Transcript Stati di equilibrio limite

A.A. 2015-2016
2.5.2016
Stati di Equilibrio Limite
Ip.: terreno omogeneo
privo di coesione
P.C.
z
c’=0
φ’≠0
σ’v0=γ’.z
v0'
 h'
σ’h0=K0.σ’v0
Due condizioni:
1) Stato tensionale LONTANO DA ROTTURA: per un dato σ’v0 i cerchi di
Mohr sono infiniti [K0 = f(natura terreno, storia tensionale)]
2) Condizione a ROTTURA: esistono solo DUE cerchi di Mohr
che soddisfano contemporaneamente le condizioni di equilibrio e di
rottura


Equilibrio
 h'
h' v0'
'
Rottura
 h'
'
 a'
v0'
'
 p'
'
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Stati di Equilibrio Limite
Equilibrio Limite ATTIVO – teoria di Rankine
La condizione di LIMITE ATTIVO viene raggiunta a seguito di una
compressione per scarico
espansione laterale del provino
 h'  0
tens. efficace orizzontale diminuisce
 v' 0  0
tens. efficace verticale geostatica cost
Durante la compressione per scarico si ha la riduzione di σ’h fino alla
rottura (scorrimento plastico) per stato di equilibrio limite attivo

P.C.
z
diminuzione
della tensione
orizzontale
Elemento di terreno
v0' omogeneo
ROTTURA PER
LIMITE ATTIVO
A' h2'h1'
'
v0'
Riduzione di h'
'
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Stati di Equilibrio Limite
Equilibrio Limite ATTIVO
1  sin  '
' 
'
2 
  
  v 0  tan      v' 0  K A
1  sin  '
4 2
'
A
'
v0
KA= coefficiente di spinta attiva
 1'
Superfici di
Rottura

ROTTURA PER
LIMITE ATTIVO
'
 3'
 3'
'
Polo
A

v0'

B
'
 '
Superfici di Rottura inclinata
di  sull’orizzontale
(direzione di ’3)
 1'
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Stati di Equilibrio Limite
Equilibrio Limite ATTIVO

Dimostrazione:
'
Dal cerchio di Mohr per il limite attivo si ha:
B
(*)
 v' 0   1'  OA  AB  OA 1  sin '
Analogamente:  A'   3'  OA  AB  OA 1  sin '
Ricavando OA da (**):
E sostituendo in (*):
OA 
 1'  3'
 A'
O
A
v0'
'
(**)
 3'
1  sin '
1  sin'
1  sin'
Si ottiene:
1  sin  '
' 

 A'   v' 0
  v' 0 tan 2  45  
1  sin  '
2

 3'   1'
KA 
1  sin '
1  sin '
1  sin'
' 

 tan 2  45  
1  sin'
2

 A'  v' 0 KA
KA  K 0
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Stati di Equilibrio Limite
Equilibrio Limite PASSIVO – teoria di Rankine
La condizione di LIMITE PASSIVO viene raggiunta a seguito di una
estensione per carico
compressione laterale del provino
 h'  0
tens. efficace orizzontale aumenta
 v' 0  0
tens. efficace verticale geostatica cost.
Durante la compressione per carico si ha l’aumento di σ’h fino alla
rottura (scorrimento plastico) per stato di equilibrio limite passivo.

P.C.
z
aumento della
tensione
orizzontale
Elemento di terreno
v0' omogeneo
ROTTURA PER
LIMITE PASSIVO
v0'
h1' h2' P'
Aumento di h'
'
'
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Equilibrio Limite PASSIVO

'
P

'
v0
N.B.
1  sin '
' 
'
2 

  v 0  tan      v' 0  KP
1  sin '
2
4
KA.KP=1
 3'
KP= coefficiente di spinta passiva
Superfici di
Rottura

ROTTURA PER
LIMITE PASSIVO
'
 1'
 1'
 '
 '
A
v0'


Polo
B
'
Superfici di Rottura inclinata di β
sull’orizzontale (ovvero di 45+’/2
rispetto alla direzione di ’3)
 3'
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Ip: mezzo dotato di coesione e attrito

Dal cerchio di Mohr, che rappresenta lo stato
tensionale dell’elemento di terreno, si ha:
 1'  d  OA  AB  OA 1  sin'
(I)
 3'  d  OA  AB  OA 1  sin'
(II)
B
O
1  sin2 '
cos '
d  c' cot '  c '
 c '
sin '
sin '
Ricavando OA da (II):
'
c
c'
a
 't
A
d
 3'
 1'
 3'  d
OA 
1  sin'
E sostituendo in (I):
 3'  d
1  sin'  d  1  sin'
 d 
 1  sin'   3' 
1  sin'
1  sin'
1  sin'
Si ottiene:
 1'   3' 
'
1
1  sin'  d   1  sin'  1
1  sin'
 1  sin'



n'
'
'
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Sostituendo in:
 1'   3' 
1  sin'  d   1  sin'  1
1  sin'
 1  sin'



1  sin2 '
cos '
 c '
L’equazione trovata per d: d  c' cot '  c'
sin '
sin '
Si ottiene:
Da cui:
'
1
 
'
1
 
'
1
 
'
3
1  sin'  c'

 1'   3' 
1  sin'
1  sin'  c'

1  sin2 '  1  sin' 
 1

sin'  1  sin'

1  sin'  c'

1  sin2 ' 1  sin'1  sin'

sin' 
1  sin'

'
3
'
3
1  sin'
1  sin'
1  sin2 '  2 sin' 
sin' 1  sin'
'
1
 
1  sin'  2c' 1  sin'1  sin'
1  sin'
1  sin'2
(*)
'
1
 
'
3
'
3
1  sin'  2c'

1  sin'
1  sin2 '
1  sin'2


1  sin'
1  sin'

 2c '
1  sin'
1  sin'
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Stati di Equilibrio Limite
 1'   3' 
1  sin'  2c' 1  sin'
1  sin'
1  sin'

 3'    1'  2c'

 3'   1' 
1  sin'   1  sin'
1  sin'  1  sin'
1  sin'
1  sin'
 2c '
1  sin'
1  sin'
In caso di spinta Attiva si ha:
σA’<σv0’
σ1’=σv0’
σ3’=σA’
In caso di spinta Passiva si ha:
σv0’<σP’
σ1’=σP’
σ3’=σv0’
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Stati di Equilibrio Limite
Equilibrio limite ATTIVO
 A'   v' 0  kA  2c ' kA
Tensione orizzontale nel caso
di equilibrio limite ATTIVO
per un terreno dotato di
COESIONE ed ATTRITO
Nel caso di TERRENO NON DOTATO DI COESIONE (c’=0), si ha:
Tensione orizzontale nel caso di
'
'
equilibrio limite ATTIVO per un
A  v 0  kA
terreno NON dotato di COESIONE


Nel caso si debba procedere ad una verifica in condizioni NON DRENATE
(ossia a breve termine) la determinazione della spinta attiva scaturisce
direttamente dall’applicazione del criterio di rottura espresso in termini di tensioni
totali. Ponendo c’=cu e φ’=0, si ottiene:
 A   v 0  2c u
Tensione orizzontale nel caso di
equilibrio limite ATTIVO in
condizioni NON DRENATE
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Stati di Equilibrio Limite
Equilibrio Limite PASSIVO
 P'   v' 0  kP  2c' kP
Tensione orizzontale nel caso
di equilibrio limite PASSIVO
per un terreno dotato di
COESIONE ed ATTRITO
Nel caso di TERRENO NON DOTATO DI COESIONE (c’=0), si ha:
Tensione orizzontale nel caso di
'
'
equilibrio limite PASSIVO per un
 v 0  kP
P
terreno NON dotato di COESIONE


Nel caso si debba procedere ad una verifica in condizioni NON DRENATE
(ossia a breve termine) la determinazione della spinta passiva scaturisce
direttamente dall’applicazione del criterio di rottura espresso in termini di tensioni
totali. Ponendo c’=cu e φ’=0, si ottiene:
 p   v 0  2c u
Tensione orizzontale nel caso di
equilibrio limite PASSIVO in
condizioni NON DRENATE.
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Stati di Equilibrio Limite
OSSERVAZIONE:
Se, a monte di un’opera di sostegno viene raggiunto uno condizione di stato
limite, la presenza di tensioni tangenziali al contatto muro-terreno dovute
ad attrito e ad aderenza) altera lo stato tensionale, che non corrisponde
più a quello ottenuto secondo le ipotesi di Rankine
Le espressioni da usare in questo caso sono:
 P'   v' 0  kP  c'kPC
'
A
 
'
v0
 kA  c'kAC
Con KA, KP, KPC e KAC ricavati da
procedimenti che tengono conto di
δ≠0 (angolo di attrito muro-terreno)
ca≠0 (aderenza muro-terreno).
Se δ≠0 le risultanti delle spinte Attiva e Passiva sono inclinate: in presenza di
attrito muro-terreno lo spostamento del muro rispetto al terreno non è libero ma
vincolato dall’attrito
Si generano delle tensioni tangenziali τ che inclinano la risultante della spinta
attiva e passiva: in questo modo si ha una componente normale e una tangenziale al
muro
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Stati di Equilibrio Limite
Altezza Critica di una parete verticale
Rappresenta un limite superiore: l’altezza massima superata la quale la
parete verticale di uno scavo non è più in grado di autosostenersi
Il concetto di altezza critica è applicabile ai soli terreni dotati di coesione
P.C.
e dipende dall’equilibrio della spinta attiva

'
Avanzamento

del fondo
scavo
 h'
Raggiungimento
dell’ altezza
critica Hc
 h'
c'
c'
 h'
v1' v2' v3'
Aumento lo scavo
'
 h'
v1'
 h'
v1'
1
v2'
2
v3'
3
z0
trazione
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Stati di Equilibrio Limite
Altezza Critica di una parete verticale
Il profilo di σA’ al variare della profondità z è un diagramma
lineare a farfalla, prima negativo e poi positivo
L’altezza z0 corrisponde alla posizione in cui si annulla la spinta attiva
h' P.C.
(inversione di segno)
Quindi, per ricavare z0:
z0
 A'   v' 0  kA  2c ' kA  0
 A'    z 0  kA  2c' kA  0
z0 
2c '
 ' kA
' 

2c ' tan  45  
2


'
Hc  2z0
Hc=2z0
Fondo
Scavo
Altezza critica Hc: per un’altezza pari a 2z0
il diagramma di spinta è equilibrato
Valida solo se non si considerano le fessure
A'=0