Transcript • Questo compito sar`a corretto da un computer, che analizzer`a solo

• Questo compito sar`a corretto da un computer, che analizzer`a solo le risposte numeriche fornite dallo studente. Fare
quindi massima attenzione nei calcoli. La tolleranza prevista `e ±5% salvo ove diversamente indicato. I punteggi di
ciascuna domanda sono indicati tra parentesi: attenzione, una risposta errata verr`a valutata con il numero negativo
indicato sempre in parentesi, per scoraggiare risposte casuali: `e meglio non rispondere che rispondere a caso!
• Modalit`
a di risposta: scrivere il valore numerico della risposta da voi ottenuto nell’apposito spazio e barrare la lettera
corrispondente al risultato numerico che si avvicina al vostro entro il 5%.
• Durante la prova scritta `e consentito usare solo appunti, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice: non `e possibile
utilizzare eserciziari o libri di teoria. Il candidato dovr`
a restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori: non `e
consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato. Non `e possibile utilizzare cellulari od altri dispositivi
connessi con l’esterno. Candidati scoperti in violazione di queste norme verranno allontanati dalla prova.
• Come valore per l’accelerazione gravitazionale terrestre si assuma: g = 9.81 ms−2 .
• Non devono essere necessariamente utilizzati tutti i dati forniti.
• ATTENZIONE: I valori angolari nel testo sono forniti in radianti, quando usate la calcolatrice per le funzioni
trigonometriche controllate che accetti gli angoli in radianti, oppure convertiteli in gradi.
Problema 1: Un sughero di massa m viene lasciato cadere (partendo da fermo) da una finestra posta ad un altezza h e
raggiunge il suolo con velocit`
a vs sotto l’azione della forza di gravit`a e della forza di attrito esercitata dall’aria.
1. Calcolare il lavoro, Lvisc , eseguito dalla forza di attrito dell’aria durante l’intera caduta. (3,-1)
Problema 2: Un atleta lancia un peso di massa m imprimendogli una velocit`
a iniziale di modulo v0 diretta in modo da
formare un angolo θ rispetto all’orizzontale. Si trascuri la resistenza dell’aria.
2. Calcolare l’ altezza massima h raggiunta dal corpo (riferita rispetto all’ altezza iniziale). (3,-1)
3. Calcolare la minima energia cinetica E che il corpo possiede durante il moto. (3,-1)
Problema 3:
Un corpo di massa m si muove su un piano orizzontale con velocit`
a costante. Sul corpo agisce una forza esterna la cui
componente verticale vale Fy (nota: il verso positivo `e concorde alla forza peso).
4. Calcolare il modulo, N, della reazione vincolare esercitata dal piano sul corpo. (3,-1)
5. Sapendo che il coefficiente di attrito dinamico tra il corpo e il piano vale µd , Calcolare il modulo della forza di attrito
dinamico, Fatt. (3,-1)
6. Calcolare il modulo Fx della componente orizzontale della forza esterna esercitata sul corpo. (3,-1)
Problema 4:
Si lascia cadere (partendo da ferma) una pietra di massa m da un dirupo alto h.
7. Trascurando la resistenza dell’aria, calcolare il tempo, td , necessario alla pietra per percorrere gli ultimi d metri. (3,-1)
Problema 5:
Una sfera di massa m kg `e sospesa ad un filo. Una brezza orizzontale costante la fa spostare in modo tale che in posizione
di equilibrio il filo formi con l’asse verticale un angolo α .
8. Calcolare la tensione, T, del filo. (3,-1)
9. Calcolare l’intensit`a della forza orizzontale, For , dovuta alla brezza. (3,-1)
Problema 6:
Un corpo di massa m1 posto su un piano orizzontale senza attrito `e fissato all’ estremit`
a di una molla di massa trascurabile
e costante elastica k . L’altra estremit`
a `e fissata ad una parete e la molla `e allineata ad un asse orizzontale x la cui origine si
trova nella posizione di equilibrio; tutte le grandezze sono misurate rispetto a questo asse. Il corpo m1 `e inizialmente nella
posizione di equilibrio della molla. Un secondo corpo di massa m2 viaggiando sul piano urta il primo e vi si attacca.
Soluzioni
Problema 1:
1. Utilizzando il teorema delle forze vive si trova che il lavoro compiuto dalle forze di attrito dell’aria `e dato dalla variazione
di energia cinetica del corpo meno il lavoro compiuto sul corpo dalla forza di gravit`a, che e’ pari a mgh. Quindi:
Lvisc = 1/2mvs2 − mgh.
Problema 2:
2. La velocit`
a iniziale pu`
o essere scomposta nella sua componente orizzontale (v0x =v0 cosθ) e verticale (v0y =v0 senθ).
Applicando il teorema delle forze vive si trova che:
2
−1/2mv0y
= −mgh
e quindi:
h=
2
v0y
2g
3. Il moto del peso `e parabolico. La velocit`
a minima si ha in corrispondenza della massima altezza raggiunta (vertice della
parabola) quando la componente verticale della velocit`
a si annulla. La componente orizzontale della velocit`
a rimane
costante durante il moto perch`e non agiscono forze in direzione orizzontale quindi:
2
E = 1/2mv0x
.
Problema 3:
4. Applicando la prima equazione cardinale (F~tot =m~a) in direzione verticale si trova che la reazione vincolare del piano
controbilancia la forza peso e la componente verticale della forza F~ . Quindi:
N = mg + Fy .
5. Il modulo della forza di attrito dinamico `e data da:
Fatt = µd N = µd (mg + Fy ).
6. La massa si muove con velocit`
a costante quindi la sua accelerazione `e nulla. Questo vuol dire che la componente
orizzontale della forza F~ deve controbilanciare la forza di attrito dinamico (che si oppone al moto). Le due forze, in
modulo, sono perci`o uguali. Quindi:
F x = Fatt = µd N = µd (mg + Fy ).
Problema 4:
7. Il moto `e uniformemente accelerato sotto l’azione della forza peso. Il tempo, td , necessario alla pietra per percorrere
gli ultimi d metri `e uguale a quello necessario a percorrere tutto il dislivello h meno quello necessario a percorrere il
tratto (h-d). Quindi:
td =
Problema 5:
s
2h
−
g
s
2(h − d)
.
g
tensione del filo (Tcosα) controbilancia la forza gravitazionale. Quindi
T =
mg
.
cosα
9. La componente orizzontale della tensione del filo (Tsenα) controbilancia la forza orizzontale dovuta alla brezza. Quindi:
For = mgtanα.
Problema 6:
10. Il sistema `e equivalente a quello di una molla collegata ad una massa di valore uguale ad m1 +m2 . Il periodo di
oscillazione del sistema `e quindi:
P = 2π
r
m1 + m2
.
k