de régression linéaire multiple.
STT-3220; Méthodes de prévision
Rôle du lissage exponentiel


3
Le lissage exponentiel tentait d’adoucir
l’hypothèse que le b est constant, en
permettant des situations où b change
tranquillement dans le temps.
Avec le lissage exponentiel, l’idée est de
donner plus de poids aux observations
récentes, et moins aux observations passées.
STT-3220; Méthodes de prévision
Critique des techniques de lissage


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Conceptuellement, on a modélisé des données
que l’on présumait implicitement dépendantes,
en utilisant des modèles où le terme d’erreur
est non-corrélé! (Rappel: zt  f xt , b    t )
Si le terme d’erreur est non-corrélé, il en va
évidemment de même pour la variable d’intérêt
zt. (exceptions notables: procédures de
Cochrane-Orcutt, Hildreth-Lu et premières
différences)
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Modèles ARMA et ARIMA

5
Classe de modèles issue de notre
compréhension des processus stochastiques
stationnaires, qui permet de modéliser un
grand nombre de séries chronologiques,
pouvant admettre une structure assez
complexe de corrélation.
STT-3220; Méthodes de prévision
Séries chronologiques et
processus stochastiques


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Série chronologique: On considère une série
chronologique observée à des temps discrets
1, 2, …, n: z1, z2, …, zn; cette série
chronologique est une réalisation finie d’un
processus stochastique.
Processus stochastiques: Famille infinie de
variables aléatoires Z t | t  T  et T pourrait
être de cardinalité infinie.
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Rappels: fonctions de moyenne,
fonction de covariance

La fonction de moyenne est:
t  E Z t 

La fonction de variance est:
Rt , s   covZ t , Z s 
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STT-3220; Méthodes de prévision
Processus stationnaires au sens
large

 
Le processus Z t est stationnaire au sens
large (SSL) si les trois conditions suivantes
sont satisfaites:
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 
–
1) Existence du second moment, E Z t  ,
2) La moyenne est invariante dans le temps:
–
3) La covariance satisfait, pour tous t, s entiers:
–
2
E Z t   
covZ t , Z s   Rt  s 
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t
Fonction d’autocovariance


9
Puisque covZ t , Z s   Rt  s  , on pose:
g k   covZ t  k , Z t   covZ t , Z t k 
La fonction g: k  g k  , est appelée la
fonction d’autocovariance de délai k du
processus Z t  .
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Propriétés de la fonction
d’autocovariance


2




g
0

cov
Z
,
Z


1.
t
t
Z
2. g k   g 0 En particulier, g 0    g k   
–
La propriété 2. est une application directe de
l’inégalité de Cauchy-Schwartz:
g k   covZ t  k , Z t   var Z t  k  var Z t 
12
 g 0 g 0   g 0
12
10
12
STT-3220; Méthodes de prévision
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Propriétés de la fonction
d’autocovariance (suite)


3. La fonction g est symétrique par rapport à 0,
i.e. paire, car: g  k  cov Z , Z  cov Z , Z
 
 t k t 
t
 covZ t ' k , Z t '   g k 
4. La fonction g est définie non-négative, i.e.
n  1, t1 ,, tn  Z , 1 ,,  n  R,
  g t
n
n
i 1 j 1
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t k
i
j
i

tj  0
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
Fonction d’autocorrélation


12
Considérons maintenant:
covZ t  k , Z t 
corr Z t  k , Z t  
12
12
var Z t  k  var Z t 

g k 
g k 


12
12
g 0 g 0 g 0
 
On pose: r k  g k g 0 , qui est
l’autocorrélation de délai k. La fct r, k  r k 
est la fonction d’autocorrélation de Z t 
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Propriétés de la fonction
d’autocorrélation




1. r 0  1,
2. r k   1, k ,
3. r  k   r k ,
4. La fonction r est définie non-négative, i.e.
que
n  1, t1 ,, tn  Z , 1 ,,  n  R,
  r t
n
n
i 1 j 1
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i
j
i

 t j  0.
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Bruit blanc (faible)

Définition d’un bruit blanc (faible): Une suite de
variables aléatoires non-corrélées at est un
bruit blanc (faible). On note BB 0,  2
a
Dans ce cas, on remarque que:


1. var at    ,
2. E at   0,
2
a
3. covat , at  k   0, k  0.
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 

Bruit blanc



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En particulier, un bruit blanc (faible) est
stationnaire au sens large.
Remarque: Si at est iid, on dit que l’on est
en présence d’un bruit blanc fort.
Est-ce qu’un bruit blanc fort est bruit blanc
faible?
 
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