EVALUATION STOCHASTIQUE PROVISION POUR SINISTRES Christian PARTRAT de la
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Transcript EVALUATION STOCHASTIQUE PROVISION POUR SINISTRES Christian PARTRAT de la
EVALUATION STOCHASTIQUE
de la
PROVISION POUR SINISTRES
Christian PARTRAT
Conférence scientifique - Institut des Actuaires
20 janvier 2004
1
Le provisionnement :
plus un art qu’une science
2
Introduction (1)
Finalité première :
Mesurer l'incertitude présente dans
les triangles de liquidation
et
les résultats des méthodes déterministes
3
Introduction (2)
Les méthodes stochastiques (modèles) permettent de :
1. expliciter les hypothèses utilisées dans le modèle.
2. valider, au moins partiellement, celles-ci
3. évaluer la variabilité de la provision "prévue" par le
modèle.
4. obtenir des estimations et intervalles de confiance pour
des paramètres d’intérêt liés à la provision
5. simuler, à l'aide de méthodes Monte-Carlo, la sinistralité
d'exercices futurs (Dynamic Financial Analysis, Gestion
Actif-Passif,…) .
4
Introduction (3)
Par mise en oeuvre de techniques bootstrap :
estimation de la loi de probabilité de la provision
et
possibilité alternative d'estimer ses caractéristiques :
Moments
Value-at-Risk (quantiles)
Probabilité d'insuffisance
etc
5
Introduction (4)
Approche stochastique choix d’un modèle
risque d'erreur de spécification (modèle inexact)
mais possibilité d’utiliser un jeu de modèles
(analyse de sensibilité)
6
Introduction (5)
Benchmark incontournable : chain ladder (standard)
L’estimation de la provision donnée par une méthode
stochastique doit être
• proche (Régression LogNormale, Kremer 1982,… )
• exactement égale (modèle conditionnel Mack, 1993;
modèle Log-Poisson de Renshaw et Verrall, 1994 et
1998)
à l’évaluation chain ladder
7
Introduction (6)
Hors modèle de Mack sur triangle cumulé
Modèles stochastiques, sur triangle non cumulé,
basés sur le modèle linéaire
(i) Normal
(ii) Généralisé (GLM)
Mise en œuvre pratique : logiciels statistiques (SAS,…)
Rem : Filtre de Kalman non présenté
8
Exemple (1)
Dommages Auto : Paiements non cumulés (Increments)
délai j
exercice
i
0
1
2
3
4
5
1988
0
3 209
1 163
39
17
7
21[1]
1989
1
3 367
1 292
37
24
10
1990
2
3 871
1 474
53
22
1991
3
4 239
1 678
103
1992
4
4 929
1 865
1993
5
5 217
[1] Intègre une évaluation des paiements postérieurs au 31/12/93 pour les sinistres survenus en 1988.
9
Exemple (2)
Dommages Auto : Paiements cumulés (Cumulative)
délai j
exercice
i
0
1
2
3
4
5
Provisions
Chain ladder
4440
0
1988
0
3 209
4372
4411 4428 4435
1989
1
3 367
4659
4696 4720 4730
22
1990
2
3 871
5345
5398 5420
36
1991
3
4 239
5917
6020
66
1992
4
4 929
6794
1993
5
5 217
153
2 150
2 427
10
Notations (1)
• Branche à déroulement sur
•
Pour i, j 0,..., n
X ij
Cij
(n 1)
années (n=5)
:
v.a.r. montant non cumulé (exercice i ; délai j )
j
X ih
h 0
v.a.r. montant cumulé (ex. i ;
délai j )
• Triangle supérieur T des montants observé :
( X ij )i j n
réalisation de
( xij )i j n
11
Notations (2)
• Provision de l’exercice i
n i
Ri X ih
h 0
• Provision globale (tous exercices confondus)
R
n
Ri
i 1
• Cash-flows annuels futurs, au titre de l’ exercice n+k
CFn k
i j n k
X ij
12
Problématique (1)
A.Estimation d'un paramètre
(certain mais inconnu)
lié à la loi de R ( FR fonct. répart. de R ) :
FR
•
un indicateur de valeurs centrales de R :
moyenne, médiane, quantile d’ordre >0.5,…
Best estimates de R
13
Problématique (2)
• la probabilité d'insuffisance d'une provision Ro donnée
a priori
P R R0 1 FR R0
• un indicateur de volatilité : variance, écart-type, …
• un indicateur de queue : la Value-at-Risk d'ordre 0
P R VaR
la TailVaR
• une « marge » (Market Value Margin, IAS/IFRS)
.
14
Problématique (3)
ˆ
ˆ T
estimateur de
Propriétés (biais, …)
Mesures d’incertitude d’estimation :
• Mean Square Error
• Standard Error
ˆ E ˆ F 2
MSE
R
ˆ MSE
ˆ
s.e.
(asymptotique)
estimées
15
Problématique (4)
• Intervalle de confiance pour FR au niveau 0,95
P A T FR B T 0,95
16
Problématique (5)
B. prédiction de R
Prédicteur de la v.a.r. R :
h (T )
Mesure d’incertitude de prédiction :
MSEP h E h T R
MSEP h V ( R ) E h T E R
2
2
estimation de E(R)
17
Problématique (6)
(1) p = 0,4
m = 10
(0) q = 0,6
Obs :
tirages avec remise
X1 , X2 , …, Xm
0 , 0 , 1 ,0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0
•
Estimation de p
1 m
X Xi
m 1
•
Prédiction de la v.a.r.
0,1
(
x
= 0,3 )
X m1
h( X1 ,..., X m ) 0 ou 1
(0)
18
Modèle conditionnel de Mack (1)
Chain ladder stochastique 1
Mack, 1993
Mack,1999
,
Utilise le triangle des montants cumulés sous :
H1 : Indépendance des exercices d'origine
Les v.a. Ckj j 0,...,n et C
sont indépendants
lj
j 0,..., n
19
Modèle conditionnel de Mack (2)
H2 : Pour j 0,..., n 1 , il existe un paramètre
tel que
fj
E Ci , j 1 Ci 0 ,..., Cij f j Cij
ou
Pour
C
E i , j 1 Ci 0 ,..., Cij f j
C
ij
,
j 0,..., n 1 , facteur CL
indépendant de i
f j estimateur ss biais de
n
Rˆ Rˆi
fj
E(R / T )
i 1
20
Modèle conditionnel de Mack (3)
• H3 : Pour j 0,..., n 1 , il existe un paramètre 2j tel que
V Ci , j 1 Ci 0 ,..., Cij 2j Cij
Estimation des MSE et standard errors de
Rˆi et
R̂
Hyp. 2 et 3 validées graphiquement
21
Modèle conditionnel de Mack (4)
Risques relatifs d’estimation des provisions
se( R i )
Ri
i
1
2
3
4
5
Risque
Ri
6,4%
8,1%
8,0%
22,8%
3,6%
Risque R = 3,7%
22
Remarque
Colloque ASTIN 2003, Berlin
G.Quarg : Munich chain ladder
Closing the gap between paid and incurred
IBNR-estimates
détermination de la provision par intégration de
la charge sinistres
les paiements
23
Modèles à variables explicatives (1)
Les variables intervenant dans la modélisation d'un triangle de
liquidation correspondent aux trois directions "naturelles"
délai
0
année
0
j
n
i
n
i+j
année calendaire
24
Modèles à variables explicatives (2)
• Les variables année (origine ou calendaire):
qualitatives ordinales qualitatives :
i j
param.: i
,
i j
Pour un triangle déflaté :
i
• la variable délai, naturellement quantitative discrète à
valeurs 0, 1, ….prise en
j
(i) qualitative :
(ii) quantitative :
j ln( j 1)
25
Exemple (3)
j
i
0
1
2
3
4
5
0
0
0 3 209
1 3 367
2 3 871
3 4 239
4 4 929
5 5 217
( 0 0 0)
1
1
1 163
1 292
1 474
1 678
1 865
2
2
39
37
53
103
3
3
17
24
22
4
4
7
10
5
5
21
0 : année, délai de référence
26
X ij
Modèles à variables explicatives (3)
Hyp. : les v.a.r.
X ij
sont indépendantes
Modèle
1. Choix de la loi des
X ij
, dépendant de (i,j)
• LogNormale : X ij LogN mij , 2 Z ij ln X ij N (mij , 2 )
• Famille exponentielle (GLM) :
Binomiale, Poisson (surdispersé), Normale, Gamma, ……
27
Modèles à variables explicatives (4)
2.
un lien entre loi et variables explicatives
ij E X ij E , i , j
Formes standards :
Additive
Multiplicative
ij i j
ij i j
i j
ij e
ou
Modèle LogNormale :
E ( Z ij ) mij i j
ij E X ij e
i j 2 2
e
mij
2
2
28
Modèles à variables explicatives (5)
• La loi des
• Loi de
X ij peut dépendre d’un autre paramètre
n
R
n
i 1 h n i 1
X ih
donc le paramètre ( FR )
, ( ), ( ), ( )
est fonction du paramètre
exemple :
i
n
E ( R)
n
i 1 h n i 1
j
E ( X ih ) ih
i
h
29
Modèles à variables explicatives (6)
Etape 1: Estimation
La méthode du maximum de vraisemblance, appliquée aux
données du triangle supérieur, fournit les
ˆ , ˆ i , ˆ j
estimateurs m.v.
, i , j
de
et de tout paramètre FR fonction de
Exemple : ij i j
E ( R) ij
i
emv de
, i , j
ij i j
« best » est. de
E R
h
30
Exemple (4)
Emv
i
7.9472
j 0
0
7.947
0.1604
8.108
0.2718
8.219
0.5904
8.538
0.5535
8.501
0.6126
8.560
; Valeurs (Z) prévues
mij i j
-0.9674
-4.2329
-5.0571
-5.9031
-4.9027
6.980
3.714
2.890
2.044
3.045
2.205
3.162
4.305
7.533
3,657
31
Exemple (5)
Val.(X) prévues :
i
j
ij e
mij
2
2
0
1
2
3
4
5
0
2849
3209
1083
1163
41
39
18
17
8
7
21
21
1
3345
3367
1271
1292
49
37
21
24
9
10
25
2
3739
3871
1421
1474
54
53
24
22
10
28
3
5142
4239
1954
1678
75
103
33
14
38
4
4956
4929
1884
1865
72
32
13
37
5
5258
5217
1997
76
34
14
39
Prov.
=
2462
32
Modèles à variables explicatives (7)
• Problème du biais
ij e
mij
2
2
estimateur biaisé (positivement) de
ij e
mij
asymptotiquement sans biais
Verrall, 1991
Doray, 1996
33
2
2
Exemple (6)
Résidus (Z) = Obs – Val. prévues
i
j
0
1
2
3
4
5
0
0.127
0.079
-0.051
-0.057
-0.098
0
1
0.014
0.024
-0.264
0.128
0.098
2
0.042
0.044
-0.016
-0.071
3
-0.185
-0.145
0.330
4
0.002
-0.002
5
0
34
Régression LogNormale (1)
Etape 2 : Diagnostic du modèle
• Détection des cellules « atypiques »
• Contrôle des hypothèses
(indépendance,Normalité,homoscédasticité)
par analyse des résidus
35
Exemple (7)
Cellules « atypiques »
i
j
0
1
2
3
4
5
0
0.127
0.079
-0.051
-0.057
-0.098
0
1
0.014
0.024
-0.264
0.128
0.098
2
0.042
0.044
-0.016
-0.071
3
-0.185
-0.145
0.330
4
0.002
-0.002
5
0
36
Exemple (8)
i
j
0
1
2
3
4
5
0
2849
3209
1083
1163
41
39
18
17
8
7
21
21
1
3345
3367
1271
1292
49
37
21
24
9
10
2
3739
3871
1421
1474
54
53
24
22
3
5142
4239
1954
1678
75
103
4
4956
4929
1884
1865
5
5258
5217
37
Exemple ( 9)
Graphique de normalité
99,9
99
95
80
50
20
5
1
0.1
-0,27
-0,07
0,13
0,33
0,53
Résidus
38
Résidus vs Année
0,53
0,33
0,13
-0,07
-0,27
0
1
2
3
4
5
Année
39
Résidus vs Délai
0,53
0,33
0,13
-0,07
-0,27
0
1
2
3
4
5
Délai
40
Régression LogNormale (2)
Détection des observations influentes sur
(i) valeurs prévues (DFFITS)
forte pour (1,2) ; très forte pour (3,2)
(ii) estimation des param. (DFBETAS)
forte pour (1,2) et (3,2)
(iii) précision d’estimation (COVRATIO)
précision par la présence des obs autres que (1,2) et (3,2)
41
Régression LogNormale (3)
Etape 3 : Risque d’estimation
Calcul direct de
V E ( R)
et IdC pour
E ( R)
difficiles
Techniques alternatives :
1.
Méthode Delta (asymptotique)
2.
Méthode bootstrap
42
Régression LogNormale (4)
1.
Méthode Delta
( , 1 ,..., 5 , 1 ,..., 5 , 2 )
Emv
N multi var iée ( , )
Matrice Var-Cov
V ( )
cov( , 1 )
cov( , 1 )
V (1 )
cov( , 2 )
cov( , 2 )
V ( 2 )
43
Exemple (10)
Mat. Var-Cov estimée
0,012
( )
-0,006 -0,007
-0,012 0
-0,006 0,012
0,006
0,006
0
-0,007 0,006
0,015
0,007
0
-0,012 0,006
0,007
0,043
0
0
0
0
0,001
0
44
Régression LogNormale (5)
E(R) fonction de , E ( R) g ( ) par
ij e
2
i j 2
, E ( R) ij
i
Théorème :
où
j
R E ( R) g ( ) AN g ( ), t
h h
h h
,
,....,
, 2
5
1
D’où loi (asympt.) de
R
gradient de g
, Vas ( R) , IdC pour E(R)
45
Régression LogNormale (6)
2.
Méthode Bootstrap
Par rééchantillonnage B fois du triangle des résidus
(B=1000 ; 2000 ;…..)
B réplications bootstrap de l’estimateur R E ( R) de
(1)
R ,...., R
E ( R)
(B)
Variance empirique, Vboot , estime
V ( R)
IdC pour E(R),
R
Est. de la loi de
, etc
46
Perspectives R & D
ij E ( X ij ) E ( , i , j )
V ( X ij ) V ( ij )
+
loi
•
•
•
•
Modèles à quasi-vraisemblance
Joint modelling
Régression non paramétrique (lissage), GAM
Modèles bayesiens (Bornhuetter-Ferguson)
Mack T. (2000) Astin Bull. Vol.30,333-348
• Increments <0
47
Références (1)
• Christofides S. (1990) : "Regression models based on Log
incremental payments". Claims Reserving Manual Vol. 2, Institute of
Actuaries
• Derrig R.A., Ostazewski K.M., Rempala G.A.(2000) : "Applications
of resampling methods in actuarial practice" Cas.Act.Soc.
• Doray L.G. (1996) : "UMVUE of the IBNR reserve in a Log normal
linear regression model" Ins. : Math & Econ. Vol. 18, 43-57
• England P.D., Verrall R. J. (1999) : "Analytic and bootstrap estimates
of prediction error in claims reserving" Ins. : Math. & Econ. Vol. 25,
281-293
• England P.D., Verrall R. J. (2001) : "A flexible framework for
stochastic claims reserving" Cas. Act. Soc.
• England P.D., Verrall R. J. (2002) : "Stochastic claims reserving in
General Insurance" Institute of Actuaries.
• Hastie T.J.,Tibshirani R.J. (1990) : "Generalized additive models".
Chapman § Hall
48
Références (2)
• Jal P. (2002) : "Obtention d’intervalles de confiance en réassurance
IARD par la méthode du bootstrap". Soumis au Bull. Franç.
d’Actuariat.
• Kaas R., Goovaerts M., Dhaene J., Denuit M. (2001) : "Modern
Actuarial Risk Theory" Kluwer Acad. Press
• Kremer E. (1982) : "IBNR claims and the two way model of Anova"
Scand. Act. J., 47-55
• Laboureau M., Brochard J. (1998) : "Estimation du risque lié au
calcul des réserves" Mémoire ENSAE/IAF
• Mack T. (1993) : "Distribution free calculation of the standard error of
Chain ladder reserve estimates" Astin Bull. Vol. 23, 213-225
• Mack T. (1994) : "Which stochastic model is underlying the chain
ladder model" Ins. : Math. & Econ. Vol. 15, 133-138
• Mack T., Venter G. (2000) : "A comparison of stochastic models that
reproduce chain ladder reserve estimates" Ins. : Math. & Econ. Vol.
26, 101-107
49
Références (3)
• Mc Cullagh P., Nelder J. (1989) : "Generalized Linear Models" 2e
ed. Chapman &Hall
• Nelder J., Wedderburn R. W. (1972) : "Generalized Linear Models"
J. Royal Stat. Soc. Vol. 135, 370-384
• Pinheiro P., Andrade e Silva J., Centeno M. (2001) : "Bootstrap
methodology in claim reserving" Astin Colloq., Washington
• Raymond Marc (2001) : “Le calcul des provisions pour sinistres à
payer-Approches stochastiques” Mémoire CEA/IAF.
• Renshaw A. E., Verrall R. J. (1994) : "A stochastic model underlying
the chain ladder technique" Proceedings of XXV Astin Colloq.,
Cannes
• Renshaw A. E., Verrall R. J. (1998) : "A stochastic model underlying
the chain ladder technique" British Act. J. Vol. 4, 903-923
• Schmidt K. D., Schrans A. (1996) : "An extension of Mack's model
for the chain ladder method" Astin Bull. Vol. 26, 247-262
• Shao J., Tu D. (1995) : "The Jackknife and bootstrap" Springer
50
Références (4)
• Séminaire ISFA-ISUP (1995) : "Evaluation des provisions
techniques en assurance non vie" ISFA, Université Claude Bernard
Lyon 1
• Swiss Re (2000) : "Late claims in reinsurance"
• Taylor G. (2000) : "Loss reserving : an actuarial perspective" Kluwer
Acad. Press
• Verrall R. J. (1991) : "On the estimation of reserves from Log linear
models" Ins. : Math. & Econ. Vol. 10, 75-80
• Verrall R. J. (2000) : " An investigation into stochastic claims
reserving models and the chain ladder techniques" Ins. : Math. &
Econ. Vol. 26, 91-99
• Verrall R. J., England P.D., (2000) :"Comments on : a comparison of
stochastic models that reproduce chain ladder reserve estimates, by
Mack and Venter" Ins. : Math. & Econ. Vol. 26, 109-111
• Mémoires de l’Institut des Actuaires sur le provisionnement non vie
51
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Evaluation de la provision pour sinistres
Mesures d’incertitude
Bootstrap
C. PARTRAT – P. JAL
52
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Méthode Chain Ladder
53
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Triangle des paiements non cumulés
357 848
352 118
290 507
310 608
443 160
396 132
440 832
359 480
376 686
344 014
766 940
884 021
1 001 799
1 108 250
693 190
937 085
847 631
1 061 648
986 608
610 542
933 894
926 219
776 189
991 983
847 498
1 131 398
1 443 370
482 940
1 183 289
1 016 654
1 562 400
769 488
805 037
1 063 269
527 326
445 745
750 816
272 482
504 851
705 960
574 398
320 996
146 923
352 053
470 639
146 342
527 804
495 992
206 286
139 950
266 172
280 405
227 229
425 046
67 948
54
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Triangle des paiements cumulés
357 848
352 118
290 507
310 608
443 160
396 132
440 832
359 480
376 686
344 014
1 124 788
1 236 139
1 292 306
1 418 858
1 136 350
1 333 217
1 288 463
1 421 128
1 363 294
1 735 330
2 170 033
2 218 525
2 195 047
2 128 333
2 180 715
2 419 861
2 864 498
2 218 270
3 353 322
3 235 179
3 757 447
2 897 821
2 985 752
3 483 130
2 745 596
3 799 067
3 985 995
4 029 929
3 402 672
3 691 712
3 319 994
4 120 063
4 132 918
4 381 982
3 873 311
3 466 336
4 647 867
4 628 910
4 588 268
3 606 286
4 914 039
4 909 315
3 833 515
5 339 085
3 901 463
55
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Triangle des paiements cumulés
357 848
352 118
290 507
310 608
443 160
396 132
440 832
359 480
376 686
344 014
1 124 788
1 236 139
1 292 306
1 418 858
1 136 350
1 333 217
1 288 463
1 421 128
1 363 294
1 735 330
2 170 033
2 218 525
2 195 047
2 128 333
2 180 715
2 419 861
2 864 498
2 218 270
3 353 322
3 235 179
3 757 447
2 897 821
2 985 752
3 483 130
2 745 596
3 799 067
3 985 995
4 029 929
3 402 672
3 691 712
3 319 994
4 120 063
4 132 918
4 381 982
3 873 311
3 466 336
4 647 867
4 628 910
4 588 268
3 606 286
4 914 039
4 909 315
3 833 515
5 339 085
3,4906
1,7473
1,4574
1,1739
1,1038
1,0863
1,0539
1,0766
1,0177
3 901 463
1,0000
56
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Déroulement du triangle
357 848
352 118
290 507
310 608
443 160
396 132
440 832
359 480
376 686
344 014
1 124 788
1 236 139
1 292 306
1 418 858
1 136 350
1 333 217
1 288 463
1 421 128
1 363 294
1 200 818
1 735 330
2 170 033
2 218 525
2 195 047
2 128 333
2 180 715
2 419 861
2 864 498
2 382 128
2 098 228
2 218 270
3 353 322
3 235 179
3 757 447
2 897 821
2 985 752
3 483 130
4 174 756
3 471 744
3 057 984
2 745 596
3 799 067
3 985 995
4 029 929
3 402 672
3 691 712
4 088 678
4 900 545
4 075 313
3 589 620
3 319 994
4 120 063
4 132 918
4 381 982
3 873 311
4 074 999
4 513 179
5 409 337
4 498 426
3 962 307
3 466 336
4 647 867
4 628 910
4 588 268
4 207 459
4 426 546
4 902 528
5 875 997
4 886 502
4 304 132
3 606 286
4 914 039
4 909 315
4 835 458
4 434 133
4 665 023
5 166 649
6 192 562
5 149 760
4 536 015
3 833 515
5 339 085
5 285 148
5 205 637
4 773 589
5 022 155
5 562 182
6 666 635
5 544 000
4 883 270
3,4906
1,7473
1,4574
1,1739
1,1038
1,0863
1,0539
1,0766
1,0177
3 901 463
5 433 719
5 378 826
5 297 906
4 858 200
5 111 171
5 660 771
6 784 799
5 642 266
4 969 825
1,0000
57
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Calcul des provisions
Provisions
0
94 634
469 511
709 638
984 889
1 419 459
2 177 641
3 920 301
4 278 972
4 625 811
TOTAL:
18 680 856
58
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Modèle stochastique de Poisson
(Chain ladder stochastique 2)
59
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Modèle stochastique de Poisson
357 848
352 118
290 507
310 608
443 160
396 132
440 832
359 480
376 686
344 014
766 940
884 021
1 001 799
1 108 250
693 190
937 085
847 631
1 061 648
986 608
610 542
933 894
926 219
776 189
991 983
847 498
1 131 398
1 443 370
482 940
1 183 289
1 016 654
1 562 400
769 488
805 037
1 063 269
527 326
445 745
750 816
272 482
504 851
705 960
Modèle GLM
ij e
i j
SAS
574 398
320 996
146 923
352 053
470 639
146 342
527 804
495 992
206 286
Paramètre
Intercept
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
139 950
266 172
280 405
Estimation
12.506
0.000
0.331
0.321
0.306
0.219
0.270
0.372
0.553
0.369
0.242
0.000
0.913
0.959
1.026
0.435
0.080
-0.006
-0.394
0.009
-1.380
227 229
425 046
Std Err
0.173
0.000
0.154
0.158
0.161
0.168
0.171
0.175
0.187
0.240
0.429
0.000
0.149
0.153
0.157
0.164
0.215
0.230
0.311
0.321
0.889
67 948
60
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Modèle stochastique de Poisson
12,506
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0,331
0,321
0,306
0,219
0,27
0,372
0,553
0,369
0,242
1
0
2
0,913
ij e
856 804
3
0,959
4
1,026
5
0,435
6
0,08
7
-0,006
8
-0,394
i j
1 018 834
897 410
1 310 258
1 089 616
959 756
605 548
725 788
603 569
531 636
383 287
424 501
508 792
423 113
372 687
334 148
351 548
389 349
466 660
388 076
341 826
247 190
226 674
238 477
264 121
316 566
263 257
231 882
9
0,009
375 833
370 179
339 456
357 132
395 534
474 073
394 241
347 255
10
-1,38
94 634
93 678
92 268
84 611
89 016
98 588
118 164
98 266
86 555
Résultats EXACTEMENT identiques à ceux de
Chain Ladder
61
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
62
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
Données: triangle des paiements cumulés
357 848
352 118
290 507
310 608
443 160
396 132
440 832
359 480
376 686
344 014
1 124 788
1 236 139
1 292 306
1 418 858
1 136 350
1 333 217
1 288 463
1 421 128
1 363 294
1 735 330
2 170 033
2 218 525
2 195 047
2 128 333
2 180 715
2 419 861
2 864 498
2 218 270
3 353 322
3 235 179
3 757 447
2 897 821
2 985 752
3 483 130
2 745 596
3 799 067
3 985 995
4 029 929
3 402 672
3 691 712
3 319 994
4 120 063
4 132 918
4 381 982
3 873 311
3 466 336
4 647 867
4 628 910
4 588 268
3 606 286
4 914 039
4 909 315
3 833 515
5 339 085
3 901 463
Hypothèse: modèle Poissonnien pour la distribution des paiements
Or résultats du modèle de Poisson = résultats de Chain Ladder
Développement de la méthode à partir de Chain ladder
63
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
1ère étape: Chain Ladder « classique »
calcul des coefficients de développement
357 848
352 118
290 507
310 608
443 160
396 132
440 832
359 480
376 686
344 014
1 124 788
1 236 139
1 292 306
1 418 858
1 136 350
1 333 217
1 288 463
1 421 128
1 363 294
1 735 330
2 170 033
2 218 525
2 195 047
2 128 333
2 180 715
2 419 861
2 864 498
2 218 270
3 353 322
3 235 179
3 757 447
2 897 821
2 985 752
3 483 130
2 745 596
3 799 067
3 985 995
4 029 929
3 402 672
3 691 712
3 319 994
4 120 063
4 132 918
4 381 982
3 873 311
3 466 336
4 647 867
4 628 910
4 588 268
3 606 286
4 914 039
4 909 315
3 833 515
5 339 085
3,4906
1,7473
1,4574
1,1739
1,1038
1,0863
1,0539
1,0766
1,0177
3 901 463
1,0000
64
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
Travail sur les résidus (non standardisés) de Pearson:
P
rij
x ij ˆ ij
ˆ ij
1ère étape: calculer les valeurs prédites par le modèle pour la partie supérieure
du triangle
X 1,0177
3 901 463
5 339 085
4 909 315
4 588 268
3 873 311
3 691 712
3 483 130
2 864 498
1 363 294
344 014
3,4906
1,7473
1,4574
1,1739
1,1038
1,0863
1,0539
1,0766
1,0177
1,0000
65
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
Travail sur les résidus (non standardisés) de Pearson:
P
rij
x ij ˆ ij
ˆ ij
1ère étape: calculer les valeurs prédites par le modèle pour la partie
supérieure du triangle
X 1,0766
3 833 515
5 339 085
3 901 463
1,0177
1,0000
4 909 315
4 588 268
3 873 311
3 691 712
3 483 130
2 864 498
1 363 294
344 014
3,4906
1,7473
1,4574
1,1739
1,1038
1,0863
1,0539
1,0766
66
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
Travail sur les résidus (non standardisés) de Pearson:
P
rij
x ij ˆ ij
ˆ ij
1ère étape: calculer les valeurs prédites par le modèle pour la partie
supérieure du triangle
3 560 909
4 959 416
4 909 315
3 833 515
5 339 085
3 901 463
1,0766
1,0177
1,0000
4 588 268
3 873 311
3 691 712
3 483 130
2 864 498
1 363 294
344 014
3,4906
1,7473
1,4574
1,1739
1,1038
1,0863
1,0539
67
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
Travail sur les résidus (non standardisés) de Pearson:
P
rij
x ij ˆ ij
ˆ ij
1ère étape: calculer les valeurs prédites par le modèle pour la partie supérieure
du triangle
270 061
376 125
372 325
366 724
336 287
353 798
391 842
469 648
390 561
344 014
942 678
1 312 904
1 299 641
1 280 089
1 173 846
1 234 970
1 367 765
1 639 355
1 363 294
1 647 172
2 294 081
2 270 905
2 236 741
2 051 100
2 157 903
2 389 941
2 864 498
2 400 610
3 343 423
3 309 647
3 259 856
2 989 300
3 144 956
3 483 130
2 817 960
3 924 682
3 885 035
3 826 587
3 508 995
3 691 712
3 110 531
4 332 157
4 288 393
4 223 877
3 873 311
3 378 874
4 705 889
4 658 349
4 588 268
3 560 909
4 959 416
4 909 315
3 833 515
5 339 085
3 901 463
3,4906
1,7473
1,4574
1,1739
1,1038
1,0863
1,0539
1,0766
1,0177
1,0000
68
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
2ème étape: en déduire les paiements annuels prédits par le modèle
270 061
376 125
372 325
366 724
336 287
353 798
391 842
469 648
390 561
344 014
672 617
936 779
927 316
913 365
837 559
881 172
975 923
1 169 707
972 733
704 494
981 176
971 264
956 652
877 254
922 933
1 022 175
1 225 143
753 438
1 049 342
1 038 741
1 023 114
938 200
987 053
1 093 189
417 350
581 260
575 388
566 731
519 695
546 756
292 571
407 474
403 358
397 290
364 316
268 344
373 732
369 957
364 391
182 035
253 527
250 966
272 606
379 669
67 948
69
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
3ème étape: calculer le triangle des résidus de Pearson non standardisés
P
rij
-
-
168,93
39,14
134,09
92,67
184,29
71,17
78,26
160,76
22,20
-
-
-
115,01
54,51
77,35
203,92
157,75
59,56
129,87
99,91
14,07
-
111,94
47,73
45,71
184,51
122,49
78,52
108,03
197,16
-
311,63
130,76
21,67
533,16
174,18
183,21
28,62
-
x ij ˆ ij
170,23
177,75
231,27
390,87
20,59
215,31
ˆ ij
-
521,04
135,47
403,77
71,77
176,15
-
-
235,52
252,02
207,21
261,92
-
98,64
25,11
58,77
-
86,91
73,64
-
0,00
70
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
4ème étape: appliquer le Bootstrap au triangle des résidus de Pearson
On obtient ainsi 10000 triangles de résidus par tirage
uniforme des résidus initiaux
Ex:
-
-
197,16
231,27
122,49
235,52
177,75
108,03
521,04
58,77
28,62
183,21
-
-
111,94
184,29
28,62
134,09
59,56
533,16
54,51
21,67
157,75
-
14,07
252,02
176,15
135,47
177,75
0,00
58,77
47,73
-
71,77
157,75
47,73
129,87
130,76
183,21
207,21
-
59,56
99,91
311,63
390,87
183,21
22,20
-
-
78,52
176,15
115,01
174,18
108,03
-
157,75
207,21
134,09
134,09
-
168,93
78,26
235,52
-
390,87
184,29
231,27
71
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
5ème étape: reconstituer pour chaque triangle de résidus le triangle des
paiements
x ij ˆ ij rij( p ) ˆ ij
Connaissant le triangle des
̂ ij
et celui des
rij( P)
on en déduit celui
des paiements annuels.
372 520
517 961
447 067
224 098
233 210
418 055
717 998
509 923
372 675
236 556
580 811
1 115 149
899 756
785 215
892 068
1 381 653
922 074
1 146 270
817 149
716 304
1 230 813
1 144 865
824 151
710 770
922 933
1 081 594
1 172 313
691 141
887 747
990 096
891 752
1 064 855
805 033
1 309 839
455 827
505 088
339 003
272 478
387 619
530 341
250 099
519 917
476 401
287 124
429 522
186 626
500 407
288 398
283 448
254 110
292 932
132 978
68 526
493 223
128 233
72
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
6ème étape: on reprend la méthode Chain Ladder avec chaque triangle
ainsi obtenu
Calcul des paiements cumulés:
372 520
517 961
447 067
224 098
233 210
418 055
717 998
509 923
372 675
236 556
953 332
1 633 109
1 346 822
1 009 313
1 125 277
1 799 709
1 640 072
1 656 194
1 189 824
1 669 635
2 863 923
2 491 687
1 833 464
1 836 047
2 722 642
2 721 666
2 828 506
2 360 776
3 751 670
3 481 783
2 725 216
2 900 902
3 527 674
4 031 505
2 816 604
4 256 758
3 820 786
2 997 695
3 288 521
4 058 015
3 066 703
4 776 675
4 297 187
3 284 819
3 718 042
3 253 329
5 277 083
4 585 585
3 568 267
3 507 438
5 570 014
4 718 564
3 575 965
6 063 238
3 704 197
73
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
6ème étape: on reprend la méthode Chain Ladder avec chaque triangle
ainsi obtenu
Calcul des facteurs de développement:
372 520
517 961
447 067
224 098
233 210
418 055
717 998
509 923
372 675
236 556
953 332
1 633 109
1 346 822
1 009 313
1 125 277
1 799 709
1 640 072
1 656 194
1 189 824
1 669 635
2 863 923
2 491 687
1 833 464
1 836 047
2 722 642
2 721 666
2 828 506
2 360 776
3 751 670
3 481 783
2 725 216
2 900 902
3 527 674
4 031 505
2 816 604
4 256 758
3 820 786
2 997 695
3 288 521
4 058 015
3 066 703
4 776 675
4 297 187
3 284 819
3 718 042
3 253 329
5 277 083
4 585 585
3 568 267
3 507 438
5 570 014
4 718 564
3 575 965
6 063 238
3 704 197
3,2394
1,6990
1,4115
1,1328
1,1143
1,0816
1,0518
1,0619
1,0359
1,0000
74
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
6ème étape: on reprend la méthode Chain Ladder avec chaque triangle
ainsi obtenu
Déroulement du triangle:
372 520
517 961
447 067
224 098
233 210
418 055
717 998
509 923
372 675
236 556
953 332
1 633 109
1 346 822
1 009 313
1 125 277
1 799 709
1 640 072
1 656 194
1 189 824
766 312
1 669 635
2 863 923
2 491 687
1 833 464
1 836 047
2 722 642
2 721 666
2 828 506
2 021 534
1 301 979
2 360 776
3 751 670
3 481 783
2 725 216
2 900 902
3 527 674
4 031 505
3 992 303
2 853 300
1 837 682
2 816 604
4 256 758
3 820 786
2 997 695
3 288 521
4 058 015
4 567 022
4 522 613
3 232 313
2 081 787
3 066 703
4 776 675
4 297 187
3 284 819
3 718 042
4 521 692
5 088 859
5 039 376
3 601 643
2 319 656
3 253 329
5 277 083
4 585 585
3 568 267
4 021 475
4 890 712
5 504 166
5 450 644
3 895 577
2 508 965
3 507 438
5 570 014
4 718 564
3 753 270
4 229 975
5 144 279
5 789 538
5 733 241
4 097 549
2 639 046
3 575 965
6 063 238
5 010 567
3 985 537
4 491 743
5 462 627
6 147 818
6 088 037
4 351 122
2 802 361
3 704 197
6 280 663
5 190 244
4 128 457
4 652 815
5 658 515
6 368 277
6 306 352
4 507 152
2 902 853
3,2394
1,6990
1,4115
1,1328
1,1143
1,0816
1,0518
1,0619
1,0359
1,0000
Provision
15 582 812
75
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
En faisant ceci pour chaque triangle bootstrapé, on obtient un
10000-échantillon de réalisations de notre variable « provision »
Distribution empirique de l’estimation de la provision
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
34
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
0
Moyenne
Mediane
Ecart type
q60
q70
q80
q90
q95
q99
18 844 740
18 684 481
2 820 968
19 372 328
20 177 717
21 087 043
22 489 798
23 726 030
26 320 049
76
Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002
Bootstrap et provisionnement
En ajoutant une simple série de simulations supplémentaires:
Distribution empirique de prédiction de la provision
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
34
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
0
moyenne
mediane
ecart type
q60
q70
q80
q90
q95
q99
18 880 570
18 673 483
3 090 040
19 409 902
20 304 126
21 356 153
22 934 194
24 301 829
27 247 505
77