Transcript Mechanika budowli sem IV | 620 kB

Prezentacja multimedialna z
przedmiotu
„Mechanika budowli” kierunek
„Budownictwo” specjalność
„Technologie energooszczędne w
budownictwie” sem.IV
1
Wykład został przedstawiony na
podstawie podręcznika
Gustawa Rakowskiego
„Mechanika budowli” Oficyna
Wydawnicza Wyższej Szkoły
Ekologii i Zarządzania,
Warszawa 2004
1.Przemieszczenia w
ustrojach statycznie
wyznaczalnych

Praca sił zewnętrznych
Mj
Pi
j
i
j
i

j' 
i'
Lz  Pii  M j j
4

Praca sił wewnętrznych
T
N
M
M
N
N
N
T
dx
dx
du
d
r
M
T
M
dx

T
dx
dx
5

Praca siły podłużnej N
N
N
dx
du
dLN  Ndu
dLN  Ndx
LN   dL N   Ndx
l
l
6

Praca momentu zginającego M
d
r
M
M
dx
dLM  Md
1
d  dx  kdx
r
dLM  Mkdx
LM   dLM   Mkdx
l
l
7

Praca siły poprzecznej T
T
dx

T
dx
dLT  Tdx
LT   dLT   T dx
l
l
8

Całkowita praca sił przekrojowych
Lw   Ndx   Mkdx   T dx
l
l
l
 T dx  0
l
9

ZASADA PRAC WIRTUALNYCH

Praca zewnętrznych sił wirtualnych na
odpowiadających im rzeczywistych
przemieszczeniach równa się pracy
wirtualnych sił przekrojowych
spowodowanych wirtualnym obciążeniem
na odpowiadających im rzeczywistych
odkształceniach




P  j  M  j   Ndx   Mkdx
l
l
10

W układach prętowych

k
N
EA
M
EJ
Niech obciążenie wirtualne wynosi
Zatem:

1

 

M
 N

1i   i    
Ndx  
Mdx
EJ

j 1  l j EA
lj


n
11



n
1i   i   
j 1 l j
M
Mdx
EJ
F – pole wykresu M
Całkowanie:
Środek ciężkości M

 M M dx  F
l
η

Rzędna wykresu M
pod środkiem
ciężkości pola F
12
F
a
1
ab
2
F
a
1
ab
3
b
4
b
3
b
b
F
F
2
ab
3
2
ab
3
a
a
3
b
8
b
b
2
b
2
13

Figury złożone
a
f
b
2
b
2
b
3
b
2
b
b
3
a
b
f
14

Przykład 1.1
EJ  const
q
 ?
l
4
l
Momenty rzeczywiste
ql 2
8
M
15

Stan obciążeń wirtualnych
1
l
4
l
Momenty wirtualne
_
M
1
l
4
16

Obliczenie przemieszczenia 
ql 2
8
M
_
1
M
l
4
1 2 ql 2
1 l
1   

l  1 
EJ 3 8
2 4
ql 4
 
96EJ
17

Przykład 1.2
Stan wirtualny
2J
P
J
2J
1
J
 ?
l
l
l
Momenty rzeczywiste
2 Pl
Pl
l
Momenty wirtualne
1  2l
1 l
18
1  2l
1 l
2 EJ
EJ
2 Pl
Pl
1  
1 l
Pl
1
1 2
1
1 2
1
1
1 1
2
1  l  l   Pl 
1  2l  l  (  2 Pl   Pl ) 
1  l  l  (  2 Pl   Pl )
EJ
2 3
2 EJ
2 3
3
2 EJ
2 3
3
3 Pl 3

2 EJ
19


W ramach zwykle można pomijać wpływ
sił podłużnych na przemieszczenia
punktów konstrukcji. Zatem


n
1i   i   
j 1 l j
M
Mdx
EJ
20
Przykład 1.3
  ?
P
C
3
l
4
l
A
EJ  const
B
l
2
l
2
21
Stan rzeczywisty:
C
HA
P
3
Pl
7
3
Pl
7
M
A
VA
HB
B
VB
l
 H A   VA  l  P  l  0
4
3
l
M C  H A  l  VA   0
4
2
M
Czyli:
B
HA 
4
P
7
22
Stan wirtualny
C
1
1
1
H
6
7
1
8
7
A
M
V
H
B
1
 V l  H  l  0
4
l
3
MC  V   H  l  1  0
2
4
M
B
V
Czyli:
H  1
8
7
23
1
1
6
7
1
8
7
1
1 3
1   
( M '  Mdx   M "  Mdx)

lj
EJ j 1 l j
M
lj
'
 Mdx  0
1
1
M'
M
Ale:
1
7
1
7
M"
3
Pl
7
3
Pl
7
M
24
1
1
7
1
1
1   
M"
1 3
3 1 2
1
3
l 1 2
1
( Pl  l    1   2  Pl     1   3 Pl  l  1  2  1  1 )
EJ 7
4 2 3
7
7
2 2 3
7 7
2 3
7
Pl 2 3  3  2 2  3  2 3  2
 
(


)
49EJ 4  2  3 2  2  3 2  3
1
7
3
Pl
7
3
Pl
7
5Pl 2
  
196EJ
M
25
Przykład 1.4
l
q
u?
EJ  const
l
l
26
Stan rzeczywisty
A
H
ql 2
4
q
ql 2
4
M
B
 H  2l  ql 
H
ql
4
l
0
2
M
H
B
V
27

Stan wirtualny:
A
HA
1
M
B
 H A  2l  1  l  0
HA  1
1
2
HB  1 
1
2
1
1
l
2
l
2
M
HB
B
VB
28
ql 2
4
ql 2
4
ql 2
4
ql
4
1
1
l
2
l
2
ql 2
8
2
M
M
ql 2
4
1 2 ql2
l
1 u  
 
l  1 
EJ 3 8
2
u
ql 2
4
ql 4
24EJ
29


W kratownicach występują tylko siły podłużne,
które nie zmieniają się na długościach prętów.

Zatem równanie prac wirtualnych ma postać:
n
n N  N l
N N
N N
j
j
j
1 i   
dx  
dx



EAj
j 1 l j EA
j 1 EA l j
j 1
n
30

Przykład 1.5
P
Przekroje prętów w pasach
A
l
A
2
Przekroje prętów w krzyżulcach
 ?
l
l
Przekroje prętów w słupkach
A
2
l
31

W tym przypadku wygodniej jest rozpocząć
obliczenia od stanu wirtualnego.
1
l
 12
1
l
l
1 2
1 2
1
1
l
32

Stan rzeczywisty
P
2P
P 2
P 2
l
P
 3P
l
Siły rzeczywiste obliczamy
tylko w tych prętach, w
których istnieją siły wirtualne
 2P
l
l
33
2P
1
A
1 2
A
P 2
2
 3P
 12
A
1  
1
P
1 2
P 2
A
2
A
2
1
 2P
A
l
l
l
l 2
l
 1  2P 
 ( 1 )  (2 P) 
 ( 1  2)  (3P)  2
21 2  P 2 
2  (  1 )  (  P)
EA
EA
EA
EA
EA

l
(2 P  2 P  6 P  8P  2 P)
EA

20 Pl
EA
34

Przykład 1.6
P
P
CD  ?
D
l 3
2
A
B
C
l
l
l
l
EA  const
35

Stan wirtualny jest stanem samozrównoważonym
D
1
A
1
l 3
2
B
C
l
l
l
l
36
1
E
3
1
3
C
3
3
P
D
1
1
1
y
1
C
3
3
N CE   1 
F
3
3
NCE 
P
P
N ED
E
3
1
 1  0
2
2
3
3
Stan rzeczywisty
D
N EF
NCE
A
C
B
F
NCF
l
l
l
P
NCE 
l
P
N EF 
3
 P  P  0  N EF  0
2
l 3
2
N CF 
3
3
l  P  l  0  N CF  3P
2
2
NED  NCF   3P
3
P0
2
N CE  
2 3
P
3
37
1
E
E
 3P
D
3
1
3
C
3
3
1
1
3
3
D
2 3

P
3
3
3
F
C
1   CD  ( 1 
3P
F
3
2 3
l
)(
P) 
3
3
EA
 CD 
2 Pl
3 EA
38

Podpory i reakcje
Siły przekrojowe
Przegubowo-kulista
T
M
Ms
Przegubowo-walcowa
Utwierdzona
39


W prętach tych występują momenty
zginające i skręcające. Wpływ obu tych
wielkości na przemieszczenia jest
porównywalny.
n
1   i   (
j 1 l j
Gdzie:
Ms , Ms
M Ms
M M
dx   s
dx)
EJ
GC
lj
- momenty skręcające
G
- moduł Kirchhoffa
C
-charakterystyka przekroju na skręcanie; w
prętach o przekrojach kołowych biegunowy
moment bezwładności
40

Równania równowagi

Jeśli pręt leży w płaszczyźnie xy a obciążenie jest
prostopadłe do tej płaszczyzny mamy 3 równania
równowagi
P  0
z
z
M
x
M
y
0
0
y
x
Mx, My
- momenty względem osi
41

Przykład 1.7
l
l
2
q
EJ  2GC
C
A
 ?
l
B
l
42

Stan rzeczywisty
l
l
2
q
C
A
3
 VC  2l  ql  l  0
2
3
VC  ql
4
3 3
3
 M x  VB  2 l  2 ql  4 l  VC  l  0
M
y
VC
VA
l
B
l
VB
3
2
3
ql ql
ql  VC  ql  
4
3
4
2
4
VB 
P
3
 VA VB  VC  ql  0
2
VA 
3
ql 3
ql
ql   ql 
2
4 4
2
z
43
Równoległe przesunięcia sił
ql 2
2
3
ql
4
ql
2
Oznaczenia:
ql
4
ql 2
4
Wektor siły
Wektor momentu
44
Wykresy momentów rzeczywistych
Ms
M
ql 2
8
ql
2
ql 2
32
2
3ql 2
4
ql 2
2
ql 2
4
ql 2
4
45
Stan obciążeń wirtualnych
M
l
l
2
C
1
A
VA
l
l
VB
 VC  2l  1  l  0
VC  1 
M
VC
B
y
x
1
2
3
 VB  l VC  l  0
2
2
1
VB   VC   1 
3
3
P  V
z
A
 VB  VC  1  0
1
1
5
VA  1  1   1  1 
2
3
6
46
Wykresy momentów wirtualnych
M
5
1 l
6
Ms
l
1
6
l
1
3
1
5
1 l
6
1
l
2
Wykresy momentów rzeczywistych
M
ql 2
8
ql
2
2
3ql 2
4
ql 2
32
decydujące
ql 2
2
EJ  2GC
l
3
Ms
ql 2
4
ql 2
4
2
2 ql 2
1 l 2 ql2 l 1 l
1 ql 2 l 2 5l
ql 2 l 2 l 3ql l 2 l
1 ql2
5l ql 2 l l

l   
   )
1  
(
  
   
   
(
l 

  )
3 8
2 6 3 32 2 2 6
4 2 3 2 GC 2
EJ 2 2 3 6
4 2 3 3
6
4 2 3
ql 4
  0,562
EJ
47
tg
h
td
h
 t  t t
h
k t 
t
 t t
h
Δt
t 
współczynnik rozszerzalności termicznej
W układach statycznie wyznaczalnych wpływ temperatury nie
wywołuje powstania sił przekrojowych
48
1i   i   N   t t  dx   M 
l
l
 t t
h
dx
Jeśli na długości pręta przyrost temperatury oraz stałe materiałowe nie zmieniają się, to
1i   i   t t  Ndx 
 t t
l
h
 M dx  t t  FN 
 t t
l
h
 FM
W przypadku wielu prętów
n
n
 t t
j 1
h
1i   i   t t  F jN  
j 1
Gdzie:
 FjM
F jN - pole wykresu wirtualnej siły podłużnej w pręcie j
FjM - pole wykresu wirtualnego momentu zginającego w pręcie j
49
Przykład 1.8 – nierównomierny przyrost temperatury
Stan
wirtualny:
3l
1
 ?
2
2h
1
t
1
3
2
M
h
t
1,5l
1
1
l
1   
 
 t t
h
3
2
1
3l 3l 1  t t
3l
1
  
 1  l 
2 2 2 2h
2
2
 t tl 2 9 3
h
3  tl 2
(  )  t
8 8
2
h
50
Przykład 1.9 –równomierny przyrost temperatury
t
t
l
t
 ?
l
l
l
l
l
l
Stan wirtualny:
1
N1
3
N3
2
1
1
2
N2
1
1
 3l  N1  l  0
2
N1  1
1
 2l  N 2  l  0
2
N2   1
1
2

N3  0
2 2
N3   1
3
2
2
2
3
2
1    t t (1   l  1  l  1 
l 2)
2
2
1
2
   tt  l
51
Przemieszczenia podpór powstają w rzeczywistych obiektach na
skutek różnych zdarzeń, zwłaszcza awaryjnych. Po ich zmierzeniu
możemy ustalić ich skutki, w tym przypadku na przemieszczenia
innych punktów konstrukcji
Ponieważ w układach statycznie wyznaczalnych nie powstają siły
przekrojowe, zatem nie ma pracy sił przekrojowych.
Czyli praca zewnętrznych sił wirtualnych na rzeczywistych
przemieszczeniach równa jest zero.
W układach statycznie wyznaczalnych osiadanie podpór
nie wywołuje powstania sił przekrojowych
52
Lz  1i   i   Rk   k  0
k
 i - poszukiwane przemieszczenie
Rk - reakcje podpór od jedynki wirtualnej
 k - znane (pomierzone) przemieszczenia podpór
Przemieszczenia podpór mogą być zarówno liniowe jak i kątowe
u

v
53
Przykład 1.10 – przemieszczenia podpór
C
l
3
l
2
0
0
l
 ?
l
l
l
54
Stan wirtualny
C
l
3
l
2
D
1
0
M D VE  l  1  l  0
A
1
l
5
1M
 Al
2
E
B
A
VE
1
VB
0
l
MCp  VB  l  1  2l  1  2l  0
l
l
1
3
M Cl  M A  1  l  1  l  0
2
5
M A 1  l
2
5
1    1   0  1  l  0  0
2
5
2
   0  l  0
55
2.Metoda sił

Jeżeli układ materialny jest w równowadze,
to odrzucenie dowolnego więzu i
zastąpienie go reakcją nie zmienia stanu
równowagi układu
P
P
P
2
l
l
57
Stopniem statycznej niewyznaczalności układu prętowego nazywamy liczbę
całkowitą, będącą różnicą między liczbą nieznanych wielkości statycznych
występujących w układzie a liczbą możliwych do ułożenia równań statyki.
Chociaż można podać ogólny wzór na stopień statycznej
niewyznaczalności dowolnych układów, wygodniej jest stosować wzory do
różnych typów układów prętowych
Rozpoczniemy od analizy belek, w których można
szczególnie prosto omówić koncepcję
58
Stopień statycznej niewyznaczalności:
Gdzie:
n  r 3 p
r – liczba reakcji podpór
3 – liczba równań równowagi
p – liczba przegubów rozdzielających pręty
q
P
r 5
p0
n  53  2
59
n  r 3 p
n  43 1
n  5  3 1  1
n  6  3 1  2
n  7 3 2  2
Podpora utwierdzona przesuwna
60
Gdy n>0 układ jest statycznie niewyznaczalny
Gdy n=0 układ jest statycznie wyznaczalny
Gdy n<0 układ jest geometrycznie zmienny
n  3  3  1  1
n  2  3  1
n  5  3  3  2
61
Warunek geometrycznej niezmienności n  0
koniecznym, ale nie dostatecznym
jest tylko warunkiem
Należy jeszcze sprawdzić, czy układ taki nie ma żadnych stopni
swobody (s- liczba stopni swobody). Czyli musi być s=0
n  0 s 1
n 1
s 1
n2
s 1
n2
s2
62
1. Obliczyć stopień statycznej niewyznaczalności
q
P
r 5
p0
n  53  2
2. Przyjąć schemat podstawowy statycznie wyznaczalny
Musimy odrzucić n więzów, zastępując je nieznanymi
reakcjami, ponumerowanymi X1 , X 2 ,...X n
Ta operacja nie jest obiektywna, zależy od rozwiązującego i silnie
wpływa na efektywność rozwiązania
Algorytm metody sił
Na przykładzie belki pokazanej uprzednio
63
q
P
Warianty układu podstawowego statycznie wyznaczalnego
q
P
X1
X2
q
P
q
X1
X2
P
q
X2
X1
Algorytm metody sił
64
3. Sporządzić wykresy momentów zginających
Mi
od stanów jednostkowych X i w układzie podstawowym
Stan X 1  1
X1  1
Stan X 2  1
1
11
2
 21
M1
1
 22
12
2
X2 1
1
M2
4. Obliczyć przemieszczenia  ik w miejscach usuniętych więzów na
na kierunkach wielkości nadliczbowych od jednostkowych wartości X i
Algorytm metody sił
65
5. Sporządzić wykres momentów zginających M 0 od danego obciążenia
w układzie podstawowym
q
P
1
2
10
 20
M0
6. Obliczyć przemieszczenia
i0
w miejscach usuniętych więzów na
na kierunkach wielkości nadliczbowych od obciążenia zewnętrznego
Algorytm metody sił
66
7. Budujemy kanoniczne równania metody sił. Są to przemieszczeniowe
równania więzów, z których wynika, że więzy w rzeczywistości nie są
odrzucone.
W omawianym przykładzie stwierdzamy, że sumaryczny kąt obrotu w
punkcie 1 równy jest zeru, gdyż w tym miejscu jest podpora
utwierdzona, natomiast sumaryczne przemieszczenie w punkcie 2 też
musi być zerowe, gdyż tam znajduje się środkowa podpora.
q
P
 ik
11 X 1  12 X 2  10  0
 21 X 1   22 X 2   20  0
przyczyna
miejsce
Algorytm metody sił
67
8.Rozwiązać układ równań względem niewiadomych
11 X 1  12 X 2  10  0
 21
X 1   22 X 2   20  0
9.Korzystając z wzoru superpozycyjnego
X1, X 2
M  M 0  M1 X1  M 2 X 2
sporządzić wykres momentów zginających oraz wykresy
pozostałych sił przekrojowych
Algorytm metody sił
68

Obliczanie współczynników układu równań
metody sił
Współczynniki  ik oraz  i 0 są przemieszczeniami, zatem do ich obliczenia
można zastosować twierdzenie o pracy wirtualnej. Jeśli chcemy obliczyć
np.  ik czyli przemieszczenie w miejscu i spowodowane działaniem w
miejscu k nadliczbowej
należy w miejscu i przyłożyć
Xk 1
jednostkowe obciążenie wirtualne i sporządzić od niego wykres
momentów zginających. Zauważmy że takim obciążeniem będzie stan
Xi 1
i spowodowany nim wykres momentów M i .
Mamy więc:
Podobnie:
 ik   
MiM k
dx
EJ
 i0   
MiM 0
dx
EJ
69
Zauważmy:
2
1) Każde  ii  0 gdyż     (M ) dx - funkcja podcałkowa jest
EJ
dodatnia o ile istnieje zginanie. Oznacza to, że w układach
sprężystych przemieszczenie pod siłą spowodowane działaniem tej
siły jest zawsze zgodne ze zwrotem jej działania.
i
ii
2) Zawsze jest  ik   ki
X1  1
1
2
 21
1
12
2
X2 1
W rzeczywistości równe są prace 1 12  1  21
Jest to szczególny przypadek twierdzenia o wzajemności, tzw. Twierdzenie
Maxwella. W wyniku tego macierz układu równań metody sił jest macierzą
symetryczną
70
Wpływy pozastatyczne
 Nierównomierny przyrost temperatury

h
k t 
 t t
h
kt - krzywizna
Δt
t 
współczynnik rozszerzalności termicznej
Układ podstawowy jest układem statycznie wyznaczalnym.
Zatem:
n
 t t
j 1
h
i0  
gdzie:
n
 t t
j 1
h
  M i dx 
j
i
 FjM
i
FjM
- pole wykresu momentu M i na pręcie
W układach statycznie wyznaczalnych przyrost
temperatury nie wywołuje powstania sił przekrojowych
71
Wpływy pozastatyczne
 Równomierny przyrost temperatury

h
 t  t t
t
n
n
i
 i 0   t t  Ni dx  t t  FjN
j 1
i
gdzie: F jN
- pole
j
wykresu siły Ni
j 1
na pręcie
72
Wpływy pozastatyczne
 Osiadanie podpór

Zatem:
 i 0   Rki   k  0
k
gdzie: Rki - reakcja w podporze k wywołana obciążeniem X i  1
Czyli:
 i 0   Rki   k
k
W układach statycznie wyznaczalnych osiadanie podpór
nie wywołuje powstania sił przekrojowych
73
q
Przykład 2.1
1,5 J
J
J
l
l
l
Stopień statycznej niewyznaczalności
n  53  2
Schemat podstawowy
q
X1
X1
X2
X2
W belkach taki schemat podstawowy jest
najkorzystniejszy
74
Stan X 1  1
X1  1
X1  1
J
1,5 J
M1
J
1
Stan X 2  1
X2 1
1,5 J
X2 1
J
J
M2
1
11 
2 1 l 2 1 1 l 2 5 l
 
 
3EJ 2 3 EJ 2 3 9 EJ
1 1 l 2 2 l
 22  2
 
EJ 2 3 3 EJ
12 
1 1 l 1 1 l
 
EJ 2 3 6 EJ
75
Stan obciążenia zewnętrznego
q
J
1,5 J
J
M0
ql 2
8
M1
1
2 2 ql2 1
ql3
10 
l 
3EJ 3 8 2 36EJ
Układ równań:
 20  0
5 l
1 l
3
 X1 
 X 2  ql  0
9 EJ
6 EJ
36EJ
2 l
1 l
 X1 
 X2  0
3 EJ
6 EJ
76
5
1
ql2
0
X

X

9 1 6 2 36
2
1
X1  3 X 2  0
6
X1  4X 2
X2 
M

1 2
ql
74
40
1
ql 2
 4X 2  X 2  
18
6
36
X1  
37
ql2
X2 
9
18
4 2
ql
74
4 2
ql
74
ql 2
8
1 2
ql
74
77
Siły poprzeczne
q
4 2
ql
74
33
ql
74
T
41
ql
74
33
ql
74
4 2
ql
74
1 2
ql
74
5
ql
74
1 2
ql
74
5
ql
74
5
ql
74
1
ql
74
1
ql
74
1
ql
74
41
ql
74
78
q
h  20cm
l
l  4m
q  20kN / m
J x  2140 cm 4
Wx  214 cm 3
ql 2 20  4 2

 40kNm
8
8
q 
M
40103

 187MPa
Wx 214106
79
t  400 C  40K
t  105 K 1
E  205GPa
J x  2140cm4
h  20cm
3  t tEJ x 3 105  40 205106  2140108


 13,2kNm
2
h
2  20102
 t 
M 13,2 103

 62MPa
Wx 214106
80
Granica plastyczności stali:
f y  300MPa
h  22cm
Dopuszczalne naprężenie:  dop 0,7 f y  210MPa
Zatem:
q 
187 62  249MPa  dop 210MPa
Wx  278cm3
M
40103

 143MPa
Wx 278106
143 62  205MPa  dop 210MPa
3  t tEJ x 3 105  40  205106  3060108


 17,1kNm
2
h
2  22 102
M 17,1103
 t 

 62MPa
Wx 278106
J x  3060cm4
Ale jest:
Jx
 0,5Wx
h
M   t tE  0,5Wx

62
 0,332
187
62
2)
 0,433
143
1)
M 3  t tE  0,5Wx 3
 
   t tE
Wx 2
Wx
4
81

Przykład 2.2
h  const
EJ  const
t
2l
3
Stopień statycznej niewyznaczalności
l
3
l
n  r  3  p  5  3 1  1
Schemat podstawowy
X1
t
82
Stan
X1  1
X1  1
t
1
2
M1
1
11 
1
2l 1 2
1 l 1 2 1 1 1 2 1
1 2 1
1
8 1  3
l
(1   1        l    ) 
( 
 )
l
EJ
3 2 3
2 3 2 3 2 2 2 3 2
EJ 9 36 12
36 EJ
3 EJ
n
 t t
j 1
h
10  
X1  
M
T
 F1iM 
 t t (1 2l  1  1  l  1 )   t tl
3 2 2 3 2
h
4h
10
 tl  3EJ   3EJ t t
 t
l
4h
11
4h
3EJ t t
4h
9 EJ t t
8hl
M  X 1  M1
3EJ t t
8h
3EJ t t
8hl
83
Wzór na stopień statycznej niewyznaczalności jest identyczny jak w belkach
n  r 3 p
Gdzie:
p 1
r – liczba reakcji podpór
3 – liczba równań równowagi
p – liczba warunków statyki wynikających z
istnienia przegubów
p2
r6
n  6  3 1  2
r7
n  7 3 2  2
84
Jeśli w ramie pojawiają się obwody zamknięte, stopień statycznej
niewyznaczalności wzrasta o 3a – gdzie a oznacza liczbę obwodów
zamkniętych
n  r  3(a  1)  p
n  3  3(1  1)  0  3
n  5  3(2  1)  1  7
Układy podstawowe
85
Przeguby w ramie
p 1
p 1
p3
p2
p3
86
q

EJ  const
Przykład 2.3
l
l
Stopień statycznej
niewyznaczalności
n  r 3 p  530  2
2l
q
Schemat podstawowy
X1
X2
87

Stan X 1  1
l
l
X1  1
M1
l
Stan
X2 1
2l
M2
X2 1
2l
88
11 
1
l2 2
3l 3
(3   l  l  2l  l ) 
EJ
2 3
EJ
12  
1
1
2l 3
2l  2l   l  
EJ
2
EJ
 22 
1
1 2
32l 3
(2l  2l  2l  2l  2l   2l ) 
EJ
2 3
3EJ
l
Stan obciążenia zewnętrznego
10  
 20  
3l
2
4
1 1
l
2ql
  2ql 2  2l   
EJ 3
2
3EJ
l
2
1 1
8ql 4
  2ql 2  2l  2l  
EJ 3
3EJ
2ql
2
M0
l
2
l
M1
89
Układ równań:
3l 3
2l 3
2ql 4
X1 
X2 
0
EJ
EJ
3EJ
2l 3
32l 3
8ql 4

X1 
X2 
0
EJ
3EJ
3EJ
Po uproszczeniach:
M  M 0  M1 X1  M 2 X 2
2ql
0
3
32
8ql
 2 X1 
X2 
0
3
3
3X1  2 X 2 
4
ql
9
3
X 2  ql
9
X1 
4 2
ql
9
2 2
ql
9
M
8 2
ql
9
90
Siły poprzeczne
Siły podłużne
4
ql
9
1
ql
3
4
ql
9
N
T
1
ql
3
4
ql
9
14
ql
9
1
ql
3
91
EJ  const
Przykład 2.4
l
Przesunięcia i obroty podpór
u0
l
0
v0
2l
92

Stan X 1  1
Stan
X2 1
X1  1
X2 1
l
2l
1
0
Równania metody sił
Równania prac wirtualnych
1 10  l 0  0  v0  0
1  20  2l  0  1 v0  0
10  l 0
 20  2l 0  v0
3l 3
l3
X1 
X 2  l   0  u0
EJ
EJ
l3
40l 3

X1 
X 2  2l   0  v0  0
EJ
3EJ
93

Obliczenie od przesunięcia poziomego prawej podpory
3l 3
l3
X1 
X 2  u0
EJ
EJ
l3
40l 3

X1 
X2  0
EJ
3EJ
3
X2 
X1
40
34 u0 EJ
117 l 2
EJ
3 X 1  X 2  u0 3
l
40 u0 EJ
117 l 3
3 u0 EJ
X2 
117 l 3
X1 
40 u0 EJ
117 l 2
M
46 u0 EJ
117 l 2
94
34 u0 EJ
117 l 2
40 u0 EJ
117 l 2
40cm
M
u0  5cm
l  3m
46 u0 EJ
117 l 2
E  25Gpa
J
M max 
1
5
20 303
 45000cm4  45103 cm4  45103 108  45105 m 4
12
46 u0 EJ 46 2 10  2510  4510
46  2  25 45
 2 


 98,3kNm
117 l
117
9
117 9
 max 
20cm
6
Wx 
2 101  4 2 102 104
 5,33103 m3
6
98,3
103  18,4MPa
5,33103
95
Zawsze warto wykorzystać symetrię układu, nawet jak obciążenie
nie spełnia warunków symetrii
l
2
P
P
M0
l
2
X2
X3
l
X1
l
l
l
Pl
2
1
1
M2
M1
M3
X3 1
l
X1  1
X2 1
1
96
Pełny układ równań:
X 111  X 212  X 313  10  0
X 1 21  X 2 22  X 3 23   20  0
X 1 31  X 2 32  X 3 33   30  0
X3
l
2
X3
X2
X2
P
X1
l
2
X1
l
2
l
2
M0
Pl
2
l
2
l
2
1
M1
1
M2
l
M3
l
1
1
97
M
1
 M 2 dx  0
M
1
 M 3 dx  0
12  13  0
Stąd:
Układ równań
X 111  10  0
X 2 22  X 3 23   20  0
X 2 32  X 3 33   30  0
l
2
P
2
P
P
2
P
2
P
2
l
2
l
S
A
98
Symetria
10  0
M 0S
Pl
2
X 2 22  X 3 23   20  0
X 2 32  X 3 33   30  0
Pl
2
Antysymetria
 20   30  0
X111  10  0
M0A
Pl
2
Pl
2
99
Niewiadome grupowe. W przypadku symetrii konstrukcji oraz symetrii lub
antysymetrii obciążenia warto wykorzystać niewiadome w postaci grup
A
S
2P
P
P
P
P
A
S
n4
A
S
X 111  X 212  X 313  X 414  10  0
P
X 1 21  X 2 22  X 3 23  X 4 24   20  0
P
P
P
X 1 31  X 2 32  X 3 33  X 4 34   30  0
X 1 41  X 2 42  X 3 43  X 4 44   40  0
X1
X1
X2
S
X2
X3
X3
X4
A
X4
100
Symetria
X 111  X 212  10  0
X 2 22  X 2 22   20  0
M 0S
M1
M2
Antysymetria
M0A
M3
M4
X 3 33  X 4 34   30  0
X 3 34  X 4 44   40  0
101
W przypadku kratownic wzór na stopień statycznej
niewyznaczalności można przedstawić w wygodniejszej formie
n  r  p  2w
gdzie:
r - liczba reakcji węzłów
p
- liczba prętów
w - liczba węzłów
Wzór ten skonstruowany jest przy założeniu, że w każdym pręcie występuje jedna siła
a dla każdego węzła można ułożyć dwa warunki równowagi, gdyż układ sił w węźle jest
układem zbieżnym
102
W przypadku kratownic wzory na współczynniki układu równań
Metody Sił zmieniają się, gdyż w prętach kratownic występują
wyłącznie siły podłużne, stałe na długości prętów.
Dlatego też:
p
Nij N kjl j
j 1
EAj
 ik  
gdzie:
p
Nij , Nkj
l j , Aj
E
- liczba
prętów w kratownicy
- siły w pręcie j odpowiednio od stanów i oraz k
- długość i pole przekroju pręta j
- moduł Younga materiału prętów kratownicy
103
Wyrazy wolne od obciążenia zewnętrznego:
p
Nij N 0 j l j
j 1
EAj
i0  
gdzie:
N 0 j - siły w pręcie j od obciążenia zewnętrznego
Wyrazy wolne od równomiernego przyrostu temperatury:
p
 i 0    t t j N ijl j
j 1
gdzie:
N ij
lj
tj
- siła w pręcie j od stanu i
- długość pręta j
- przyrost temperatury w pręcie j
t - współczynnik rozszerzalności termicznej materiału kratownicy
104

Wyrazy wolne od osiadania podpór:
 i 0   Rki   k
k
gdzie:
Rki
k
- reakcja
w podporze k wywołana obciążeniem X i  1
- osiadanie
(lub obrót) podpory k
u
v
v
W układach statycznie wyznaczalnych osiadanie podpór
nie wywołuje powstania sił przekrojowych
105
Przykład 2.5
EA  const
P
2
4
3
l
4
1
6
3
5
l
l
l
n  4  10  2  6  2
P
Schemat podstawowy
2
X1
4
X2
X2
1
6
3
5
106
Stan X1  1
2
3l
4
4
5l
4

l
X1  1 1
6
1
1
3
1
5
0,8
0,6
Stan X 2  1
cos  

3
 0,6
5
1
 0,8
2
4
 0,6
1
3
1
X2 1
X2 1
 0,8
1
1
0,6
 0,6
6
0,8
5
107
Pręt
N1
N2
Długość
N1  N1  l
N2  N2  l
N1  N 2  l
1-2
0
0
1,25l
0
0
0
1-3
1
0
l
l
0
0
2-3
0
-0,6
0,75
0
0,27l
0
2-4
0
-0,8
l
0
0,64l
0
2-5
0
1
1,25l
0
1,25l
0
3-4
0
1
1,25l
0
1,25l
0
3-5
1
-0,8
l
l
0,64l
-0,8l
4-5
0
-0,6
0,75l
0
0,27l
0
4-6
0
0
1,25l
0
0
0
5-6
1
0
l
l
0
0
3l
4,32l
-0,8l
Suma iloczynów
 11 
3l
EA
 22 
4,32l
EA
12  
0,8l
EA
108
Stan obciążenia zewnętrznego
P
2
4
0,75l
1
6
3
5
0,67P
0,33P
l
l
l
P  N
x
N 24
2
4
M2  N35  0,75l  0,33P  2l  0
N13  N35  0,89P
6
N 35
5
0,33P
M
 N24  0,75l  0,33P  l  0
N 24  0,44P
P
y
P
y
N23  0
5
 N24  0
N56   N24  0,44P
4
N 45
N35  0,89P
N 25
N 24
56
 0,33P  N45  0
6
N 45  0,33P
N 56
0,33P
 N25  0,6  0,33P  0
N 25  0,55P
109
Długość N1  N 0  l
N 2  N0  l
Pręt
N1
N2
N0
1-2
0
0
-1,11P
1,25l
0
0
1-3
1
0
0,89P
l
0,89Pl
0
2-3
0
-0,6
0
0,75
0
0
2-4
0
-0,8
-0,44P
l
0
0,35Pl
2-5
0
1
-0,55P
1,25l
0
-0,69Pl
3-4
0
1
0
1,25l
0
0
3-5
1
-0,8
0,89P
l
0,89Pl
-0,71Pl
4-5
0
-0,6
0,33P
0,75l
0
-0,15Pl
4-6
0
0
-0,55P
1,25l
0
0
5-6
1
0
0,44P
l
0,44Pl
0
2,22Pl
-1,20Pl
Suma iloczynów
10 
2,22 Pl
EA
 20  
1,20 Pl
EA
110
3l
0,8l
2,22 Pl
 X1 
 X2 
0
EA
EA
EA
0,8l
4,32l
1,20 Pl

 X1 
 X2 
0
EA
EA
EA
gdzie: 11  
 22
11 22  12
12
12 
  21
11 22  12 2
11
 22  
11 22  12 2
2
Czyli
X1  1110  12 20
X 2  1210   22 20
4,32
EA
EA

 0,351
2
3  4,32  0,8
l
l
 0,8
EA
EA
12   21 

 0,065
2
3  4,32  0,8
l
l
3
EA
EA
 22  

 0,244
2
3  4,32  0,8
l
l
11  
X 1  0,351 2,22P  0,0651,20P  0,701P
X 2  0,065 2,22P  0,2441,20P  0,149P
111
Siły w prętach:
N  N0  X1 N1  X 2 N 2
X 1  0.701P
X 2  0.149P
Pręt
N0
N1
X 1 N1
N2
X 2 N2
1-2
-1,11P
0
0
0
0
-1,11P
1-3
0,89P
1
-0,70P
0
0
0,19P
2-3
0
0
0
-0,6
-0,09P
-0,09P
2-4
-0,44P
0
0
-0,8
-0,12P
-0,56P
2-5
-0,55P
0
0
1
0,15P
-0,40P
3-4
0
0
0
1
0,15P
0,15P
3-5
0,89P
1
-0,70P
-0,8
0,12P
0,31P
4-5
0,33P
0
0
-0,6
-0,09P
0,24P
4-6
-0,55P
0
0
0
0
-0,55P
5-6
0,44P
1
-0,70P
0
0
-0,26P
N
112
Siły w prętach
P
4
0,56P
2
0,15P
1,11P
0,55P
0,09P
0,70P
0,40P
0,24P
1
6
0,19P
3
0,31P
5
0,70P
0,26P
0,33P
0,67P
113
Przykład 2.6
4
2
1
6
3
5
114
Średnia temperatura:
W pasie: t śr 
t  0,5l t  0,5l 3t


l
2l
4
5l
8
t
4
W słupku:
t śr  t 
0,75l 1 1
t
 

2 2 0,75l 4
W krzyżulcu: tśr  t 
t
1,25l 1 1
t
 

2 2 1,25l 4
3l
8
t
t
t
4
t
3
t
4
3
t
4
l
2
l
2
l
2
l
2
115
Siły N1
1
Przyrost temperatury
3
5
1
1
1
6
1
3
5
3
t
4
3
3
10  1   t  t  2l   t  t  l
4
2
6
3
t
4
Siły N 2
Przyrost temperatury
 0,8
2
 0,6
3
4
1
X2 1
X2 1
 0,8
1
2
4
0,25t
 0,6
0,25t
0,75t
5
3
5
3
4
t 5l
t 3l
11
 0,6   t      t  t  l
4 4
4 4
20
 20  0,8   t  t  l  1  t  
116
EA
3
11
(0,351  t  t  l  0,065  t  t  l )  0,562 t  t  EA
l
2
20
EA
3
11
X2 
(0,065  t  t  l  0,244  t  t  l )  0,232 t  t  EA
l
2
20
X1 
Siły w prętach: N  X1 N1  X 2 N2
Pręt
N1
X 1 N1
N2
X 2 N2
N
1-2
0
0
0
0
0
1-3
1
-0,56
0
0
-0,56
2-3
0
0
-0,6
0,14
0,14
2-4
0
0
-0,8
0,19
0,19
2-5
0
0
1
-0,23
-0,23
3-4
0
0
1
-0,23
-0,23
3-5
1
-0,56
-0,8
0,19
-0,37
4-5
0
0
-0,6
0,14
0,14
4-6
0
0
0
0
0
5-6
1
-0,56
0
0
-0,56
t tEA
117
Siły w prętach
t tEA
4
0,19
2
0,23
0,14
0,56
0,23
0,14
1
6
0,56
3
0,37
5
0,56
0,56
118
Siły i naprężenia od przyrostu temperatury
N  0,56t tEA
t  105 K 1
t  100 K
E  205GPa

N
 0,56 t tE  0,56 10 5 10 2  205 10 3  114 ,8MPa
A
119
Rusztem przegubowym nazywamy układ krzyżujących się belek prostych,
leżących w jednej płaszczyźnie i obciążonych prostopadle do tej
płaszczyzny. Belki łączą się w węzłach, przekazując wzajemnie
oddziaływania w postaci tylko sił prostopadłych do płaszczyzny rusztu.
120
Węzły rusztu przegubowego
Siły przekrojowe
Podpory
M
T
121
Stopień statycznej niewyznaczalności
n  r  w  2b  p
gdzie
r
- liczba reakcji
w - liczba węzłów
b - liczba belek
p - liczba przegubów
122
Węzły
w2
n  6  2  23  2
w 1
r 1
n  4  9  26 1
123
p 1
Przeguby
w 1
n  4 1  2  2 1  0
p2
n  7 1 2  2  2  2
w 1
124
EJ  const
Przykład 2.7
q
l
l
l
l
l
n  6  2  23  2
125
Schemat podstawowy
X1
X2
q
M0
X1
ql 2
2
X2
2l
3
l
2
2l
3
M1
M2
l
2
126
2l
3
11 
l
3
M1
l
2
1
l
1 2 l 2l 1 2 2l 2l
1 2 2l
33 l 3
(2   l      l      2l    )  
EJ
2 2 3 2 3
2 3 3 3
2 3 3
54 EJ
 22 
l
3
2l
3
12 
33 l 3

54 EJ
1
2l
1 2 l 2l
1 2 l 1 2l
l
1 2 2l 1 l
[2   l      l  (    )   l  (    )]
EJ
3
2 3 3 3
2 3 3 3 3
3 2 3 3 3 3
21 l 3
12  
54 EJ
M2
l
2
10  0
 20 
M0
2 2 ql 2
5 l
5 ql 4
 
l   

EJ 3 2
8 2 24 EJ
ql 2
2
127
33
21
X1 
X2  0
54
54
21
33
5
X1 
X 2  ql  0
54
54
24
X2  
33
X 1  1,57 X 1
21
0,389X1  0,6111,57X1  0,208ql  0
X 2  1,57 0,365ql
X1  0,365ql
X 2  0,573ql
0,05ql2
M  M 0  X1M1  X 2 M 2
0,21ql2
0,18ql2
M
0,26ql2
128
Przykład 2.8
l
2

EJ
2 EJ
EJ
l

- przesunięcie podpory
l
Schemat podstawowy
n  4 1 2  2  1
M1
X1
2
3
X1
l
l
3
129
11 
1 l l 2
1 l l 1 2 l l
1 2 l

 l
(      l    )
2 EJ 2 3
EJ 3 2 2 3 3 3 2 3 3
11 
2
1  10     0
3
X1  
3
EJ
l2
2 l3
9 EJ
2
3
10  
2 9 EJ
EJ
 3  3 3
3 2l
l
M  X 1  M1
EJ
l2
M
130
Przykład 2.9
EJ  const
2P
l
l
l
l
l
l
l
l
n  12  9  2  6  9
131
Schemat podstawowy
P
I
X2
I
X1
II
X3
X6
X5
X9
X4
Uwaga: siłę 2P rozdzielić na obie belki
X8
X7
X3
X6
X2
X5
X1
X4
X9
I
X8
P
II
X7
I
132
S
S
S

X1  X 3  X 7  X 9  0
S
S

S
S
X5  0
S

X 2  X 4  X 6  X8

133
Schemat podstawowy
I
II
X2
P
I
X2
X2
X2
X2
X2
X2
I
X2
P
II
I
134
M2
M0
l
l
l
l
l
l
l
l
Pl
 22 
 20 
1
l  2l 2
l l 2
8l 3
(8
 l4
 l  2  l  2l  l ) 
EJ
2 3
2 3
EJ
M
3
1  l  l 2 Pl
1 Pl
 11Pl


l

l

(

Pl
)

 12EJ
EJ  2 3 2
2 2
X2  
11Pl3 EJ
11
 3  P
12EJ 8l
96
85

Pl
96
11
37
11
37
135
Elementami rusztów o węzłach sztywnych są pręty załamane w planie.
Obciążenie jest prostopadłe do płaszczyzny rusztu.
136
Siły przekrojowe
Podpory i reakcje
Przegubowo-kulista
T
M
Ms
Przegubowo-walcowa
Utwierdzona
137

Stopień statycznej niewyznaczalności
n  r  3(a  1)  p
Gdzie:
r – liczba reakcji podpór
3 – liczba równań równowagi
a – liczba obwodów zamkniętych
p – liczba warunków statyki wynikających z
istnienia przegubów
p 1
a 1
r 3
r2
a p0
n2
p0
r 3
n4
r 1
a 1
r 3
r 1
n3
138

Współczynniki układu równań.
n
 ik   ( 
j 1 l j
Gdzie:
Mi  Mk
M  M sk
dx   si
dx)
EJ
GC
lj
M si , M sk - momenty skręcające
G - moduł Kirchhoffa
-charakterystyka przekroju na skręcanie; w prętach o
przekrojach kołowych biegunowy moment bezwładności
C
Wyrazy wolne:
m
M 0  t t j
M si  M s 0
 i0   ( M i (

)dx  
dx )   Rir   r
EJ
hj
GC
j 1 l j
r 1
lj
n
Gdzie:
n
- Liczba prętów
M 0 , M s 0 - Momenty od obciążenia zewnętrznego
m
- Liczba więzów podporowych
t - Współczynnik rozszerzalności termicznej
Rir - Reakcja podpory r w stanie X i  1
M i , M si
t j
hj
- Momenty w stanie X i  1
-Nierównomierny przyrost temperatury w pręcie j
- Wysokość pręta j
r
- Przesunięcie podpory r
139

Przykład 2.10
l
P
l
Przekrój
C
A
l
2
B
dw
l
2
J
l
n  5  3 1  1

64
C  J0 
dz
(d z4  d w4 )

32
(d z4  d w4 )  2 J
P
Schemat podstawowy
Materiał : stal   0,3
C
G
E
E

 0,385E
2(1  ) 2(1  0,3)
A
B
X1
Wektor momentu
140
C
M C C ^  1  V A 
B
C^
A
X1  1
l
2
VA
2l
l
2
VA 
2
l
C
1
1
4
2
C
l
l
0
2
2
l
2
l
1
C
C
1
4
4
1
1
A
A
B
3
M1
M S1
141
P
C
l
l
M C C ^  P   V A   0
2
2
VA   P
P
B
A
l
C^
l
2
VA
l
l
2
C
Pl
3Pl
C
l
Pl
2P
P
3Pl
C
C
Pl
Pl
Pl
Pl
3Pl
3Pl
A
A
B
M0
B
MS0
142
11 
11 
1
3 1 2
l 1 2
1 2
1
(3  l    3  3 1   1  4  2l    4) 
(4  2l  4  1 2l 1)
EJ
2 2 3
2 2 3
2 3
GC
l 9 1 32
l
(   )
(32  2)
EJ 2 2 3
2 J  0,385E
10  
11 
l
l
(15,67  44,16)  59,83
EJ
EJ
1
3 1 2
l 1 2
1
1 2
1
1
[3Pl  l    3  Pl    1  Pl  2l   2  3Pl  l  (  4   2)] 
(3Pl  2l  4  Pl  2l 1)
EJ
2 2 3
2 2 3
2
2 3
3
GC
Pl 2
Pl 2
10  
(11,67  33,77)  45,44
EJ
EJ
Pl 2 9 1
Pl 2
10  
(   2  5) 
(24  2)
EJ 2 6
2 J  0,385C
X1 
M
45,44
Pl  0,76Pl
59,82
MS
0,04Pl
C
0,24Pl
0,52Pl
C
0,24Pl
0,24Pl
0,72Pl
0,04Pl
0,76Pl
B
A
A
B

0,52 Pl
W

0,24 Pl
2W
 red   2  3 2 
Pl
Pl
Pl
0.52 2  3  0,5  0,24 2  0,60
 0,76
W
W
W
143
Przykład 2.11
Przekrój
2b
3l
8

l
J
l
2
n  63  3
l
2
C
Schemat podstawowy
X2
X1

b4
0,052 b 4
0,052
(n  0,63  4 )  (2  0,63 
)  0,458b 4
3
n
3
16
0,458  3
C
J  0,687 J
2
X2
Materiał : żelbet
X3
X1
b  (2b)
2
 b4
12
3
G
X3
b
3
  0,2
E
E

 0,417E
2(1  ) 2(1  0,2)
Oznaczenia:
Wektor siły
Wektor momentu
144
Plan
A
S
M S1
M1
0,6
0,6


0,8
0,8
X1  1
X1  1
4
5
3
sin  
5
cos  
X2 1
X2 1

1
M2
1
A
S
A
S
0,6
0,6
0,8
1
 M 1M 2 ds  0
M
S1
M S 2 ds  0
MS2
0,8
1
A
12  0
S
145
Plan
Siła od nas
X3 1
X3 1

1
Siła do nas
5
l
8
M3
A
S
3
l
8
cos  
4
5
sin  
3
5
M S3
3
l
8
5
l
8
11
l
8
11
l
8
A
l
2
13  0
S
l
2
Wyrazy wolne:
W stanach X 1 , X 2
w podporach nie pojawiają się reakcje w postaci sił. Stąd 10   20  0
W stanie X 3 w podporze lewej pojawia się reakcja równa jeden.
30  (1 )  
146
X111  0  X1  0
 22 
X 2 22  X 3 23  0
2 11 3 l
5 5 1
2
2 7 2 15 2
l2
 23 
[( l  l )  1  l  l   0,6) 
0 
( l 
l )  1,984
EJ 8
8 2
8 8 2
GC
EJ 8
128
EJ
X 2 32  X 3 33   30  0
 33 
 33 
2
5
2
5
2,45
2  0,4
l
(1 l 1  0,6  l  0,6) 
 0,8  l  0,8 
l
l  5,24
EJ
8
GC
8
EJ
0,417E  0,687J
EJ
2 11
1 2 11 1 3
3
1 2 3 1 11
5 5 1 2 5
2 l
l
[( l  l  (  l   l )  l  l  (  l   l )  l  l    l ) 
 l 
EJ 8
2 3 8
3 8
8
2 3 8 3 8
8 8 2 3 8
GC 2 2
2l 3 11 22 3
3 6 11
125
2l 3
l3
[
(  )
(  )
]
 15,410
EJ 8  2 24 24 8  2 24 24 64 24 4  0,417E  0,687J
EJ
1,984l  X 2  15,41l 2  X 3 
EJ
l2
EJ
X 3  0,0682
l
X 2  0,0258
5,24X 2  1,984l  X 3  0
EJ
0
l
147
M
MS
Plan
S
A
155
581
155
206
514
206
514

581
1096
1096
EJ
10000 l 2
341
341
S
A
Równowaga węzła
155
Aksonometria
581
155
514
581
514
206

581
1096
1096
514
341 581 0,8  206 0,6  0
581 0,6  206 0,8  514  0
341
148
3.Metoda
przemieszczeń
1
2
Układ
analizowany
Niewiadomymi metody są wielkości geometryczne
2
1
φ1
φ2
Kąty φ1 , φ2 muszą być takie, by zachodziła równowaga węzłów
151
M
M
φ
φ
Konwencja znaków
Dodatnie zwrotu kątów i momentów zgodnie z ruchem wskazówek
zegara
152
153
K11
1
2
K21
φ1 = 1
K12
1
K22
2
φ2= 1
154
K10=0
1
K20
2
155
Równania równowagi węzłów
K11φ1 + K12φ2 + K10 = 0
K21φ1 + K22φ2 + K20 = 0
Jest to układ równań algebraicznych
liniowych. Niewiadomymi są kąty φ1 i φ2
a współczynniki Kik oznaczają reakcje w
narzuconych na węzły więzach
156
Założenia
1.Układy ramowe –siatka prętów ortogonalna
2.Małe przemieszczenia
3.Obowiązuje prawo Hooke’a
4.Siły podłużne nie powodują zmian długości
prętów
157
φk
i
φi
φi
i
φj
Węzeł sztywny
Węzeł przegubowy
Rodzaje węzłów
158
Ramy o węzłach sztywnych
Δ
1
2
Niewiadome: φ1 , φ2
1
Δ
2
Δ
3
Niewiadome: φ1 , φ2 , φ3 , Δ
Stopień geometrycznej niewyznaczalności: n=Σ φi + Σ Δi
159
Ramy z częścią węzłów przegubowych
ΔII
Cięciwy
prętów po
odkształceniu
ΔII
2
1
ΔI
ΔI
ΔI
Niewiadome: φ1 , φ2 , ΔI , ΔII
160
Ramy z częścią węzłów przegubowych
1
2
ΔI
ΔI
ΔII
4
3
ΔI
ΔII
Niewiadome: φ1 , φ2 , φ3 , φ4 , ΔI , ΔII
161
162
i
wi
EJik
k
Mik
wk
Ψik
φi
l ik
φk
Mki
WZORY TRANSFORMACYJNE
Belka obustronnie utwierdzona
163
X1=Mik
k
i
X2=Mki
wi
wk
Ψik
φi
φk
l ik
Ψik = (wk – wi) ∕
l ik
Momenty przywęzłowe
Obliczenie metodą sił
164
X1 = 1
1
l
1
l
X2 = 1
1
l
1
l
1
1
1   10   wi   wk   i
l
l
wk  wi
 10   i 
l
wk  wi
 20   k 
l
Obliczenie wyrazów wolnych
na podstawie twierdzenia o pracy wirtualnej
165
1
M1
1
M2
l
 11   22 
3EJ
l
 12   21  
6 EJ
 10   i  
 20   k  
Współczynniki układu równań metody
sił
166
l
l
X1 
X 2   i 
3EJ
6 EJ
l
l

X1 
X 2   k 
6 EJ
3EJ
l
EJ
2 1
   X 1  2 i   k  3
3 6
2 EJ
2 i   k  3 
X1 
l
2 EJ
2 k   i  3 
X2 
l
167
M
0
ik
M
0
ki
2 EJ
0
2 i   k  3   M ik
M ik 
l
2 EJ
0


M ki 
2 k   i  3  M ki
l
WZORY TRANSFORMACYJNE
Belka obustronnie utwierdzona
168
i
wi
EJik
Mik
Ψik
k
wk
φi
l ik
WZORY TRANSFORMACYJNE
Belka jednostronnie utwierdzona
169
X1=Mik
k
i
wi
Ψik
φi
wk
l ik
Ψik = (wk – wi) ∕l ik
Moment przywęzłowy
Obliczenie metodą sił
170
X1 = 1
1
1
1   10   wi   wk   i
l
l
 10
1
l
1
l
 11
 10
X1
wk  wi
  i 
l
l

3EJ
  i  
3EJ
 i  

l

Obliczenie momentu
171
M ik0
3EJ
0
i    M ik
M ik 
l
WZORY TRANSFORMACYJNE
Belka jednostronnie utwierdzona
172
Momenty wywołane wpływami zewnętrznymi
0
Schemat
ik
P
M
0
ik
M
0,5 l
0
ki
0,5 l
q
M ki0
M ik0
l
M
0
ik
t
M
0
ki
M
M
Pl

8
Pl
8
ql 2

12
ql 2
12
 EJ
 t t
h
EJ
0
ki
 t t
h
173
Momenty wywołane wpływami zewnętrznymi
0
Schemat
ik
M
P
M
3Pl

16
0
ik
0,5 l
0,5 l
q
M ik0
l
M ik0
t
ql 2

8
 t t
3
 EJ
2
h
174
1. Ustalić stopień geometrycznej niewyznaczalności
n=Σφi + ΣΔj
i=1,2,3,…k
k – liczba węzłów sztywnych
j= k+1, k+2,…k+m
m – liczba niezależnych przesunięć węzłów
n=k+m
2. Ponumerować niewiadome rozpoczynając od kątów obrotu
φ1 , φ2 ,….φk , Δk+1 , Δk+2 ,.. Δn
3. Napisać układ równań kanonicznych
K11φ1 + K12φ2 + … + K1,k+1 Δk+1 +…+ K1n Δn + K10 = 0
K21φ1 + K22φ2 + … + K2,k+1 Δk+1 +…+ K2n Δn + K20 = 0
…………………………………
Kn1φ1 + Kn2φ2 + … + Kn,k+1 Δk+1 +…+ Knn Δn + Kn0 = 0
ALGORYTM METODY PRZEMIESZCZEŃ
Postępowanie formalne
175
4. Przyjąć układ geometrycznie wyznaczalny przez nałożenie
więzów na przyjęte niewiadome; utwierdzić węzły sztywne,
podeprzeć podporami węzły przesuwne; ponumerować
nałożone więzy zgodnie z numerami niewiadomych.
5. Z równań równowagi nałożonych więzów wyznaczyć ich
reakcje Kij wywołane jednostkowymi stanami niewiadomych.
6. Obliczyć reakcje nałożonych więzów Ki0 wywołane
przyczynami zewnętrznymi.
7. Reakcje Kij oraz Ki0 wstawić do układu równań kanonicznych
i rozwiązać równania ze względu na φi oraz Δj .
ALGORYTM METODY PRZEMIESZCZEŃ
Postępowanie formalne
176
8. Obliczyć momenty przywęzłowe na podstawie wzorów
transformacyjnych.
9. Sporządzić wykresy momentów zginających w ramie.
10.Na podstawie wykresu momentów zginających sporządzić
wykresy sił poprzecznych, traktując poszczególne pręty jak
belki swobodnie podparte.
11. Na podstawie wykresu sił poprzecznych sporządzić wykresy
sił podłużnych obliczając je z warunków równowagi węzłów.
ALGORYTM METODY PRZEMIESZCZEŃ
Postępowanie formalne
177
1. Ustalić stopień geometrycznej niewyznaczalności
n=Σφi + ΣΔj
i=1,2,3,…k
k – liczba węzłów sztywnych
j= k+1, k+2,…k+m
m – liczba niezależnych przesunięć węzłów
n=k+m
q
C
EJ  const.
l
A
B
l
Przykład 3.1
l
Rama nieprzesuwna
k=2, m=0, n=2
178
2. Ponumerować niewiadome rozpoczynając od kątów obrotu
φ1 , φ2 ,….φk , Δk+1 , Δk+2 ,.. Δn
q
1
2
A
B
C
EJ  const .
l
l
l
Przykład 3.1
Rama nieprzesuwna
Niewiadome: φ1 , φ2
179
3. Napisać układ równań kanonicznych
K11φ1 + K12φ2 + … + K1,k+1 Δk+1 +…+ K1n Δn + K10 = 0
K21φ1 + K22φ2 + … + K2,k+1 Δk+1 +…+ K2n Δn + K20 = 0
…………………………………
Kn1φ1 + Kn2φ2 + … + Kn,k+1 Δk+1 +…+ Knn Δn + Kn0 = 0
q
1
2
C
EJ  const .
l
A
l
Przykład 3.1
B
l
Rama nieprzesuwna
K11φ1 + K12φ2 + K10 = 0
K21φ1 + K22φ2 + K20 = 0
180
4. Przyjąć układ geometrycznie wyznaczalny przez nałożenie
więzów na przyjęte niewiadome; utwierdzić węzły sztywne,
podeprzeć podporami węzły przesuwne; ponumerować
nałożone więzy zgodnie z numerami niewiadomych.
q
1
2
1
C
2
EJ  const .
l
A
l
Przykład 3.1
B
l
Rama nieprzesuwna
181
5. Z równań równowagi nałożonych więzów wyznaczyć ich
reakcje Kij wywołane jednostkowymi stanami niewiadomych.
K11
K21
M12
M2C=0
2
C
1
M21
M1A
M2B=0
A
MA1
Stan φ1 =1
φ2=0
Przykład 3.1
B
Rama nieprzesuwna
182
5. Z równań równowagi nałożonych więzów wyznaczyć ich
reakcje Kij wywołane jednostkowymi stanami niewiadomych.
M1A 
2 EJ
2 EJ
4 EJ
(21   A  3 1 A ) 
(2 1  0  3  0) 
l
l
l
M 12 
2 EJ
2 EJ
4 EJ
(21   2  3 12 ) 
(2 1  0  3  0) 
l
l
l
K11  M 1 A  M 12 
8EJ
l
M 21 
2 EJ
2 EJ
2 EJ
(2 2  1  3 21 ) 
(2  0  1  3  0) 
l
l
l
M 2B 
3EJ
3EJ
( 2  21 ) 
(0  0)  0
l
l
M 2C 
3EJ
3EJ
( 2  2C ) 
(0  0)  0
l
l
K 21  M 21  M 2 B  M 2C 
Przykład 3.1
2 EJ
l
Rama nieprzesuwna
183
5. Z równań równowagi nałożonych więzów wyznaczyć ich
reakcje Kij wywołane jednostkowymi stanami niewiadomych.
K12
K22
M12
2
1
A
C
M21
M1A=0
MA1=0
M2C
M2B
Stan φ2 =1
φ1=0
Przykład 3.1
B
Rama nieprzesuwna
184
5. Z równań równowagi nałożonych więzów wyznaczyć ich
reakcje Kij wywołane jednostkowymi stanami niewiadomych.
M 12 
2 EJ
2 EJ
2 EJ
(21   2  3 12 ) 
(2  0  1  3  0) 
l
l
l
M 21 
2 EJ
2 EJ
4 EJ
(2 2  1  3 12 ) 
(2 1  0  3  0) 
l
l
l
2 EJ
2 EJ
(21   A  3 1 A ) 
(2  0  0  3  0)  0
l
l
M 2B 
3EJ
3EJ
3EJ
( 2  2 B ) 
(1  0) 
l
l
l
M1A 
3EJ
3EJ
3EJ
( 2  2C ) 
(1  0) 
l
l
l
10 EJ
K 22  M 21  M 2 B  M 2C 
l
M 2C 
K12  M 12  M 1 A 
2 EJ
l
Przykład 3.1
Rama nieprzesuwna
185
Ważna uwaga:
Zauważmy, że rozwiązywanym przykładzie K21=K12. Nie jest to
przypadek. Przypomnijmy
znane wcześniej
twierdzenie
Betti’ego:
„Jeśli na ustrój sprężysty działają dwa układy sił, to praca
pierwszego na przesunięciach wywołanych przez drugi układ
równa się pracy drugiego układu na przesunięciach wywołanych
przez układ pierwszy”.
Rozpatrzmy dwa układy statycznie niewyznaczalne. Na żaden
nie działa jakakolwiek siła czynna, natomiast w pierwszym
układzie podpora i doznaje jednostkowego przesunięcia (lub
obrotu), zaś w układzie drugim podobnego przesunięcia (lub
obrotu) doznaje podpora k .
186
Układ 1
Układ 2
Rki
1
k
k
1
i
Rik
i
Rik ∙ 1 = Rki ∙ 1
Rik = Rki
Twierdzenie o wzajemności reakcji
187
6. Obliczyć reakcje nałożonych więzów Ki0 wywołane
przyczynami zewnętrznymi.
q
1
2 2
1
C
EJ  const .
l
A
l
Przykład 3.1
B
l
Rama nieprzesuwna
188
6. Obliczyć reakcje nałożonych więzów Ki0 wywołane
przyczynami zewnętrznymi.
q
ql 2
12
ql 2
12
l
2
ql
K 10  M 120  
12
2
ql
K 20  M 210 
12
Przykład 3.1
Rama nieprzesuwna
189
7. Reakcje Kij oraz Ki0 wstawić do układu równań kanonicznych
i rozwiązać równania ze względu na φi oraz Δj .
8EJ
2 EJ
ql 2
1 
2 
0
l
l
12
2 EJ
10EJ
ql 2
1 
2 
0
l
l
12
ql 2 l
81  2 2 

12 EJ
ql 2 l
21  10 2  

12 EJ
Przykład 3.1
6 ql 2 l
1 


38 12 EJ
5 ql 2 l
2   

38 12 EJ
Rama nieprzesuwna
190
8. Obliczyć momenty przywęzłowe na podstawie wzorów
transformacyjnych.
2 EJ
6 ql 2 l
1
ql 2
2 

 ql 2  8


gdzie:
l
38 12
EJ 19
152
2
2 EJ 6 ql
l
1 2
M A1 
 


ql  4
l 38 12 EJ 38
2
2EJ  6
5  ql
l
ql 2
1
M 12 


  ql 2  8
2   
l  38 38  12 EJ 12
19
2
2
2EJ 
5
6  ql
l
ql
 20  12  38 ql 2
30
M 21 





ql 2  10
 2   
l 
38 38  12 EJ 12
38
12 38  12
3EJ  5  ql 2 l
15
M 2B 
 


ql 2  5
l  38  12 EJ
38  12
M 1A 
M 2C
3EJ  5  ql 2 l
15

  


ql 2  5
l  38  12 EJ
38  12
Przykład 3.1
Rama nieprzesuwna
191
9. Sporządzić wykresy momentów zginających w ramie.
10
5
M
8
5
ql 2
8
4
ql 2

152
l
2
Wykres momentów zginających
Przykład 3.1
Rama nieprzesuwna
192
10.Na podstawie wykresu momentów zginających sporządzić
wykresy sił poprzecznych, traktując poszczególne pręty jak
belki swobodnie podparte.
8
5
q
12
10
8
5
5
5
74
78
12
4

5

l
5
Wyznaczanie sił poprzecznych
Przykład 3.1
Rama nieprzesuwna
193
10.Na podstawie wykresu momentów zginających sporządzić
wykresy sił poprzecznych, traktując poszczególne pręty jak
belki swobodnie podparte.
74
5
T
+
78
12
5
-
Wykres sił poprzecznych
Przykład 3.1
Rama nieprzesuwna
194
11. Na podstawie wykresu sił poprzecznych sporządzić wykresy
sił podłużnych obliczając je z warunków równowagi węzłów.
74
1
5
78
N12
12
74
78
P  0 
N1A
1
12
N1 A  74
N12  12
N21
2
C
5
5
N2B
N 2C  7 
P  0  N
2
2B
 83
5
N 21  N12
A
N2C
B


l
Wyznaczanie sił podłużnych
Przykład 3.1
Rama nieprzesuwna
195
11. Na podstawie wykresu sił poprzecznych sporządzić wykresy
sił podłużnych obliczając je z warunków równowagi węzłów.
12
N
74
-
-
7
83


l
Wykres sił podłużnych
Przykład 3.1
Rama nieprzesuwna
196
1. Ustalić stopień geometrycznej niewyznaczalności
n=Σφi + ΣΔj
1
2
A
n=1+1=2
B
2. Ponumerować niewiadome rozpoczynając od kątów obrotu
φ1 , φ2 ,….φk , Δk+1 , Δk+2 ,.. Δn
Niewiadome φ1 , Δ2
Ramy przesuwne
Są to ramy, w których co najmniej jeden węzeł doznaje przemieszczeń
197
3. Napisać układ równań kanonicznych
1
1
2
A
2
K11φ1 + K12Δ2 + K10 = 0
K21φ1 + K22Δ2 + K20 = 0
B
4. Przyjąć układ geometrycznie wyznaczalny przez nałożenie
więzów na przyjęte niewiadome; utwierdzić węzły sztywne,
podeprzeć podporami węzły przesuwne; ponumerować
nałożone więzy zgodnie z numerami niewiadomych.
Ramy przesuwne
Są to ramy, w których co najmniej jeden węzeł doznaje przemieszczeń
198
5. Z równań równowagi nałożonych więzów wyznaczyć ich
reakcje Kij wywołane jednostkowymi stanami niewiadomych
K11
K21
1
1
2
K12
2
1
1
2
1
2
K22
1
A
B
A
B
Ramy przesuwne
Są to ramy, w których co najmniej jeden węzeł doznaje przemieszczeń
199
5. Z równań równowagi nałożonych więzów wyznaczyć ich
reakcje Kij wywołane jednostkowymi stanami niewiadomych
Reakcje w podporze 1 obliczyć można podobnie jak w
przykładzie 1. Inaczej jest z reakcjami w podporze 2.
K2i
T1A
T2B
Do wyznaczenia reakcji w podporze 2 potrzebna
jest znajomość sił poprzecznych
200
Siły poprzeczne mogą być oczywiście wyznaczone z równań
równowagi odpowiednich belek. I tak w belce obustronnie
utwierdzonej mamy:
Tik 
Tki
M ik  M ki 6 EJ
 2  i   k  2   Tik0
l
l
 Tik
Natomiast w belce jednostronnie utwierdzonej:
Tik 
M ik 3EJ
 2  i     Tik0
l
l
To nie jest wygodne. Uprościmy
algorytm metody przemieszczeń
201
1. Ustalić stopień geometrycznej niewyznaczalności
n=Σφi + ΣΔj
i=1,2,3,…k
k – liczba węzłów sztywnych
j= k+1, k+2,…k+m
m – liczba niezależnych przesunięć węzłów
n=k+m
2. Narysować plan przemieszczeń węzłów. Jako niewiadome
przyjąć kąty obrotu węzłów i cięciw prętów.
3. Ponumerować niewiadome, osobno numerując kąty obrotu
węzłów i niezależne kąty obrotu cięciw prętów
φ1 , φ2 ,….φk , ψI , ψII ,.. ψM . Cięciwy prętów numerujemy
liczbami rzymskimi.
4. Przyjąć układ geometrycznie wyznaczalny przez nałożenie
więzów na przyjęte niewiadome; utwierdzić węzły sztywne,
podeprzeć podporami węzły przesuwne; ponumerować
nałożone więzy zgodnie z numerami niewiadomych.
Algorytm uproszczony
202
5. Zwolnić wszystkie więzy i zapisać momenty
przywęzłowe wywołane obrotami węzłów i cięciw.
6. Obliczyć momenty przywęzłowe w układzie
geometrycznie wyznaczalnym.
7. Napisać równania równowagi węzłów.
8. Napisać równania pracy wirtualnej momentów i sił
zewnętrznych działających na wirtualne łańcuchy
kinematyczne.
9. Rozwiązać układ równań metody przemieszczeń.
Algorytm uproszczony
203
10. Obliczyć momenty przywęzłowe na podstawie wzorów
transformacyjnych.
11. Sporządzić wykresy momentów zginających w ramie.
12.Na podstawie wykresu momentów zginających sporządzić
wykresy sił poprzecznych, traktując poszczególne pręty jak
belki swobodnie podparte.
13. Na podstawie wykresu sił poprzecznych sporządzić wykresy
sił podłużnych obliczając je z warunków równowagi węzłów.
Algorytm uproszczony
204
2 niezależne przesuwy. Kąty obrotu cięciw prętów
 12   45   II
 23   56  1,5 II
 14   25   36   I
1
ΔI
2
3
ΔI
ΔI
4
P
ΔII
ΔII
6
5
1,5 l
l
l
Plan przemieszczeń węzłów
205
K I  1  l  M14  M 41   1  M 25  1  M 36  1  P  u  0
 M14  M 41   M 25  M 36  M I0  0
Ale KI=0 brak podpory I
KI
1
3
2
M14
1 l
1
M41
u
M25
1
M36
P
1
l
6
5
4
1,5 l
l
Praca momentów na łańcuchu kinematycznym
M I0 - Moment sił zewnętrznych na łańcuchu I
206
KII  1  1,5l M12  M 21  1  M 45  1  M 23  M32  1,51  0
 M12  M 21   M 45  M 23  M 32  1,5  0
KII
1,5 1
1
3
1
M21
M12
2 M23
M32
P
1
4
6
5
1,5 1
1  1,5l
M45
1,5 l
l
l
Praca momentów na łańcuchu kinematycznym
M II0  0
207
1
l
l
2
2
C
P
EJ  const.
3 l
4
B
2
A
l
Przykład 3.2
3 l
4
Rama przesuwna
208
1. Ustalić stopień geometrycznej niewyznaczalności
n=Σφi + ΣΔj
i=1,2,3,…k
k – liczba węzłów sztywnych
j= k+1, k+2,…k+m
m – liczba niezależnych przesunięć węzłów; n=k+m
1
l
l
2
2
C
3 l
4
P
B
2
A
l
Przykład 3.2
3 l
4
Rama przesuwna
k=2 ; m=1 ; n=3
209
2.Narysować plan przemieszczeń węzłów. Jako niewiadome
przyjąć kąty obrotu węzłów i cięciw prętów.
1
l
l
2
2
P
2
C
4
I
3
I
3 l
4
B
A
l
3 l
4
3. Ponumerować niewiadome, osobno numerując kąty obrotu węzłów
i niezależne kąty obrotu cięciw prętów φ1, φ2,….φk , ψI , ψII ,..ψM.
Cięciwy prętów numerujemy liczbami rzymskimi.
Przykład 3.2
Rama przesuwna
Niewiadome: φ1, φ2 , ψI
210
4. Przyjąć układ geometrycznie wyznaczalny przez nałożenie więzów
na przyjęte niewiadome; utwierdzić węzły sztywne, podeprzeć
podporami węzły przesuwne; ponumerować nałożone więzy
zgodnie z numerami niewiadomych.
l
l
2
1
2
1
2
C
I
3 l
4
P
B
2
A
l
Przykład 3.2
3 l
4
Rama przesuwna
211
5. Zwolnić wszystkie więzy i zapisać momenty
przywęzłowe wywołane obrotami węzłów i cięciw.
2
1
l
l
2
C
P
3 l
4
A
l
Przykład 3.2
M 1A
3 l
4
2 EJ
21   2 
l
2 EJ
2 2  1 

l
M 12 
M 21
B
2
2 EJ
1  3 I   M A01
l
2 EJ
21  3 I   M 10A

l
M A1 
M 2C 
3EJ
4 EJ
 4 2 
2
3l
l
M 2B 
4 EJ 
4 
 2   I 
l 
3 
Rama przesuwna
212
6. Obliczyć momenty przywęzłowe w układzie
geometrycznie wyznaczalnym.
M
0
A1
M 10A 
Pl

8
Pl
8
7. Napisać równania równowagi węzłów.
EJ
81  2 2  6 I   Pl  0
l
8
EJ 
16 
 21  12 2   I   0
l 
3

Przykład 3.2
Rama przesuwna
213
8. Napisać równania pracy wirtualnej momentów i sił
zewnętrznych działających na wirtualne łańcuchy
kinematyczne.
1
2
M1A
C
M2B
1
1
P
l
2
 M A1  M 1 A  
4
3
B
MA1
A
Przykład 3.2
4
l
M 2B  P  0
3
2
0
0
Ponieważ M1A  M A1
EJ 
16
172 
l
I P  0
  61   2 
l 
3
9
2

Rama przesuwna
214
9. Rozwiązać układ równań metody przemieszczeń.
EJ
81  2 2  6 I   Pl  0
l
8
EJ 
16 
 21  12 2   I   0
l 
3

EJ 
16
172 
l
I P  0
  61   2 
l 
3
9
2

l
EJ
l
 2  0,01328Pl 
EJ
l
 I  0,03161Pl 
EJ
1  0,00458Pl 
Przykład 3.2
Rama przesuwna
215
10. Obliczyć momenty przywęzłowe na podstawie wzorów
transformacyjnych.
M A1  0.302Pl
M 1 A  0.045Pl
0.062Pl
0.045Pl
M 12  0.045Pl
0.115Pl
M 21  0.062Pl
0.053PL
M 2C  0.053Pl
0.121Pl
0.302Pl
M
Przykład 3.2
M 2 B  0.115Pl
11. Sporządzić wykresy momentów
zginających w ramie.
Rama przesuwna
216
12.Na podstawie wykresu momentów zginających sporządzić
wykresy sił poprzecznych, traktując poszczególne pręty jak
belki swobodnie podparte.
0.107P
0.071P
Równowaga na oś poziomą
0.153P
0.153P
0.847P
T
Przykład 3.2
P
0.153P
0.847P
Rama przesuwna
217
3. Na podstawie wykresu sił poprzecznych sporządzić wykresy
sił podłużnych obliczając je z warunków równowagi węzłów.
0.153P
Równowaga na oś pionową
0.071P
0.036P
0.107P
0.036P
N
Przykład 3.2
0.107P
Rama przesuwna
218
1. Nierównomierny przyrost temperatury
h
Δt
Momenty w układzie geometrycznie wyznaczalnym
wywołane nierównomiernym przyrostem temperatury
zestawione są w tablicy
Wpływy pozastatyczne
Należą do nich przede wszystkim wpływ temperatury oraz wpływ przemieszczeń
podpór
219
EJ=const.
A
1
2
B
Δt
1,5l
l
l
3 tEJ 2 EJ
3 tEJ
3EJ  2
1  t

1  t
3l
2h
l
2h
2 EJ
21   2 
M 12 
l
2 EJ
2 2  1 
M 21 
l
3EJ
M 2B 
2
l
M 1A 
Przykład 3.3
Nierównomierny przyrost temperatury
220
3 tEJ 2 EJ
2 EJ
21   2   0
1  t

l
2
h
l
i
2 EJ
3EJ


M

M

2




i 2i 21 l 2 1 l  2  0
M
1i

EJ
61  2 2   3 t tEJ  0
l
2h
EJ
21  7 2   0
l
21  t tEJ l


76
h
EJ
6  tEJ l
2   t

76
h
EJ
1  
Przykład 3.3
Nierównomierny przyrost temperatury
221
M
M 1 A  72
72β
M 12  72
18β
M 21  18

M 2 B  18
 t tEJ
76h
72
 48
1.5l
72  18  90
T12  T21 
l
T2 B  TB 2  18   18
l
 l
T1 A  TA1 
90γ
T
18γ
48γ
Przykład 3.3
Nierównomierny przyrost temperatury
222
2. Równomierny przyrost temperatury
Stan zewnętrzny musi być rozważany w układzie geometrycznie
wyznaczalnym. Należy w tym układzie sporządzić plan
przemieszczeń węzłów.
Δ
Δ
t
t
Wpływy pozastatyczne
Rozwiązanie nie zależy od przyjętego układu geometrycznie wyznaczalnego
223
K11φ1 + K12φ2 + K10 = 0
K21φ1 + K22φ2 + K20 = 0
1
l

2
t
t
C
EJ  const .
0
 2B
0
1A
A
l
Przykład 3.4
B
l
Równomierny przyrost temperatury
224
 10A  
 20B  
2 t tl
 2 t t
l
 t tl
l
  t t
8 EJ
2 EJ
12EJ
1 
2 
tt  0
l
l
l
2 EJ
10EJ
3EJ
1 
2 
tt  0
l
l
l
Przykład 3.4
K 10  M 10A 

K 20  M 20B


2 EJ
12EJ
 3 10A 
tt
l
l
3EJ
3EJ

  10A 
tt
l
l

1  1,5 t t
2  0
Równomierny przyrost temperatury
225
M 1A 
2 EJ
2 EJ
 1,5  6 t t  9 t tEJ

1  3 10A  
l
l
l
M 1A 
2 EJ
2 EJ
 3  6 t t  6 t tEJ

21  3 10A  
l
l
l
M 12 
2 EJ
21   2   2 EJ  3  0 t t   6 t tEJ
l
l
l
2 EJ
2 2  1   2EJ 0  1,5 t t   3 t tEJ
l
l
l
3EJ

2  0
l
3EJ
3EJ
0   t t   3 t tEJ


 2   20B  
l
l
l
M 21 
M 2C
M 2B
Przykład 3.4
Równomierny przyrost temperatury
226
M
T
6
l
6β
3β
9β
15 

 t tEJ
l
Przykład 3.4
l
3
l
Równomierny przyrost temperatury
227
N
15 
18 
l
Równowaga
18 
l
15 
6
6
l
l
3
l
l
l
6
Przykład 3.4
6
l
l
Równomierny przyrost temperatury
228
2. Osiadanie podpór
Stan zewnętrzny musi być rozważany w układzie geometrycznie
wyznaczalnym. Należy w tym układzie sporządzić plan
przemieszczeń węzłów.
Wpływy pozastatyczne
Rozwiązanie nie zależy od przyjętego układu geometrycznie wyznaczalnego
229
1
l
l
2
C
2
EJ  const.
3 l
4
B
2
A
2Δ0
l
3 l
4
Δ0
Przykład 3.5
Osiadanie podpór
Podpory osiadają o ustalone (pomierzone) wielkości
230
Układ geometrycznie wyznaczalny
 120
1
l
2
2
A
C
EJ  const.
3 l
4
0
 1A
l
0
 2C
2
B
2Δ0
l
3 l
4
Δ0
Przykład 3.5
Osiadanie podpór
Podpory osiadają o ustalone (pomierzone) wielkości
231

0
1A

 0
l

0
12
2 0

l

0
2C
2
8
  0 4   0
3l
3l
M 10A  M A01 
2 EJ
6 EJ  0

 3 10A   

l
l
l
0
M 120  M 21

2 EJ
12EJ  0

 3 120   

l
l
l
3EJ
32EJ  0
 4  20C  

3l
l
l
M 20C 
EJ
81  2 2  6 I   M 10A  M 120  0
l
EJ 
16 
0
0
 21  12 2   I   M 21  M 2C  0
l 
3



EJ 
16
172 
 I   M A01  M 10A  0
  61   2 
l 
3
9

Przykład 3.5
Osiadanie podpór
Podpory osiadają o ustalone (pomierzone) wielkości
232
EJ
81  2 2  6 I   18EJ2  0  0
l
l
EJ 
16  20EJ 0
0
 21  12 2   I  
l 
3
l2

EJ 
16
172  12EJ 0
I 
0
  61   2 
l 
3
9
l2

0
l

 2  2,2968 0
l
1  2,4496
 I  0,4994
Przykład 3.5
0
l
Osiadanie podpór
233
M A1 
M 1A 
2 EJ
1  3 I   M A01
l
2 EJ
21  3 I   M 10A
l
M 12 
2 EJ
21   2 
l
M 21 
2 EJ
2 2  1 
l
M 2C 
3EJ
4 EJ
 4 2 
2
3l
l
M 2B 
4 EJ 
4 
 2   I 
l 
3 
Przykład 3.5
EJ 0
l2
EJ 0
M 1 A  6,80
l2
EJ 0
M 12  6,80
l2
EJ 0
M 21  16,29
l2
EJ
M 2 C  22,81 2 0
l
EJ 0
M 2 B  6,52
l2
M A1  1,90
Osiadanie podpór
234
22.81β
6.80β
30,41γ
23,09γ
16.29β
6.52β
8,70γ
T
8,70γ
8,70 γ
1.90β
M
γ=β/l
N
23,09 γ
Przykład 3.5
7,32 γ
Osiadanie podpór
235
Symetria i antysymetria
236
Pręt przecięty osią symetrii konstrukcji
S
q/2
q
Oś symetrii
konstrukcji
q/2
Oś symetrii
konstrukcji
A
q/2
q/2
Oś symetrii
konstrukcji
Każde obciążenie w konstrukcji symetrycznej można rozłożyć na
część symetryczną i antysymetryczną
237
S
q/2
q/2
q/2
238
A
q/2
q/2
q/2
Oś symetrii
konstrukcji
239
φi
φi
i
k
φi
i
2l
l
Wzór transformacyjny
M ik 
2 EJ
2 i   i   M ik0  EJ  i  M ik0
2l
l
Belka utwierdzona
z jednej strony przesuwnie
240
Momenty wywołane wpływami zewnętrznymi
M
Schemat
P
M
0
ik
M
0,5 l
0
ki
0,5 l
q

Pl
2
M ki0
M ik0
l
P
M ik0
M ki0
0
ik
3PL

8
ql 2

3

Pl
2
M

0
ki
Pl
8
ql 2

6

Pl
2
l
Δt – jak w belce obustronnie utwierdzonej
241
J=const
1,5l
t
l
l
l
Przykład 3.6
242
1,5l
1,5l
t/2
l
l/2
t/2
l
l/2
Przykład 3.6
243
1
1,5l
2
C
Układ geometrycznie wyznaczalny
1
2
0
12
 120 
1,5l
t/2
A
B
l
t/2
A
l/2
1,5 t tl 3
 tt
2l
4
B
l
l/2
Przykład 3.6
244
3EJ
 21
3l
2 EJ
21   2   M 12S 0
M 12S 
l
2 EJ
2 2  1   M 21S 0
M 21S 
l
3EJ
M 2SB 
 2 2
3l
EJ
M 2SC 
 2 2
l
2 EJ
6 EJ 3 t t

 M 21S 0 
 3 120   

l
l
4
9 EJ t t
 M 21S 0  
2l
M 1SA 
M 12S 0
M 12S 0
9
61  2 2   t t  0
2
9
21  8 2   t t  0
2
27
tt
44
18
2  tt
44
1 
Przykład 3.6
245
27 EJ t t

 27
22
l
 27
M 1SA 
M 12S
M 21S  36
27
18
18
27
18
36
36
M 2SB  18
M 2SC  18

EJ t t
22l
MS
Przykład 3.6
246
Układ geometrycznie wyznaczalny
1
2
0
12
1,5l
 120 
1,5l
t/2
t/2
A
l
l/2
Plan przemieszczeń węzłów
B
l
ψ
1,5 t tl 3
 tt
2l
4
l/2
ψ
Ψ=2Δ/3l
Przykład 3.6
247
3EJ
 21  
3l
2 EJ
M 12A 
(21   2 )  M 12A0
l
2 EJ
M 21A 
(1  2 2 )  M 21A0
l
3
EJ
M 2SB 
 2 2  
3l
3EJ
M 2SC 
 2 2
l
M 1AA 
M 12A0  M 21A0
2 EJ
6 EJ 3 t t


 3 120   

l
l
4
M 12A0  M 21A0  
9 EJ t t
2l
9
61  2 2  2   t t  0
2
9
21  12 2  2   t t  0
2
 21  2 2  4  0
10
tt
12
4
2   t t
12
7
  tt
12
1 
Przykład 3.6
248
EJ
EJ
 210  7  t t 
tt
12l
2l
2 EJ
20  4 t t  54  t t   EJ  t t
M 12A 
12l
12
2l
2 EJ
8  10  54  t t   3EJ  t t
M 21A 
12l
12
2l
EJ
EJ
M 2SB 
 24  7  t t  
tt
12l
2l
3EJ
EJ
M 2SC 
 8 t t  2
tt
12l
l
M 1AA 
EJ
 
tt
2l
4

3



3
4
MA
Przykład 3.6
249
16
29
7
38
26 3
 
62
EJ t t
22l
69
M
Przykład 3.6
250
Pręt leżący na osi symetrii konstrukcji
S
P
P/2
Oś symetrii
konstrukcji
A
P/2
Oś symetrii
konstrukcji
P/2
P/2
Oś symetrii
konstrukcji
251
S
P/2
P/2
P/2
J=∞
Oś symetrii
konstrukcji
252
A
P/2
P/2
P/2
J1=J∕2
Oś symetrii
konstrukcji
253
J
J
J
2P
P
2J
l
J
J
l
1
2
J
J
B
A
l
l
l
Przykład 3.7
A co ze stanem symetrycznym?
254
3EJ
1   
l
2 EJ
21   2 
M 12 
l
2 EJ
1  2 2 
M 21 
l
2 EJ
2 2  3 
M 2B 
l
2 EJ
 2  3 
M B2 
l
M 1A 
M 1 A  M 12  0
M 21  M 28  0
 M 1 A  M 28  M 82  Pl  0
71  2 2  3  0
21  8 2  6  0
 31  6 2  15  Pl
1 Pl

44 EJ
3 Pl
2  
44 EJ
13 Pl
 

3  44 EJ
1 
Przykład 3.7
255
M 1 A  3  13
1
Pl  5
44
1
M 12  4  2  3 Pl  5
44
1
M 21  2  4  3 Pl  7 
44
1
M 2 B  4  3  2  13 Pl  `7 
44
1
M B 2  2  3  2  13 Pl  10
44
Pl

22
7β
5β
14β
5β
7β
20β
M
Przykład 3.7
256
Koniec prezentacji multimedialnej
z przedmiotu
„Mechanika budowli” kierunek
„Budownictwo” specjalność
„Technologie energooszczędne w
budownictwie” sem.IV
257