Stati di equilibrio limite
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Transcript Stati di equilibrio limite
A.A. 2015-2016
2.5.2016
Stati di Equilibrio Limite
Ip.: terreno omogeneo
privo di coesione
P.C.
z
c’=0
φ’≠0
σ’v0=γ’.z
v0'
h'
σ’h0=K0.σ’v0
Due condizioni:
1) Stato tensionale LONTANO DA ROTTURA: per un dato σ’v0 i cerchi di
Mohr sono infiniti [K0 = f(natura terreno, storia tensionale)]
2) Condizione a ROTTURA: esistono solo DUE cerchi di Mohr
che soddisfano contemporaneamente le condizioni di equilibrio e di
rottura
Equilibrio
h'
h' v0'
'
Rottura
h'
'
a'
v0'
'
p'
'
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2.5.2016
Stati di Equilibrio Limite
Equilibrio Limite ATTIVO – teoria di Rankine
La condizione di LIMITE ATTIVO viene raggiunta a seguito di una
compressione per scarico
espansione laterale del provino
h' 0
tens. efficace orizzontale diminuisce
v' 0 0
tens. efficace verticale geostatica cost
Durante la compressione per scarico si ha la riduzione di σ’h fino alla
rottura (scorrimento plastico) per stato di equilibrio limite attivo
P.C.
z
diminuzione
della tensione
orizzontale
Elemento di terreno
v0' omogeneo
ROTTURA PER
LIMITE ATTIVO
A' h2'h1'
'
v0'
Riduzione di h'
'
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Stati di Equilibrio Limite
Equilibrio Limite ATTIVO
1 sin '
'
'
2
v 0 tan v' 0 K A
1 sin '
4 2
'
A
'
v0
KA= coefficiente di spinta attiva
1'
Superfici di
Rottura
ROTTURA PER
LIMITE ATTIVO
'
3'
3'
'
Polo
A
v0'
B
'
'
Superfici di Rottura inclinata
di sull’orizzontale
(direzione di ’3)
1'
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Stati di Equilibrio Limite
Equilibrio Limite ATTIVO
Dimostrazione:
'
Dal cerchio di Mohr per il limite attivo si ha:
B
(*)
v' 0 1' OA AB OA 1 sin '
Analogamente: A' 3' OA AB OA 1 sin '
Ricavando OA da (**):
E sostituendo in (*):
OA
1' 3'
A'
O
A
v0'
'
(**)
3'
1 sin '
1 sin'
1 sin'
Si ottiene:
1 sin '
'
A' v' 0
v' 0 tan 2 45
1 sin '
2
3' 1'
KA
1 sin '
1 sin '
1 sin'
'
tan 2 45
1 sin'
2
A' v' 0 KA
KA K 0
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Stati di Equilibrio Limite
Equilibrio Limite PASSIVO – teoria di Rankine
La condizione di LIMITE PASSIVO viene raggiunta a seguito di una
estensione per carico
compressione laterale del provino
h' 0
tens. efficace orizzontale aumenta
v' 0 0
tens. efficace verticale geostatica cost.
Durante la compressione per carico si ha l’aumento di σ’h fino alla
rottura (scorrimento plastico) per stato di equilibrio limite passivo.
P.C.
z
aumento della
tensione
orizzontale
Elemento di terreno
v0' omogeneo
ROTTURA PER
LIMITE PASSIVO
v0'
h1' h2' P'
Aumento di h'
'
'
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Stati di Equilibrio Limite
Equilibrio Limite PASSIVO
'
P
'
v0
N.B.
1 sin '
'
'
2
v 0 tan v' 0 KP
1 sin '
2
4
KA.KP=1
3'
KP= coefficiente di spinta passiva
Superfici di
Rottura
ROTTURA PER
LIMITE PASSIVO
'
1'
1'
'
'
A
v0'
Polo
B
'
Superfici di Rottura inclinata di β
sull’orizzontale (ovvero di 45+’/2
rispetto alla direzione di ’3)
3'
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Stati di Equilibrio Limite
Ip: mezzo dotato di coesione e attrito
Dal cerchio di Mohr, che rappresenta lo stato
tensionale dell’elemento di terreno, si ha:
1' d OA AB OA 1 sin'
(I)
3' d OA AB OA 1 sin'
(II)
B
O
1 sin2 '
cos '
d c' cot ' c '
c '
sin '
sin '
Ricavando OA da (II):
'
c
c'
a
't
A
d
3'
1'
3' d
OA
1 sin'
E sostituendo in (I):
3' d
1 sin' d 1 sin'
d
1 sin' 3'
1 sin'
1 sin'
1 sin'
Si ottiene:
1' 3'
'
1
1 sin' d 1 sin' 1
1 sin'
1 sin'
n'
'
'
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Stati di Equilibrio Limite
Sostituendo in:
1' 3'
1 sin' d 1 sin' 1
1 sin'
1 sin'
1 sin2 '
cos '
c '
L’equazione trovata per d: d c' cot ' c'
sin '
sin '
Si ottiene:
Da cui:
'
1
'
1
'
1
'
3
1 sin' c'
1' 3'
1 sin'
1 sin' c'
1 sin2 ' 1 sin'
1
sin' 1 sin'
1 sin' c'
1 sin2 ' 1 sin'1 sin'
sin'
1 sin'
'
3
'
3
1 sin'
1 sin'
1 sin2 ' 2 sin'
sin' 1 sin'
'
1
1 sin' 2c' 1 sin'1 sin'
1 sin'
1 sin'2
(*)
'
1
'
3
'
3
1 sin' 2c'
1 sin'
1 sin2 '
1 sin'2
1 sin'
1 sin'
2c '
1 sin'
1 sin'
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Stati di Equilibrio Limite
1' 3'
1 sin' 2c' 1 sin'
1 sin'
1 sin'
3' 1' 2c'
3' 1'
1 sin' 1 sin'
1 sin' 1 sin'
1 sin'
1 sin'
2c '
1 sin'
1 sin'
In caso di spinta Attiva si ha:
σA’<σv0’
σ1’=σv0’
σ3’=σA’
In caso di spinta Passiva si ha:
σv0’<σP’
σ1’=σP’
σ3’=σv0’
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Stati di Equilibrio Limite
Equilibrio limite ATTIVO
A' v' 0 kA 2c ' kA
Tensione orizzontale nel caso
di equilibrio limite ATTIVO
per un terreno dotato di
COESIONE ed ATTRITO
Nel caso di TERRENO NON DOTATO DI COESIONE (c’=0), si ha:
Tensione orizzontale nel caso di
'
'
equilibrio limite ATTIVO per un
A v 0 kA
terreno NON dotato di COESIONE
Nel caso si debba procedere ad una verifica in condizioni NON DRENATE
(ossia a breve termine) la determinazione della spinta attiva scaturisce
direttamente dall’applicazione del criterio di rottura espresso in termini di tensioni
totali. Ponendo c’=cu e φ’=0, si ottiene:
A v 0 2c u
Tensione orizzontale nel caso di
equilibrio limite ATTIVO in
condizioni NON DRENATE
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Stati di Equilibrio Limite
Equilibrio Limite PASSIVO
P' v' 0 kP 2c' kP
Tensione orizzontale nel caso
di equilibrio limite PASSIVO
per un terreno dotato di
COESIONE ed ATTRITO
Nel caso di TERRENO NON DOTATO DI COESIONE (c’=0), si ha:
Tensione orizzontale nel caso di
'
'
equilibrio limite PASSIVO per un
v 0 kP
P
terreno NON dotato di COESIONE
Nel caso si debba procedere ad una verifica in condizioni NON DRENATE
(ossia a breve termine) la determinazione della spinta passiva scaturisce
direttamente dall’applicazione del criterio di rottura espresso in termini di tensioni
totali. Ponendo c’=cu e φ’=0, si ottiene:
p v 0 2c u
Tensione orizzontale nel caso di
equilibrio limite PASSIVO in
condizioni NON DRENATE.
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Stati di Equilibrio Limite
OSSERVAZIONE:
Se, a monte di un’opera di sostegno viene raggiunto uno condizione di stato
limite, la presenza di tensioni tangenziali al contatto muro-terreno dovute
ad attrito e ad aderenza) altera lo stato tensionale, che non corrisponde
più a quello ottenuto secondo le ipotesi di Rankine
Le espressioni da usare in questo caso sono:
P' v' 0 kP c'kPC
'
A
'
v0
kA c'kAC
Con KA, KP, KPC e KAC ricavati da
procedimenti che tengono conto di
δ≠0 (angolo di attrito muro-terreno)
ca≠0 (aderenza muro-terreno).
Se δ≠0 le risultanti delle spinte Attiva e Passiva sono inclinate: in presenza di
attrito muro-terreno lo spostamento del muro rispetto al terreno non è libero ma
vincolato dall’attrito
Si generano delle tensioni tangenziali τ che inclinano la risultante della spinta
attiva e passiva: in questo modo si ha una componente normale e una tangenziale al
muro
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Stati di Equilibrio Limite
Altezza Critica di una parete verticale
Rappresenta un limite superiore: l’altezza massima superata la quale la
parete verticale di uno scavo non è più in grado di autosostenersi
Il concetto di altezza critica è applicabile ai soli terreni dotati di coesione
P.C.
e dipende dall’equilibrio della spinta attiva
'
Avanzamento
del fondo
scavo
h'
Raggiungimento
dell’ altezza
critica Hc
h'
c'
c'
h'
v1' v2' v3'
Aumento lo scavo
'
h'
v1'
h'
v1'
1
v2'
2
v3'
3
z0
trazione
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Stati di Equilibrio Limite
Altezza Critica di una parete verticale
Il profilo di σA’ al variare della profondità z è un diagramma
lineare a farfalla, prima negativo e poi positivo
L’altezza z0 corrisponde alla posizione in cui si annulla la spinta attiva
h' P.C.
(inversione di segno)
Quindi, per ricavare z0:
z0
A' v' 0 kA 2c ' kA 0
A' z 0 kA 2c' kA 0
z0
2c '
' kA
'
2c ' tan 45
2
'
Hc 2z0
Hc=2z0
Fondo
Scavo
Altezza critica Hc: per un’altezza pari a 2z0
il diagramma di spinta è equilibrato
Valida solo se non si considerano le fessure
A'=0