Transcript 第二章水动力学基础 （basic hydrodynamics）

第二章水动力学基础
（basic hydrodynamics）
§2-1 描述液体运动的两种方法
§2-2 液体运动的一些基本概念
§2-3 液流的连续性方程
§2-4 理想液体的运动方程
§2-5 实际液体总流的能量方程
§2-6 恒定均匀流水力坡度与切应力的关系
§2-7 恒定总流的动量方程
§2-8 液体微团运动的基本形式，有旋流与无旋流
§2-9 恒定平面势流
§2-10 实际液体运动的微分方程
§2-11 空化现象和空蚀问题简述
§2-1描述液体运动的两种方法
(two methods to descriptions of motion of liquid )
一、拉格朗日法(Lagrangian method)
（质点系法method of material
particles）
 x  x ( a , b, c , t )

 y  y ( a , b, c , t )
 z  z ( a , b, c , t )

二、欧拉法(Eulerian method)(空间点
法spatial description)
a  ut  u x ux  u y
u
y
 uz
u
z
§2-2 液体运动的基本概念
(the basic concepts of motion of liquid)
一 恒定流(steady flow)与非恒定流(unsteady flow)

t
 0
二 一元流(one-dimensional flow)、二元流(two-dimensional flow)和三元流(threedimensional flow)
根据水力要素是否随时间变化区分
三 流线(streamline)与迹线（trace）
迹线：液体质点在所运动的空间中所走的轨迹
流线：流场中绘出的一条曲线，在同一瞬时，处在流线上所有各点的液体质点的流速方
向与各该点曲线上的切线方向重合
流线的基本特征①恒定流时流线与迹线重合，非恒定流时一般不重合
②流线不能相交，但节点(nodal point)和驻点(stagnation point)除外。
2流线方程(streamlinear equation):
dx
ux

dy
uy

dz
uz
四 管流、元流、总流、过水断面、流量和断面平均流速
1、管流(pipe flow)：在流场中取一条与流线不重合的微小的封
闭曲线，在同一时刻，通过这条曲线上的各点做流线，由这
些流线所构成的管状封闭曲面
2、元流(filament)：充满在流管中的液流
3、总流(total flow)：由无数元流组成的总股水流
4、过水断面(flow cross section)：与总流或元流流向相垂直的横
断面
5、流量(volume flow)：单位时间内通过过水断面的液体体积 。
Q
 udA
A
6、断面平均流速(average velocity of flow cross section)
v
Q
A

 udA
A
A
五均匀流(uniform flow)和非均匀流(non-uniform flow)
均匀流：
①定义：总流中沿同一流线各点流速矢量相同
②性质：1流线相互平行；2过水断面是平面；3沿流程过水
断面形状和大小不变，流速分布图相同
非均匀流 ：沿同一根流线各点流速向量不同
六 渐变流(gradually varied flow)与急变流(rapidly varied flow)
急变流：流速的大小和方向沿流线急速变化
渐变流：
①定义：流速的大小和方向沿程逐渐变化
②性质：1过水断面可看成平面 ；2各过水断面逐渐变化，流
速分布图也逐渐变化；3过水断面上压强符合静水压强分布。
§2-3 液流的连续性方程
（the continuity of equation of liquid）
一、液流的连续性微分方程
(differential equation of continuity of liquid)
d
dt
 (
u x
x

u y
y

u z
z
)0
u x

x
y
ux   ( xu ) x
x
z
d dt  0
不可压缩液体的连续性微分方程(differential equation of
continuity of incompressible fluid)
u x
x

u y
y

u z
z
0
二、元流和总流的连续性方程(continuity equation of filament
 u
and total flow)(质量守恒定律law of energy conservation)
2 2
1u1dA1  2u2dA2
1u1
恒定总流连续性方程(continuity equation of steady total flow):
A11  A2 2  Q
§2-4 理想液体总流的能量方程
(energy equation of ideal liquid)
一、理想液体的运动微分方程

p
p x
x 2
(differential equation of motion for real liquid)
f x xyz
yz
p 
p x
x 2
z
y
x
 f x  1 px  dudtx  utx  u x uxx  u y uyx  u z uzx 


du y
u y
u y
u y
u y 

1 p
 f y   y  dt  t  u x x  u y y  u z z 

du z
u z
u z
u z
u z 
1 p
 f z   z  dt  t  u x x  u y y  u z z 
yz
二、理想液体的伯努里积分和伯努里方程
(Bernouli’s integration and Bernouli’s equation of real liquid)
A 积分条件：
1 恒定流
2 液体为不可压缩均质液体
3 质量力有势
4 沿流线积分
p
U2
B 方程：
U 
 常数

当质量力只有重力 
z
2
p


u2
2g
 常数
三、理想液体的伯努里方程式的意义
z  

p
u2
2g
c
测压管水头 (piezometric head)
z——位置水头(elevation head)
p ——压强水头(pressure head)

毕托管原理(principle of pitot tube)
PM 0

PM

u2
2g
h
H
pM

h
§2-5 实际液体总流的能量方程
(energy equation of total flow for real liquid )
一、实际液体元流的伯努里方程
(Bernouli’s equation of real liquid for filament)
p1
u12
p1
u 22
1
2
w

2g

2g
z 

z 

h


其中hw 单位机械能损失(loss of mechanical energy )
二、实际液体恒定总流的能量方程
(energy equation of steady total flow for real flow)
z1 
p1


1v1
2g
 z2 
p2


 2v2
2g
 hw
三、能量方程(energy equation)所表达的物理意义
（1）能量方程的几何表示——水头线(head line)
L-沿程长度
水力坡度(energy slope)：
J
hw12
测压管水头线坡度 l
(slope of the hydraulic grade line)：
Jp  
d ( z p  )
dl
1v12
2g
 2 v 22
2g
p2

p1

z1
z2
（2）能量方程所表述的能量意义
a）动能定理(theorem of kinetic energy)的表达式
z1  z2  p1   p2  
 
单位重力功
单位压力功
hw

单位阻力功
  2v22 2 g  1v12 2 g


单位动能的变化
b）能量守恒和转化定律的表达式
(law of conversation and transformation of energy)
p1
1v12z
p2
 2 v2 2
i）能量守恒 z1    2 g  z2    2 g  hw(1 2)
1
 z
p

 2vg   hw
2
ii）机械能转化的不可逆
( z1 
p1

 21vg1 )  ( z2 
iii）各种能量可以转化
p2

 22vg2 )  hw
四、能量方程的应用条件及应注意的问题
应用条件：
1、恒定流
2、质量力只有重力，无能量的输入和输出
3、所选取的断面为渐变流
4、流量沿程不变
注意问题：
1、基准面的选择
2、 压强水头一般用相对压强水头，但也可以用绝对
压强水头，同一方程用同一标准
3、选择合适的计算代表点
4、若无特殊说明 1  2  1
5、若未知量个数多于能量方程个数，在结合其他方
程求解
五、有能量输入和输出的能量方程
1v12
 2 v2 2
z1    2 g  H m  z 2    2 g  hw(1 2 )
例如水泵(water pump)管路系统中H m 取正值
p1
p2
§2-6 恒定均匀流水力坡度与应切力
的关系
(relation between energy slope of steady uniform flow and shear stress)
一液流过水断面的几何特性
h  过水断面
y  水流水深
h  BA  平均水深
  湿周
二
R  水力半径
恒定均匀流水力坡度与应切力(shear stress)的关系
 0  RJ
U* 
0

 gRJ
§2-7 恒定总流的动量方程
(momentum equation of steady total flow)
一 方程的推导
恒定总流动量方程
 F  Q(

2

v2  1 v1 )
投影形式：
 F  Q ( v   v )
2 2x
1 1x
 x



F


Q
(

v


 y
2 2y
1 v1 y )



 Fz  Q ( 2 v2 z  1 v1z )

2
1
2
↗
dA1
1
二、方程的应用条件
1、液体均质不可压缩
2、所选流段的两断面为渐变流
三、方程应用步骤
1、选择合适的脱离体(free body)
2、正确分析脱离体上的外力①重力②动水压
力(hydrodynamic pressure force)③液流边界作用于脱离
体上的
3、选择合适的投影坐标系
4、建立动量方程的投影形式，求解未知量
四、动量方程应用举例
§2-8液体微团运动的基本运动，有
旋流与无旋流
一、液体微团的运动基本形式 (basic movemental form
of liquid
element)
u c t
(1)平动(translation)
(2)线变形(linear deformation)
uDt
y
x
z
u At
u Bt
(3)角变形(angular deformation)
(4)转动(rotation)
Uy 
u y
y
y
u x  uyx y
 xx 

线变形速率：

u
u
 yy 
u y  x x  y y
(rate of linear deformation)

 zz 
u
u
y
u y
x
u y
y
y
ux 
uy 
u x
x
x
x
x
u x  uxx x
x 
x
y
u z
z
y
角变形速率
(rate of angular deformation)：
 zx   xz 
1
2
 xy   yx 
1
2
 zy   yz 
1
2



u z
x
u x
y
u z
y
u x
z



u y
x
u y
z



以ABCD液体平面为例，
可以得出线变形，
旋转角速度(angular velocity)：
角变形和旋转的表达式：  z  12 ( ux  uy )
y


 x 



y 

x
1
2
( uyz 
u y
z
)
1
2
( uzx 
u z
x
)
二、有旋流(rotational flow)与无旋流(irrotational flow)
若液流中，   0无旋流；否则就是有旋流。
u
u
即







x
y

x
u y
z

u z
y

u x
z

y

z
u z
x
y
（1）
由高数知识可得下列关系式
ux dx  u y dy  uz dz 

x
其中 为速度势函数
ux 

x
由1，2可得 u y 

y
uz 

z
（2）
dx  dy  dz



 有势流(potential flow)无旋流




§2-9 恒定平面势流
(steady plane potential flow)
一、恒定平面势流的流速势(velocity potential)
与流函数
2
 
 2
1拉普拉斯方程(Laplace equation)
x 2
y 2

2流函数(stream function)

0

y




u y  x 

ux 
和+C表示同一流动
流函数的性质： 1）
2）=C表示流线方程
3）q   2  1
 2
 2
4）平面有势流动中，x 2  y 2  0
3 和  的关系——柯西黎曼条件(Cauchy-Riemann condition)

u x 


u y 

x

y


y


x
二、流网的定义及绘制(flow net)
1）等势线(equipotential line):由  相等的点组成的线
2）流线：由 相等的点组成的线
3）流网的性质：
1、流线与等势线正交
d
2、流网每个网格的边长之比为 d

流网
§2-10实际液体运动的微分方程
(differential equations of motion for real liquid)
一、液体质点的应力状态
应力张量  p   
xx
 yx
（stress tensor ）  zx
xy
p yy
 zy
xz
 yz 
p zz 
由切应力互等定理可得：
 xz
 xy
(reciprocal theorem of shear stress)
 xz   zx
 xy   yx
 zy   yz
一般流动，牛顿内摩擦定律(Newton’s law of viscosity)推
u
u




2


2



(

广：
xz
zx
zx
xz
z
x )
x
 yz   zy  2  zy  2  yz   (
 yx   xy  2  xy  2  yx   (
u y
z
u y
x
z


u z
y
u x
y
)
)

正应力与线变形速率的关系：


u y 
p yy  p  2  y 
u z 
p zz  p  2  z 
p xx  p  2 
u x
x
二、实际液体运动的微分方程(differential equation of motion of real
liquid)——Navier-Stoke方程
  y
yx
X
1 p
 x
  u x 
2
u x
t
Z
1 p
 z
  u z 
u z
t
Y
1 p
 y
  u y 
u y
t
u x
x

2
u y
y
2

u z
z
0
u
u
u x
x x
u x
x x
u
u x
x x
u
u
u y
y y
u y
y y
u
u y
y y
u
u z
z z
 yx
y
pxx  pyxx x
 zx
p xx
 zx  z z
zx
u
u z
z z
u
u z
z z
 yx
三、实际液体运动的微分方程的伯努里积分
(Bernouli’s integration of differential equation of motion for real flow)
液流机械能的损失
由伯努里积分条件：质量力有势，
恒定均质，不可压缩，
沿流线可得如下公式：
 yx 
u x  uyx dy
ux
 yx
z1 
p1


u12
2g
 z2 
p1


u 22
2g

 hw
 yx
y
dy
§2-11空化现象和空蚀问题简述
（description of the problems of cavity and cavitation）
空蚀区
空化区
空化(cavity)：当压强降低到一定程度时，水流内部会出现气体
空泡或空穴
空蚀(cavitation)：由空化引起边壁或结构物等的破坏现象
空穴数(cavitation number)：

p0  pvp
1 u 2
0
2

( p0  pvp ) 
u02 2 g
其中 p0 u0为水流未受到边界局部变化影响处的压强及流
速 p0 ——以绝对压强计 pvp ——蒸汽压强
临界空穴数(critical cavitation number)：  c ，    c 会发生空
化