Transcript Презентация 11

Дисциплина:
Основы телекоммуникаций
Лекция № 11
Матрица связности для
ориентированного и
неориентированного графа
Вопросы для рассмотрения:
1. Матрица связности для
ориентированного и
неориентированного графа
Связность
Граф G называется связным, если для любой пары
различных вершин этого графа существует цепь,
соединяющая эти вершины.
Если для графа G можно указать пару различных
вершин, которые не соединяются цепью (простой
цепью), то граф называется несвязным.
Примеры
Простейший пример несвязного графа — граф,
содержащий изолированную вершину, простейший
пример связного графа — любой полный граф Кn.
Теорема несвязности графов
Граф является несвязным тогда и только тогда,
когда множество его вершин V можно разбить на
два непустых подмножества V1 и V2 так, чтобы
любое ребро графа соединяло вершины из одного
подмножества.
Доказательство.
Пусть G(V,E) — несвязный граф. Зафиксируем
некоторую вершину v графа и обозначим через V1
множество, состоящее из вершины v и всех тех
вершин из V, которые соединены цепями с
вершиной v. Множество V1 не пусто (оно
содержит, но крайней мере, вершину v) и не
совпадает с множеством V (при V1=V граф G(V,E)связный, т.к. между его любыми двумя
различными вершинами существует цепь,
проходящая через v). Рассмотрим дополнение
V2=V \ V1.
Множество V2— не пусто, и никакое ребро графа
G(V,E) не соединяет ни одну вершину из V1 ни с
одной вершиной из V2. Поэтому построенные
множества V1 и V2 образуют искомое разбиение
множества V.
Обратно, пусть существует разбиение V1 ∪ V2,
множества V, удовлетворяющее условию теоремы.
Докажем, что тогда граф G(V,E) несвязный.
Возьмем произвольную пару вершин v ∈ V1 и w ∈
V2 , из разных подмножеств и предположим, что
существует цепь, соединяющая эти вершины.
Такая цепь включает ребро, концы которого
принадлежат разным подмножествам, что
противоречит условию. Теорема доказана.
Вершина w графа называется достижимой из
вершины v, если либо w=v, либо существует цепь с
началом v и концом w.
Следствие из теоремы
Для того чтобы граф G был связным необходимо и
достаточно, чтобы в нем из любой фиксированной
вершины были достижимы все остальные
вершины этого графа.
Свойства графов:
1°.Каждая вершина графа входит в одну и только в
одну компоненту связности.
2°.Любой конечный граф имеет конечное число
компонент связности.
3°.Граф, состоящий из единственной компоненты
связности, является связным.
4°.Каждая компонента связности графа является
его подграфом.
5°.Для любого графа либо он сам, либо его
дополнение является связным.
Докажем свойства 4° и 5°.
4°. Пусть G1(V1,E1) — некоторая компонента
связности графа G(V,E) . Рассмотрим множество
вершин V2=V \V1 графа G, не входящих в
компоненту G1(V1,E1) . Если удалить каждую
вершину из V2 вместе со всеми инцидентными ей
ребрами, получим подграф графа G(V,E)
совпадающий с компонентой связности G1(V1,E1).
5°. Пусть G(V,E) некоторый граф порядка n, а
G=(V,E) - его дополнение до графа Кn. Когда граф
G связен, утверждение очевидно. Пусть G
несвязный граф G1(V1,E1) — одна из его
компонент связности и V2=V \V1 . Тогда для
любых вершин v ∈ V1 , w ∈ V2 -, в дополнении G
существует ребро vw ∈ E . Значит, любая вершина
из V2 соединена с любой вершиной из V1 ребром,
принадлежащим E , а любые две вершины из V1
соединены цепью длины 2, оба звена которой
также лежат в E . Поэтому граф G связен.
Матрицей смежности (англ. Adjacency matrix)
Для графов без петель и кратных рёбер матрица
смежности бинарна (состоит из нулей и единиц),
причём её главная диагональ целиком состоит из
нулей.
Случай ориентированного графа
Сумма элементов i-й строки равна
Матрицей смежности ребер неориентированного
графа называется матрица
, где
.
Матрица смежности ребер простого
неориентированного графа является квадратной
бинарной и симметрической.
.
Замечание
Матрица инцидентности графа является бинарной
и, вообще говоря, прямоугольной. Очевидно, что
не всякая бинарная прямоугольная матрица может
являться матрицей инцидентности некоторого
графа. Для этого необходимо, по крайней мере,
чтобы в каждом ее столбце было ровно по две
единицы.
Но это условие не является критерием
графичности бинарной прямоугольной матрицы.
То есть не верно, что бинарная прямоугольная
матрица является матрицей инцидентности
некоторого графа тогда и только тогда, когда в
каждом ее столбце содержится ровно по две
единицы.