Transcript Cours polymères et composites

02/12/2015
Matériaux
polymères et
composites
Introduction, notions de bases et
propriétés
Iheb Chaieb
ECOLE NATIONALE SUPÉRIEURE D’INGÉNIEURS DE TUNIS
INTRODUCTION GÉNÉRALE
Les polymères et composites étaient exploitées depuis longtemps, mais leur avènement et
industrialisation furent le produit du 20ème siècle. Parmi les polymères naturels nous citons le
caoutchouc, la cire, la cellulose la soie et autres. Pour les composites nous évoquons le bois, les
ossement,…
De nos jours les polymères et composites ont envahi le monde et ce par leur facilité de mise en
œuvre leur technicités et particulièrement leur faibles densité en comparaison avec les matériaux
classiques.
Dans ce document nous traitons dans une première partie les matériaux polymères organiques où
nous présentons les différents aspects de ces matériaux en termes de constitution, propriétés et
caractéristiques mécaniques et quelques monographies. Dans la deuxième partie nous aborderons les
matériaux composites en mettant en avant les différents types et les notions de base sur
l’homogénéisation de leurs propriétés.
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Chapitre 1: LES POLYMÈRES ORGANIQUES
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I.
Différentes familles des polymères organiques.
Les matériaux polymères peuvent être organiques ou inorganiques (diamant). Dans ce cours nous nous
intéressons aux polymères organiques (Figure 1). Ces derniers sont classés de différentes manières en fonction du
domaine d’intérêt (polymérisation, mise en forme, propriétés physiques), pour commencer une répartition selon
l’origine :
Naturels : tels que les protéines (ADN, l’hémoglobine, la lignine,…), les fibres textiles naturelles (laine, coton, lin,
chanvre,…).
De synthèse : tels que les PE, PA, PVC, PMMA, PAN, PC, … qui dérivent en majorité de l’industrie pétrolière par
craquage suivie de polymérisation.
Aussi, une autre classification existe basée sur la séparation en familles de thermoplastiques, de
thermodurcissables et d’élastomères.
D’autres classifications existent tel que celles basées sur le mode de polymérisation (construction des
macromolécules) par étape ou en chaine. Aussi, une autre classification peut avoir lieu en se référant à leur
squelette (composition chimique) : les polymères aliphatiques, aromatiques, vinyliques, acryliques, …
II.
Rappel sur les liaisons atomiques dans les polymères.
Liaisons covalentes : ce type de liaison consiste en la mise en commun d’un ou de plusieurs doublet d’électrons
entre les deux atomes formant la liaison. C’est une liaison de forte intensité qui constitue le squelette des
macromolécules.
Liaisons hydrogène : ce type de liaison nécessite la présence d’un atome d’hydrogène fortement électropositif
et d’un atome fortement électronégatif (O, S et F). C’est une liaison de nature électrostatique ne faisant pas
intervenir d’échange d’électrons.
Liaisons de van der Waals : cette liaison est similaire à la liaison hydrogène par l’absence d’échange d’électrons.
De même elle présente un nature électrostatique cependant l’interaction est assurée par les noyaux et le cortège
électronique des atomes formant cette liaison.
Tous les polymères sont constitués d’un squelette carboné à liaison covalente. Cependant la fusion des
thermoplastiques est due à la présence des liaisons hydrogènes et de van der Waals entre les macromolécules.
Alors que les thermodurcissables et les élastomères ne présentent que des liaisons covalentes donc ils ne
présentent pas de point de fusion. Si nous continuons à apporter de la chaleur nous atteignons la température de
décomposition qui se manifeste par la rupture des liaisons covalentes du polymère et sa décomposition.
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Figure 1 : exemple de polymères organiques usuels
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III.
Définitions.
Les matériaux plastiques sont des polymères organiques constitués de macromolécules, qui sont à leur tour
constituées de l’enchaînement de molécules de base appelées monomères.
Une macromolécule contient un très grand nombre de monomères (de l’ordre de quelques milliers, quelques
dizaines de milliers voire plus).
La synthèse d’un polymère peut être assimilée à un jeu de construction dans lequel on dispose de pièces
élémentaires mono, di-fonctionnelles ou de fonctionnalité strictement supérieure à 2. On appelle fonctionnalité le
nombre de liaisons que la pièce est capable d’établir avec une autre pièce. Quand les motifs associés sont
identiques, on parle d’homopolymère. Sinon, ce sont des copolymères : bi-polymères, ter-polymères sont les plus
communs.
À titre d’exemple le polyéthylène (PE) dont la molécule de base et l’éthylène (C2H4) est obtenu par la répétition
du monomère éthylène (Figure 2).
Éthylène
polyéthylène
Figure 2 : formules chimiques de l’éthylène et du polyéthylène
1)Structure morphologie et configuration moléculaires.
a-Forme moléculaire
Les chaines moléculaires sont rarement rectilignes et les liaisons simples du squelette subissent des rotations ce
qui autorise le repliement de la chaine sur elle-même.
b-Structure moléculaire.
Dans les polymères linéaires (Figure 3-a), les monomères sont joints bout à bout en chaines simples.
Dans les polymères ramifiés (Figure 3-b), il y a des chaines latérales qui sont raccordées aux chaines principales.
Dans les polymères à liaisons transversales (Figure 3-c), des liaisons covalentes joignent en divers points les
chaines linéaires adjacentes. Ces liaisons transversales apparaissent au cours de la synthèse du polymère ou à la
suite d’une réaction chimique qui résulte en l’ajout d’atomes ou de molécules aux chaines (cas de la vulcanisation
du caoutchouc).
Les polymères réticulés (Figure 3-d), avec des liaisons covalentes dans les trois directions sont obtenus par
l’assemblage de monomères trifonctionnels pour former à la fin une macromolécule tridimensionnelle.
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Figure 3: différentes structures moléculaires
c-Configurations moléculaires.
i.Stéréo-isomérie (tacticité)
Pour les groupes ou atomes latéraux d’un polymère linéaire ou ramifié, on distingue différentes configurations
pour une même composition :
Isotactique : les groupes latéraux sont positionner du même côté du squelette (Figure 4-a).
Syndiotactique : la disposition des groupes latéraux de part et d’autre du squelette est périodique (Figure 4-b).
Atactique : la disposition des groupes latéraux est aléatoire (Figure 4-c).
Ce paramètre peut affecte la cristallinité des polymères.
a- isotactique
b-syndiotactique
c- atactique
Figure 4: tacticité
ii.Isomérie géométrique
Ce paramètre nous informe sur la disposition de deux groupes latéraux successifs dans le cas d’une double
liaison carbone-carbone de part et d’autre du squelette ainsi si les groupes sont situés du même côté nous dirons
que la structure est cis sinon la structure est dite trans (Figure 5)
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Figure 5: configurations cis et trans
iii.Copolymères
Les copolymères sont issus de la participation de deux ou plusieurs monomères pour constituer un nouveau
polymère. Selon la disposition des monomères dans la macromolécule différents type de copolymères existent : les
alternés, les aléatoires, les séquencés par blocs et les greffés (Figure 6).
(a)
(b)
(c)
(d)
Aléatoire
Alterné
Séquencé par blocs
greffés
Figure 6 : copolymères
IV.
Degré de polymérisation et masse moléculaire
Le degré ou indice de polymérisation, entier en indice « n » (Figure 2) parfois noté x, représente le nombre de
fois que le monomère est répété dans la macromolécule.
Cependant cet indice est une valeur statistique, car lors de la polymérisation, qui consiste en la synthèse du
polymère, le nombre de monomères assemblés par macromolécule n’est pas forcément le même. Donc nous
sommes ramenés à estimer une valeur moyenne :
∑ 𝑛 𝑖 𝑁𝑖
, avec Ni le nombre de macromolécules de degré de polymérisation ni.
∑ 𝑁𝑖
∑ 𝑤𝑖 𝑛 𝑖
, avec wi=Ni.Mi : masse des macromolécules de degré de polymérisation
∑ 𝑤𝑖

En nombre (nn) : 𝑛𝑛 =

En masse (nw) : 𝑛𝑤 =
ni.
La masse moléculaire M d’une macromolécule vaut : 𝑀 = 𝑛 × 𝑀0 (où M0 est la masse molaire du monomère).
La masse moléculaire moyenne est aussi une valeur statistique qui représente la valeur moyenne des masses
des macromolécules constituant le polymère. Il existe différentes moyennes :

Masse moléculaire moyenne en nombre : 𝑀𝑛 =
∑ 𝑁 𝑖 𝑀𝑖
∑ 𝑁𝑖
𝑁𝑖
𝑁𝑖
= ∑ 𝑥𝑖 𝑀𝑖 𝑜𝑢 𝑥𝑖 = ∑
ou xi = est la fraction
molaire des molécules de masse Mi.

Masse moléculaire moyenne en poids : 𝑀𝑤 =
∑ 𝑁𝑖 𝑀𝑖2
∑ 𝑁 𝑖 𝑀𝑖
=
∑ 𝑤 𝑖 𝑀𝑖
∑ 𝑤𝑖
𝑤
= ∑ 𝑚𝑖 𝑀𝑖 𝑜𝑢 𝑚𝑖 = ∑ 𝑤𝑖 ou mi est la
𝑖
fraction massique des molécules de masse Mi.
La masse moléculaire, de même pour le degré de polymérisation, est un paramètre fort important pour les
caractéristiques du matériau polymère. À titre d’exemple l’état physique du polymère varie de liquide à solide avec
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le degré de polymérisation : le polyéthylène glycol PEG avec un Mn ≈ 400 g/mol est exploité comme liquide de frein
mais quand le Mn ≈ 2000 g/mol devient une poudre. De même pour la résistance mécanique qui augmente avec la
masse ou la longueur de chaine (Figure 7).
Figure 7: effet de la masse moléculaire sur la résistance mécanique.
La détermination de la distribution des masses moléculaires (Figure 9) se fait par la méthode de
chromatographie d’exclusion stérique (Figure 8) nommée aussi chromatographie sur gel perméable (Gel
Permeation Chromatography). Cette dernière est souvent complétée par des détecteurs (viscosimètre,
réfractomètre différentiel, Détecteurs UV, Détecteurs à diffusion de lumière,…). De même il existe d’autres
méthodes telles que la diffusion de lumière, la viscosité, la résonnance magnétique nucléaire, etc. ….
Figure 8 : principe de la Chromatographie d’Exclusion Stérique
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Certains s’interrogeront sur l’intérêt du calcul de plusieurs masses moyennes moléculaires. Le fait est que pour
les polymères nous estimons l’indice de polymolécularité ou de polydispersité, noté IP, qui représente le rapport
Mw/Mn. Cet indice sert d’indicateur sur la dispersion des masses moléculaires des macromolécules autours des
valeurs moyennes calculées. Quand IP vaut 1 le polymère est dit isomoléculaire (cas des polymères vivants).
Généralement ce rapport est limité entre 1.01 et 3 pour la plupart des polymères mais d’importantes valeurs
peuvent se présenter pour certains polymères de l’ordre de 10 voire plus (fortement dispersés). Autrement dit, IP
est importante nous jugeons que les propriétés estimées pour matériau ne représente que l’échantillon et pas le
polymère (à cause des écarts potentiels). Donc un polymère peu dispersé présentera des estimations de
caractéristiques plus fiables.
Figure 9 : distribution des masses moléculaires
V.
État physique.
1)Comportements amorphe et cristallin
La plupart des polymères présentent simultanément les caractéristiques de solide et de liquides très visqueux.
La diffraction des rayons X (Figure 10) montre souvent des zones organisées en plus de zones diffuses associées aux
liquides.
Pics caractéristiques des phases cristallines
I.A
Fond diffus caractéristique de la phase amorphe
Angle de diffraction (2θ)
Figure 10: spectre de diffraction des rayons X obtenu pour un polymère semi-cristallin
Les termes cristallin et amorphe sont exploités pour décrire les zones organisées et celles qui ne le sont pas. Les
polymères diffèrent par leur degré d’organisation cristalline depuis ceux complètement amorphe jusqu’à certains
fortement cristallins (de 0% à 95%). Le terme semi-cristallin décrit ceux qui sont partiellement cristallins. La Figure
11 illustre les différents aspects de cristallinité chez les polymères.
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La cristallinité des polymères est de deux types :
Micelle à franges : Dans ce modèle nous considérons que les zones cristallines sont l’agencement de plusieurs
portions de macromolécules étirées localement.
Lamelles à chaînes repliées et cristallite : les zones cristallines se présentent sous la forme de lamelles dont les
dimensions sont de l’ordre de 10000 Å × 100 Å. Ces lamelles sont obtenues par le repliement d’une macromolécule
sur elle-même en accordéon un grand nombre de fois. Les cristallites résultent du même processus que les lamelles
mais avec un enroulement en spirale en plus.
Sphérolite : c’est une structure cristalline complexe dont le noyau est un monocristal à partir duquel croissent
radialement, vers l’extérieur et en divergeant, des lamelles. Ce qui confère au sphérolite une structure en croix de
malte. La croissance est assurée par le mécanisme de repliement des chaînes. Entre les lamelles constituants le
sphérolite nous retrouvons des zones amorphes et ce à cause du mode croissance qui ne permet pas le remplissage
total par une phase cristalline.
La présence des cristallites dans le polymère augmente sa densité par réduction du volume libre, qui est
important dans la phase amorphe. À un autre niveau de par la constitution des cristallites nous imaginons
facilement que les caractéristiques de résistances sont plus importantes que celles des phases amorphes. Aussi,
la cristallinité réduit la transparence des polymères. Nous regroupons dans la Figure 11 les différents aspects de
cristallinité dans les polymères.
L’estimation de cet important paramètre se fait par plusieurs méthodes telles que la diffraction des rayons X, la
densimétrie, la spectroscopie infrarouge, la mesure de chaleur de fusion, la RMN etc... .
La présence de plusieurs phases sous-entend que les propriétés du polymère seront une combinaison de celles
des phases amorphes et cristallines.
À titre d’exemple, en ce qui concerne la densité, en supposant que par une méthode donnée nous arrivons à
doser les fractions volumiques des deux phases en question, qui sont complémentaires à 1.
Ainsi : 𝑥𝑐 =
𝝆=
𝑣𝑐
𝑣𝑐 +𝑣𝑎
𝝆𝒄 𝒗𝒄 +𝝆𝒂 𝒗𝒂
𝒗𝒂 +𝒗𝒄
𝑒𝑡 𝑥𝑎 = 𝑣
𝑣𝑎
𝑐 +𝑣𝑎
. 𝑒𝑡 𝑥𝑐 + 𝑥𝑎 = 1, 𝑣𝑖 : volume de la phase i (a : amorphe, c : cristallin).
= 𝝆𝒄 𝒙𝒄 + 𝝆𝒂 𝒙𝒂 = 𝝆𝒄 𝒙𝒄 + 𝝆𝒂 (𝟏 − 𝒙𝒄 ). À partir de ce calcul nous pouvons exprimer le taux
volumique de cristallinité 𝑥𝑐 en fonction des densités relatives des phases et de celle du polymère en question :
𝒙𝒄 =
𝝆 − 𝝆𝒂
𝝆𝒄 − 𝝆𝒂
Ce calcul pourrait être entrepris en considérant le taux de cristallinité massique : 𝑓𝑐 = 𝑚
𝝆=
𝒎𝒄 +𝒎𝒂
𝒎𝒂 𝒎𝒄
+
𝝆𝒂 𝝆𝒄
=
(𝒎𝒄 +𝒎𝒂 )𝝆𝒂 𝝆𝒄
𝒎𝒂 𝝆𝒄 +𝒎𝒄 𝝆𝒂
𝟏
𝝆
𝒎 𝝆𝒄 +𝒎𝒄 𝝆𝒂
𝒄 +𝒎𝒂 )𝝆𝒂 𝝆𝒄
⟺ = (𝒎𝒂
=
𝒇𝒄
𝝆𝒄
+
𝟏−𝒇𝒄
.
𝝆𝒂
𝝆𝒄 (𝝆 − 𝝆𝒂 ) 𝝆𝒄
= 𝒙
𝝆(𝝆𝒄 − 𝝆𝒂 ) 𝝆 𝒄
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, ainsi :
De cette expression nous dérivons la fraction
massique en fonction des densités relatives :
𝒇𝒄 =
𝑚𝑐
𝑎 +𝑚𝑐
Micelles à franges (zones alignées)
Chaîne repliée (rentrée adjacente)
Chaîne repliée (standard téléphonique)
Micrographie du polyéthylène (la phase cristalline est plus dense)
Micrographie du polyéthylène (sphérolites)
Micrographie du polyéthylène (cristallite)
Figure 11: différents aspects de la cristallinité dans les polymères organiques
1.
Transitions thermiques
Les matériaux polymères sont caractérisés par deux températures de transition, la température de fusion
cristalline Tf et la température de transition vitreuse Tg. La température de fusion cristalline correspond à la fusion
des domaines cristallins du polymère. La transition vitreuse correspond à la température au-dessous de laquelle la
phase amorphe acquière les propriétés de l’état vitreux qui sont la fragilité et la rigidité. La différence entre ces
deux transitions thermiques peut être mieux comprise si l’on considère les changements qui se produisent lors du
refroidissement d’un polymère liquide. La mobilité moléculaire diminue au refroidissement. Lorsque les énergies
de translation et de rotation sont devenues pratiquement nulles, la cristallisation devient possible. Si certaines
conditions de symétrie sont vérifiées, les molécules sont capables de s’empiler en un arrangement régulier et la
cristallisation peut se produire. La température à laquelle ceci se produit est Tf. Cependant certains polymères ne
satisfont pas à ces conditions de symétrie. Si tel est le cas, la cristallisation ne se produit pas, mais l’énergie des
molécules continue à décroitre avec la température. La température atteint Tg, température de transition vitreuse,
à laquelle les mouvements des macromolécules à grande échelle s’arrêtent.
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Un polymère présentera une ou deux transitions thermiques selon sa structure. Les amorphes ne présentent
que Tg. un polymère complètement cristallin ne présentera que Tf. Alors qu’un semi-cristallin présentera Tf et Tg.
Des changements de propriétés tels que le volume spécifiques, la capacité calorifique, etc…. seront remarqués
lorsque le polymère passe par l’une ou l’autre des transitions thermiques. La Figure 12 illustre la variation du volume
massique (« specific volume » inverse de la masse volumique) avec la température pour des polymères amorphes,
cristallins et semi-cristallins.
Figure 12 : détermination des températures de transition vitreuse et de fusion cristalline à partir des changements de volume spécifique.
a-Paramètres d’effets sur les températures de transition vitreuse et de fusion.
Essentiellement les deux transitions dépendent de la densité de liaisons faibles entre macromolécules et de son
énergie. Hormis les aspects de régularité nécessaire pour la cristallinité, que nous discuterons plus bas, l’amplitude
des deux températures semble sommairement suivre les mêmes critères. En ce qui concerne la transition vitreuse,
la Tv représente la température à partir de laquelle la mobilité macromoléculaire devient perceptible par le
changement vers un comportement ductile.
Le Tableau 1 résume les températures de transition vitreuse typiques de quelques polymères.
Nous classons les effets en deux classes :
 Moléculaire (monomère) :
 La gêne stérique (encombrement) associée aux groupes latéraux aura tendance à rehausser la Tv. Une
comparaison entre le PE (C2H4) et le PP (C2H3CH3) montre que la présence du groupe CH3 affecte la Tv
en l’augmentant.
 La polarité des groupes latéraux a aussi un effet rehausseur car plus cette polarité est importante plus
l’énergie des liaisons faibles sera importante (nature électrostatique). En comparant le PE au PVC
(C2H3Cl) nous notons que la Tv du PVC et supérieure.
 La présence d’éléments rigide dans le monomère (liaison double ou groupes aromatiques) qui a
tendance à élever la Tv. En comparant le PE au PPE (polyphényléthylène) présentant un groupe
aromatique dans le squelette du monomère, nous notons une Tv plus élevée pour PPE.
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 Macromoléculaire.
 L’augmentation de la masse moléculaire (degré de polymérisation) a tendance à augmenter la Tv, car
l’entremêlement deviendra plus important et les macromolécules nécessiteront plus d’énergie pour se
dégager et se mouvoir.
 Le taux de ramification a tendance à augmenter la Tv et ce à cause des risques d’entremêlement et la
multiplication des points d’ancrage.
 La présence de plastifiant (additif ou par absorption d’eau) réduit la Tv en augmentant les volumes
libres entre macromolécules.
Tableau 1 : température typique de transition vitreuse de certains polymères,
G. Beauhaire, Analyse calorimétrique et thermogravimétrique appliquée aux polymères industriels, p. E9, SNIAS Suresnes, conf. SFIP, 17
novembre 1983, Paris.
Polymère
Tv (°C)
Polymère
Tv (°C)
Polyamide 6
52
Polydiméthylsiloxane (PDMS)
-120a
Polyamide 12
55
1,4-cis-polybutadiène (BR)
-112a
Polyamide 6.6
57
Polyéthylène (PE)
-110 (transition γ)
Cire naturelle
60
Caoutchouc naturel (NR)
-73a
Poly(téréphtalate d'éthylène) (PET)
69a
Polyisobutylène (PIB)
-68a
Polyamide 4.6
80
Styrène-butadiène (SBR)
-55
Poly(chlorure de vinyle) (PVC)
80a
Néoprène (polychloroprène, CR)
-50a
Poly(alcool vinylique) (PVAl)
85a
1,4-trans-polybutadiène (BR)
-20a
Polystyrène (PS)
100a
1,2-polybutadiène (BR)
-12a
Polyacrylonitrile (PAN)
105a
Polypropylène isotactique (PPi)
-10 à 0a
Poly(méthacrylate de méthyle) (PMMA) atactique
108a
Poly(acétate de vinyle) (PVA ou PVAc)
32a
Polycarbonate (PC)
150a
Polyamide 11
46a
Concernant la température de fusion des domaines cristallins, comme nous l’avons mentionné plus haut, elle
dépend essentiellement de l’énergie de liaison et de la fraction cristalline présente dans le polymère. Nous
remarquons que plus la polarité est importante plus la Tf est élevée. Aussi, plus le taux de cristallinité et élevé
plus la Tf le sera aussi.
Dans la suite nous discuterons les paramètres affectant la cristallinité.
b-Paramètres d’effets sur la cristallinité
Le taux de cristallinité dépend de plusieurs aspects :
Thermique : la vitesse de refroidissement affecte la mobilité moléculaire qui empêche le repliement, aussi le
maintien à des températures proches de Tf aura pour effet de favoriser la cristallisation.
Travail mécanique : la déformation plastique des polymères conduit à l’étirage des macromolécules qui les
forcera à s’orienter, ce qui provoque de la cristallinité.
La structure moléculaire : la cristallisation sera plus difficile pour des polymères à groupement latéraux
volumineux, la gêne stérique empêchera le repliement. Ceci dit la cristallisation sera difficile à éviter pour les
polymères simples, tels que le polyéthylène et le poly(tetrafluoroéthylène), même pour des vitesses de
refroidissement importantes, à cause de l’inertie thermiques des polymères.
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Pour les polymères linéaires, il est aisé d’obtenir de la cristallinité car il n’y a pas de restrictions à l’alignement
des chaînes. Cependant, les ramifications, cas des polymères ramifiés, s’opposent à la cristallisation ce qui donner
des taux de cristallinité plus faibles que ceux des polymères linéaires. De ce fait, la majorité des polymères ramifiés,
réticulés et à liaisons transversales sont amorphes.
Degré de polymérisation : la longueur des chaînes à un effet inverse sur la cristallinité car elle empêche le
repliement par la multiplication des points d’ancrage. Aussi la viscosité aura tendance à augmenter.
Stéréo-isomérie : la tacticité semble affecter la cristallinité des polymères en effet, un polymère isotactique
présentera une meilleur cristallinité qu’un syndiotactique qui à son tour aura une meilleur cristallinité qu’un
atactique.
Copolymères : Les copolymères, les aléatoires et les greffés présentent le plus de difficulté à cristalliser.
Cependant, quand une certaine régularité est aperçue (alternés ou séquencés) un semblant de cristallisation peut
se manifester.
VI.
Comportement mécanique
Le comportement mécanique ou plutôt thermomécanique permet de lier les contraintes aux déformations et
d’y associer des effets thermiques. Cependant nous classons ces réponses en deux catégories qui sont les
comportements à long terme et instantané. Ces réponses sont identifiées par des essais spécifiques que nous
exposons dans la suite.
Figure 13 : essais mécaniques, instantanés et à long terme des plastiques et domaine d'application
1)Mécanismes de rupture dans les polymères.
Dans le plateau caoutchoutique la rupture des polymères, présente un aspect ductile qui se manifeste par
l’apparition de craquelures, qui consistent en la formation de microporosités qui coalesceront conduisant ainsi à
l’endommagement du matériau et à sa rupture (Figure 14). Cependant, dans le domaine vitreux, le comportement
est fragile.
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(c)
Micrographie d’une craquelure
Figure 14: mécanisme de rupture par craquelure.
2)Propriétés et caractéristiques instantanées des polymères.
Nous sous-entendons par instantanées les propriétés relevées à l’issue d’essais ne faisant pas intervenir la
sensibilité des matériaux au temps.
La sensibilité au temps est visible pour la majorité des polymères, qui ont des températures de transition
vitreuse en dessous de l’ambiante ce qui les dispose à présenter un comportement visqueux, les rendant ainsi
sensible au temps et à la température (Figure 15).
Figure 15: effet de la température sur la réponse du PMMA à un essai de traction
Mais quand les temps de sollicitations sont courts les notions classiques restent de mise.
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a-Traction
L’essai de traction est l’essai le plus pratiqué pour caractériser les matériaux. Il consiste à imposer une vitesse
d’allongement constante à l’éprouvette et à enregistrer la réponse de l’éprouvette en termes de résistance. Dans
le cas des polymères différentes réponses, qui nous résumons en 4 types (Figure 16), existent.
𝐹
𝑆0
Figure 16 : Courbes de traction types des polymères

Courbes du type I (matériaux fragiles).
Ce type de courbe est caractéristique d’un comportement fragile, souvent obtenu avec les matières
thermodurcissables, les thermoplastiques ne présentant ce comportement qu’à basse température (en dessous de
la température de transition vitreuse) et (ou) à vitesse élevée de sollicitation. La contrainte et l’allongement à la
rupture ainsi que le module d’Young sont alors calculés.

Courbes du type II (matériaux ductiles avec seuil d’écoulement).
De nombreux polymères thermoplastiques présentent ce type de comportement au voisinage de la température
ambiante : le maximum ou seuil d’écoulement haut (Sh) correspond à l’apparition du phénomène de striction, il
important de rappeler que les seuils haut et bas ne peuvent apparaitre que sur une courbe de traction
𝐹
conventionnelle 𝑅 = 𝑆 . Cette striction, due à la réduction des volumes libres entre chaînes, peut aller jusqu’à 1/3
0
pour les matériaux semi-cristallins. Cependant, cette zone continuera à s’étendre le long de l’éprouvette au seuil
d’écoulement bas (Sb) à charge quasiment constante, jusque dans les têtes d’éprouvettes, avant d’atteindre la
rupture pour des allongements pouvant atteindre 1000 %.
En fait, au départ de la mise en charge du matériau, c’est la phase amorphe qui répond en première, étant moins
rigide que la phase cristalline, donc les chaines commencent à ce tendre jusqu’à atteindre un point ou cette option
n’est plus possible. À cet instant interviennent les cristallites qui commencent à se démêler ce qui nécessitera moins
d’effort que de tirer sur les squelettes des chaînes et donc la contrainte aura tendance à se maintenir tant que le
mécanisme de démêlage se poursuit. Cet étirage se traduit par une très forte orientation moléculaire (Figure 17).
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
Courbes du type III (matériaux ductiles sans seuil d’écoulement)
Certains polymères cristallins présentent un comportement plastique sans seuil très marqué, typique des
polymères résilients. Outre les paramètres de rupture, est défini un seuil conventionnel SCε soit à l’intersection de
la droite parallèle à la tangente à l’origine de la courbe III à partir d’une déformation spécifiée (0,1 à 1 %) d’après la
norme ASTM D 638, soit à l’intersection de la perpendiculaire à l’axe des abscisses pour une déformation prescrite
(x %) d’après la norme NF EN ISO 527.

Courbes du type IV (matériaux caoutchoutiques)
Ce comportement est caractéristique des élastomères et est obtenu avec les polymères amorphes au-dessus de
leur température de transition vitreuse, on détermine la contrainte et l’allongement à la rupture et souvent un
module sécant à 100 ou 200 % d’allongement (NF T 46-002).
Figure 17: mécanisme de déformation plastique dans les polymères semi-cristallins
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i.Identification des caractéristiques de traction.
Nous rapportons sur la (Figure 18) les caractéristiques et propriétés mécaniques communes des polymères.
Module d’élasticité : ce module correspond au coefficient de proportionnalité entre la contrainte et la
déformation dans le domaine d’élasticité linéaire. Ce qui correspond à la tangente à l’origine de la courbe de
traction, dans ce cas nous parlons de module tangent. Cependant quand la linéarité de la réponse élastique est
mise en doute, nous employons la notion de module sécant qui est estimé par le rapport de la contrainte seuil
d’écoulement, qui jouera le rôle d’une limite élastique par la déformation correspondante
Limite élastique ou seuil d’écoulement : cette donnée représente la contrainte limite perçu par le matériau
avant plastification. Dans certains cas elle n’est pas bien discernée et est donc approchée par le seuil d’écoulement
qui représente la contrainte atteinte pour une faible déformation plastique donnée.
Résistance mécanique : elle correspond à la contrainte réelle maximale que peut supporter le matériau. Dans
le cas des polymères c’est la contrainte à la rupture. Pour les matériaux métalliques elle correspond à la contrainte
maximale avant striction. La différence vient du fait que pour les polymères comme nous l’avons mentionnés plus
haut continuent à ce déformer uniformément dans la zone de striction alors que pour métaux le dommage
continuera à se localisé dans la zone de striction accélérant la rupture.
Énergie de rupture : cette grandeur calculable par unité de volume représente l’énergie nécessaire à la rupture
de l’éprouvette. Elle est définie par l’aire comprise entre la courbe et l’axe des allongements :
𝜖𝑅
𝑊𝑅 = ∫ 𝜎. 𝑑𝜖
0
Où εR est l’allongement à la rupture.
Coefficient de Poisson : Le coefficient de Poisson, défini comme étant le rapport négatif de la déformation εn
selon l’un des deux axes perpendiculaires à la direction de traction sur la déformation longitudinale ε dans la partie
linéaire de la courbe de déformation longitudinale. Sachant que deux coefficients de Poisson peuvent être définis,
il convient d’indiquer systématiquement la direction normale choisie (largeur ou épaisseur) :
𝜖𝑛
𝜈𝑛 = −
𝜖
Avec ε déformation longitudinale, εn déformation dans la direction normale avec n = b (largeur) ou n = h
(épaisseur).
La détermination d’un coefficient de Poisson impose l’utilisation de rosettes de déformation à 0/90° ou d’un
extensomètre bidirectionnel.
Figure 18 : caractéristiques de traction
Page 18/38
b-Dureté
La dureté est la résistance qu’oppose un matériau à la pénétration d’un corps plus dur, appelé pénétrateur. Elle
s’exprime par le symbole H (HARDNESS). Les essais les plus courants se font par pénétration : le pénétrateur peut
être soit une bille soit une pyramide. Les plus connus sont les essais BRINELL, ROCKWELL, VICKERS et SHORE. La
dureté dépend à la fois de la limite élastique et de la capacité de durcissement par déformation. L’essai Shore est
typique des polymères, surtout des élastomères. Voir Fiche dureté en annexe.
c-Résilience
La résilience permet de caractériser la résistance au choc des matériaux, elle est représentée par l’énergie
nécessaire à cisaillé une unité de surface par choc.
Figure 19 : machine d'essai de choc pendulaire et dessin des éprouvettes Charpy
3)Propriétés et caractéristiques à long-terme des polymères.
a-Fatigue.
L’essai de fatigue consiste à solliciter périodiquement une éprouvette et d’observer le temps nécessaire à sa
rupture. Il existe deux catégories de tests de fatigue qui sont la fatigue olygocyclique (plastique) et la fatigue
polycyclique (élastique). La différence entre les deux essais réside fondamentalement dans la plage de contrainte
appliquée de part et d’autre de la limite élastique du matériau. Cet essai permet d’identifier la contrainte seuil, qui
correspond à la valeur assurant 106 ou 107 cycles sans rupture.
Figure 20: courbes de Wöhler pour différents polymères
Page 19/38
b-Caractéristiques dynamiques des polymères
L’écoulement visqueux des polymères est l’un des aspects dominant leurs comportements à l’ambiante. En
effet, pour la majorité des polymères, à la température ambiante, ils sont dans leur domaine caoutchoutique. Les
essais de fluage et relaxation permettent de mettre en évidence cet aspect visqueux. Ces deux essais sont à
caractère viscoélastique car la contrainte (fluage) ou la déformation (relaxation) imposées sont dans le domaine
𝝈
𝟎
élastique. Ce qui permet de déterminer un module de fluage ou de relaxation qui correspond à 𝑬(𝒕) = 𝝐(𝒕)
cas du
fluage ou à 𝑬(𝒕) =
𝝈(𝒕)
𝝐𝟎
cas de la relaxation. La Figure 21 montre la sensibilité du module de relaxation à la
température, où nous pouvons identifier la transition vitreuse du polymère avec une importante chute. Dans ce cas
le tracé est obtenu pour différentes température et à temps fixé.
Figure 21 : évolution du module de relaxation avec la température
i.Le fluage
Le fluage, consiste en la réponse, en termes de déformation, d’un matériau au cours du temps à une sollicitation
élastique instantanée et constante. La Figure 22 illustre différents cas de réponse en fonction du comportement du
matériau.
élastique
viscoélastique
visqueux
Essai de fluage interrompu
Figure 22: réponse à une mise en charge instantanée et essai de fluage interrompu.
Page 20/38
Quand l’essai de fluage est mené jusqu’à la rupture (Figure 23) nous constatons 3 zones distinctes qui sont : les
fluages primaires, secondaire et tertiaire. Les premier et troisième stades correspondent à des phases à
déformation accélérée tandis que le fluage secondaire correspond à une phase stabilisé à vitesse de déformation
constante.
: Temps de rupture
Figure 23: essai de fluage jusqu'à la rupture.
Sensibilité de la viscosité à la température.
Il est évident que la température favorise le ramollissement des polymères et facilite leur écoulement en
affectant leur viscosité. Ceci dit, la loi d’Arrhenius semble être satisfaisante pour modéliser la sensibilité de la
Δ𝑄
viscosité à la température. En effet 𝜏 = 𝐴 𝑒 𝑅𝑇 avec :
τ : temps de relaxation.
ΔQ : énergie d’activation
J.mol-1
R : constante des gaz parfait
8.31 J.mol-1.K-1
T : température en °K
A : constante
Cette loi reste applicable pour la vitesse de déformation dans le domaine de fluage secondaire, avec
Δ𝑄
𝜖̇ = 𝐴 𝑒 −𝑅𝑇
ii.La relaxation.
À son tour la relaxation est un type de sollicitation qui fait intervenir l’aspect visqueux des matériaux. Il consiste
en l’imposition d’une déformation initialement élastique et constante à une éprouvette et à suivre l’évolution de
la contrainte au cours du temps. Nous observons que la contrainte se relaxe, c’est-à-dire qu’elle diminue avec le
temps. Et ce par l’apparition de l’écoulement visqueux au sein du matériau (Figure 24).
Figure 24 : réponse à une déformation instantanée
Page 21/38
4)Aspects rhéologiques.
La rhéologie consiste à modéliser les écoulements des matériaux en réponse à des sollicitations externes.
Et ce par la combinaison de différents modèles de base (Figure 25) qui sont :


Le Hookien qui représente un ressort sans inertie à élasticité linéaire donc la contrainte est exprimée
𝜎 = 𝐸. 𝜖
Le Newtonien qui représente l’écoulement visqueux, dont la contrainte est proportionnelle à la vitesse
𝑑𝜖
𝑡
de déformation 𝜎 = 𝜂 𝑑𝑡 𝑒𝑡 𝜖(𝑡) = 𝜂

Le modèle de saint-venant qui décrit les écoulements plastiques parfaits à seuil.
a-Modèles viscoélastiques.
i.Modèle de Kelvin-Voigt.
Ce modèle consiste en une mise en parallèle d’un ressort de Hooke et d’un piston de Newton (Figure 25). Dans
ce cas la contrainte globale du système est la somme des deux contraintes perçues par les deux éléments de base.
Cependant la déformation du système sera celle perçue par les deux éléments. Ce qui se traduit
mathématiquement par :
𝜖 = 𝜖𝐻 = 𝜖𝑁
(1)
𝑑𝜖
𝜎 = 𝜎𝐻 + 𝜎𝑁 = 𝐸𝜖 + 𝜂 𝑑𝑡
(2)
Cas du fluage : 𝝈 = 𝝈𝟎
(2) devient une équation linéaire du 1er ordre avec comme condition initiale 𝜖(0) = 0 dont la solution est :
𝝐(𝒕) =
𝝈𝟎
[𝟏 −
𝑬
𝒆
−
𝑬.𝒕
𝜼
]
(3)
𝑬
Le rapport 𝜼 = 𝜽−𝟏 , avec θ temps de retardation.
Cas de la relaxation : ε=ε0
L’imposition d’une déformation instantanée suppose une vitesse de déformation infinie qui engendrera un
contrainte visqueuse infinie ce qui est incompatible avec la réalité de l’essai de relaxation. Donc le modèle de Kelvin
ne peut pas modéliser la relaxation.
ii.Modèle de Maxwell.
Ce modèle est composé d’un ressort et d’un piston disposés en série (Figure 25). Dans ce cas, la contrainte
appliquée au système est reproduite au niveau des différents éléments et la déformation globale sera la somme
des déformations propres aux éléments du modèle.
𝑡𝜎
𝜎
𝜖 = 𝜖𝐻 + 𝜖𝑁 = 𝐸 + ∫0 𝜂 𝑑𝑡
𝜎̇
𝐸
𝜖̇ = 𝜖̇𝐻 + 𝜖̇𝑁 = +
(4)
𝜎
𝜂
(5)
𝑑𝜖
𝜎 = 𝜎𝐻 = 𝜎𝑁 = 𝐸𝜖 = 𝜂 𝑑𝑡
(6)
Cas du fluage : 𝝈 = 𝝈𝟎
(4) 𝝐(𝒕) =
𝝈𝟎
𝑬
+
𝝈𝟎
𝒕
𝜼
𝟏
𝒕
= 𝝈𝟎 [𝑬 + 𝜼]
(7)
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Cas de la relaxation : ε=ε0  dε/dt=0
(5) 
𝜎̇
𝐸
𝜎
𝜂
+ = 0 avec comme condition initiale σ(0)=Eε0 nous aurons 𝝈(𝒕) = 𝑬𝝐𝟎 𝒆
Le rapport
𝑬
𝜼
𝑬
𝜼
(− 𝒕)
(8)
= 𝝉−𝟏, « τ » représente le temps de relaxation
Modèle rhéologique de Hooke
Modèle rhéologique de Maxwell
Modèle rhéologique de Newton
Modèle rhéologique de Saint-Venant
Modèle rhéologique de Kelvin-Voigt
Réponse du modèle de Maxwell à la relaxation
Figure 25: modèles rhéologiques de base et modèles viscoélastiques de Kelvin-Voigt et de Maxwell.
VII.
Polymérisation.
La polymérisation représente l’opération de synthèse du polymère. C’est dans cette phase que se réalise
l’association des monomères en polymères.
Il existe deux familles de réaction de polymérisation qui sont la polymérisation par étapes et la polymérisation
en chaine.
1)Polymérisation par étapes.
Les polymères sont formés par réactions successives entre 2 fonctions chimiques (X, Y,...) portées par des
molécules comportant au moins 2 fonctions chimiques. Les réactions se produisent par simple chauffage ou en
présence d’un catalyseur, elles s’arrêtent quand on refroidit le milieu actif ou lorsque l’un des réactifs initiaux est
entièrement consommé.
Il existe 2 types de polymérisations par étapes :
a-Polymérisation par condensation ou polycondensation :
Selon le type de monomères utilisé la polycondensation peut être classée en deux catégories. La première fait
intervenir deux monomères bifonctionnels différents ou chaque monomère ne contient qu’un seul type de groupe
fonction : X-M-X + Y-N-Y  X-(M-N)-Y + XY
La deuxième catégorie fait intervenir un monomère unique contenant les deux types de groupes fonctionnels :
X-M-Y + X-M-Y  X-(M-M)-Y + XY
La synthèse du polyamide permet d’illustrer ces deux catégories.
Ainsi nous pouvons préparer le polyamide à partir de la réaction de diacides et diamines comme illustré cidessous (pour plus de détails voir Figure 26) :
Page 23/38
H2N-R-NH2+ HOOC-R’-COOH  H-(-NH-R-NHCO-R’-)-OH +H2O
Figure 26 : polycondensation du PA 6-6
Où à partir de la réaction d’aminoacides sur eux-mêmes :
H2N-R-COOH + H2N-R-COOH  H-(-NH-R–CO-)-OH + H2O
b-Polymérisation par addition ou polyaddition :
Ce type de polymérisation par étapes diffère du précédent par le fait que la réaction ne produit pas de tiers
constituant
X-M-Y + X-M-Y  X-(M-XY-M)-Y ou X-M-X + Y-N-Y  X-(M-XY-N)-Y
Synthèse du polyuréthane (Figure 27) :
OCN-R-NCO + HO-R’-OH  OCNH-R-NHCOO-R’-OH
Figure 27 : polyaddition du polyuréthane
2)Polymérisation en chaîne.
La polymérisation en chaîne est amorcé par une espèce réactive R* produite à partir d’un initiateur « I » (appelé
aussi amorceur) :
I  nR* (n = 1 ou 2) puis R*+M  R-M*
L’espèce réactive, qui peut être un radical libre, un cation ou un anion, se fixe sur une molécule monomère par
ouverture de liaison, pour former un nouveau radical, cation ou anion, suivant le cas. Ce processus se répète te
permet l’addition successive de nombreuses molécules monomères sur le centre actif, ce qui constitue la
propagation ou croissance de la chaîne : R-(M)n-M* + M  R-(M)n+1-M*
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A un moment donné la croissance du polymère se termine par la destruction du centre actif selon une réaction
spécifique qui dépend de la nature de ce centre et des conditions de la réaction.
Donc la réaction en chaîne se fait en 3 étapes qui sont :



L’initiation (ou l’amorçage) :
La croissance (ou propagation)
La terminaison.
a-Polymérisation radicalaire.
La Figure 28 illustre le principe de la polymérisation radicalaire.
I  nR*  R*+MRM*  RM*+M  RMM*  …  R-(M)n-1-M* + M  R-(M)n-M*  R-(M)n-M* + *M-(M)m-R
① Initiation :
- Création du radical libre
- Addition du radicale sur
un monomère
(a)
② Propagation :
Additions successives de monomères à la
chaine en croissance
Par combinaison
③ Terminaison :
- Par combinaison (a)
- Par dismutation d’un atome d’hydrogène (b)
(b) Par dismutation
Figure 28: étapes de la polymérisation radicalaire
i.Exemple de polymérisation radicalaire polymères vinyliques
Amorçage
Création du radical libre :
- Par scission de la liaison O-O (a)
- Par oxydoréduction (b)
Addition au monomère (c)
(a)
(b)
Propagation
Addition des monomères à la
chaîne en croissance. (d)
(c)
Terminaison
- Par combinaison (e)
ou
- Par dismutation (f)
(d)
………
(e)
(f)
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b-Polymérisation ionique.
Le centre actif est constitué par un ion et non plus un radical libre. Il existe 2 types de réactions de polymérisation
ionique :
- polymérisation cationique : le carbone du centre actif de la chaîne en croissance porte une charge positive
- polymérisation anionique : polymérisation cationique : le carbone du centre actif de la chaîne en croissance
porte une charge négative.
i.Exemple de polymérisation ionique cas du polystyrène.
Initiation
Propagation
Terminaison
Page 26/38
Chapitre 2: INTRODUCTION AUX MATÉRIAUX COMPOSITES
Page 27 sur 38
Introduction.
Les matériaux composites présentent l’avantage majeur de pouvoir allier différentes propriétés parfois
opposées comme la haute résistance et la ténacité voire d’autres combinaisons. Cette possibilité permet au
concepteur de modeler le matériau selon le besoin. Dans cette partie, nous présentons les différents aspects des
matériaux composites ainsi que le calcul d’homogénéisation de caractéristiques thermomécanique.
I.
Définition.
Un matériau composite est un matériau composé de deux ou plusieurs phases distinctes. En générale c’est une
ou plusieurs phases discontinues réparties (renforts) dans une phase continue (matrice).
Si le matériau contient plusieurs phases discontinues on parlera de composite hybride.
À quelques exceptions près, les phases discontinues sont généralement plus résistantes que la phase continue.
Les propriétés des composites résultent :



Des propriétés des constituants
De leurs distributions
De leurs interactions
Pour mieux décrire un composite il serait nécessaire de spécifier :



La nature des constituants et leurs propriétés
La géométrie du renfort et sa distribution
La nature de l’interface matrice renfort
Le renfort  forme et dimensions, orientation et proportion (% massique ou % volumique)
Classification des composites selon la forme des renforts :


Composite à fibres
Composite à particules
Classification suivant la nature des constituants :








 Composites à matrice organique avec :
Renfort minéral : verre, carbone, …
Renfort organique : kevlar, PA, …
Renfort métallique : bore, aluminium
 Composite à matrice métallique avec :
Renfort minéral : carbone, carbure silicium, …
Renfort métallique : bore
Renfort métallo-minérale : fibres de bore revêtues de carbure de silicium
 Composite à matrice minérale :
Renfort métallique : bore (fibre), cermet (particules)
Renfort minérale : carbure, nitrure (particules)
 Les composites à matrices organiques ≤ 200 - 300 °C
 Les composites à matrices métalliques ≤ 600 °C
 Les composites à matrices céramiques ≤ 1000 °C
Page 28 sur 38
II.
Aspects liés au renfort et interaction matrice-renfort.
La forme, la distribution, l’orientation et la proportion du renfort (Figure 29) jouent un rôle important sur les
propriétés du composite. De même, l’interaction entre la matrice et le renfort affecte ces propriétés. En effet, si la
liaison entre le renfort et la matrice est forte nous auront une transmission maximale des sollicitations aux renforts
qui représente la phase résistante et rigide du composite.
Figure 29 illustre une classification des composites par forme du renfort.
Figure 29 : aspects liés au renfort
L’interaction entre le renfort et la matrice dépend de la nature des deux éléments (réactivité) et des dimensions
du renfort. De la réactivité résultera l’interface qui est une phase intermédiaire entre la matrice et le renfort. Selon
les caractéristiques de cette phase le pontage entre matrice et renfort sera fort ou faible.
Selon la taille du renfort aussi, apparaissent deux mécanismes de renforcement qui sont la consolidation et le
durcissement :
Consolidation : obtenue pour de grandes tailles de renfort dont l’effet et de limiter la déformation au voisinage
du renfort. Dans ce cas l’interaction est d’ordre macroscopique, (Figure 30 (a)).
Durcissement : ce mécanisme est associé aux renforts de taille microscopiques, en effet ils joueront le rôle de
précipités qui empêcheront la progression des dislocations dans les cas des matrices cristallines ou d’obstacles aux
glissements moléculaires. Dans ce cas l’interaction est dite microscopique (voire atomique), (Figure 30 (b)).
Porosité
Graphite
(a)
Cermet : composite Cobalt renforcé par du
carbure de Tungstène (grossissement ×100)
(b)
Caoutchouc renforcé par du noir de carbone,
les bulles claires sont des porosités
(grossissement ×80000)
Figure 30 : exemples de composites à particule (a) et à dispersion (b)
Page 29/38
1)Composites à renforts fibreux.
Technologiquement c’est la forme la plus exploitée dans l’industrie des composites. L’objectif d’une conception
de composites renforcé par fibre est de minimiser la masse tout en assurant la résistance et la rigidité requises.
Ceci nous pousse à parler de module ou de résistance spécifiques qui correspondent au rapport du module ou de
𝐸 𝑅𝑚
) ou
𝜌 𝜌
la résistance par la densité dans le cas des sollicitations en traction ( ,
par le carré de la densité dans le cas
des sollicitations en flexion.
La longueur de fibre est un paramètre fondamental dans l’efficacité du composite.
a-Effet de la taille de fibre.
Les caractéristiques d’un composites ne dépendent pas seulement des caractéristiques des fibres (renfort) mais
aussi du niveau de transfert des sollicitations aux renforts par la matrice. Cette importance est due à la qualité de
l’interface ou de la liaison fibre matrice.
Pour un chargement donné, aux extrémités de la fibre la matrice se déforme sans transfert car la surface de
contact reste très réduite au niveau des bases de la fibre (cylindre). Cependant le long de la fibre, grâce à l’interface,
la fibre commence à répondre à la sollicitation. En effet, l’interface transmettra l’effort le long de la périphérie de
la fibre (cylindre) par une sollicitation de cisaillement (au niveau de l’interface). La répartition des efforts le long de
la fibre présente une symétrie. Ainsi si nous considérons τc la plus faible des résistances au cisaillement de la matrice
ou de l’interface.
La surface qui subira le cisaillement est la périphérie du cylindre (𝑆 = 𝜋. 𝜙. 𝑙). La sollicitation est symétrique de
part et d’autre du cylindre. Donc nous pouvons considérer la demi-longueur de la fibre. La contrainte de
𝐹
cisaillement 𝜏 = 𝑆 avec 𝐹 = 𝜎. 𝑆𝑏 , 𝑆𝑏 = 𝜋.
Ainsi nous obtenons 𝜏 =
𝜙2
4
𝑙
𝜋.𝜙.
2
𝜎.𝜋.
= 𝜎.
𝜙
2𝑙
𝜙2
4
étant la surface de base du cylindre.
en ne considérant que la demi longueur. Pour que le comportement du
composite soit optimal il faudrait transmettre à la fibre sa résistance maximale sans atteindre la résistance au
cisaillement τc. À partir de ce raisonnement nous pouvons estimer une longueur critique de la fibre qui permettra
d’assurer la rupture de la fibre sans décohésion préalable au niveau de l’interface. Ainsi :
𝒍𝒄 = 𝝈𝒇 .
𝝓
𝟐𝝉𝒄
Si la longueur de la fibre est inférieure à lc nous obtenons une décohésion sans avoir atteint la résistance
maximale de la fibre. Si la longueur de la fibre est supérieure à lc alors la fibre cèdera sa décohésion ce permet
d’assurer un transfert optimale de l’effort entre la matrice et le renfort.
Technologiquement nous classons les fibres en deux catégories :


Fibres longues, l >15 lc
Fibres courtes 15 lc > l > lc.
Page 30/38
l : longueur de la fibre
Matrice
Axe de symétrie
Ø
σ
Zone de décohésion
Zone de pontage, de résistance au cisaillement τc
𝑙 = 𝑙𝑐
𝑙 > 𝑙𝑐
σ
Fibre
𝑙 < 𝑙𝑐
σf
𝑙𝑐
2
𝑙𝑐
2
𝑙
2
𝑙
2
Figure 31: effet de la longueur de fibre
III.
Fractions volumiques et massiques
L’essence même des matériaux composite vient du fait qu’ils s’agissent de mélanges de deux ou plusieurs
constituants. C’est ainsi qu’il devient nécessaire de préciser les proportions des différents constituants du matériau
composite. Il existe deux approches d’estimation des proportions qui sont les fractions volumiques et les fractions
massiques.
1)Fractions volumiques.
vc = vr + vm
𝑣
 𝑉%𝑟 = 𝑣𝑟
𝑐
 𝑉%𝑚 =
𝑣𝑚
𝑣𝑐
2)Fractions massiques.
mc = mr + mm
𝑚
 𝑀%𝑟 = 𝑚𝑟
𝑐
 𝑀%𝑚 =
𝑚𝑚
𝑚𝑐
3)Relations entre les masses volumiques en termes de :
De fractions volumiques :
𝑚𝑐 = 𝜌𝑐 . 𝑣𝑐
{ 𝑚𝑟 = 𝜌𝑟 . 𝑣𝑟
𝑚𝑚 = 𝜌𝑚 . 𝑣𝑚
𝑚𝑐 = 𝑚𝑟 + 𝑚𝑚 ⇔ 𝜌𝑐 . 𝑣𝑐 = 𝜌𝑟 . 𝑣𝑟 + 𝜌𝑚 . 𝑣𝑚
𝝆𝒄 = 𝝆𝒎 𝑽%𝒎 + 𝝆𝒓 𝑽%𝒓 = 𝝆𝒎 𝑽%𝒎 + 𝝆𝒓 (𝟏 − 𝑽%𝒎 )
De fractions massiques :
𝑣𝑐 = 𝑣𝑚 + 𝑣𝑟
𝒎𝒄 𝒎𝒎 𝒎𝒓
𝟏
=
+
⇒ 𝝆𝒄 =
𝑴
𝑴
𝝆𝒄
𝝆𝒎
𝝆𝒓
%𝒓
+ %𝒎
𝝆𝒓
𝝆𝒎
Page 31/38
𝒎
𝝆 𝒗
𝝆
D’où au final : 𝑴%𝒓 = 𝒎𝒓 = 𝝆𝒓𝒗𝒓 = 𝑽%𝒓 . 𝝆𝒓
𝒄
𝒄 𝒄
𝒄
Dans le cas où il y aurait plus que deux constituants, la relation deviendra :
𝒏
𝝆𝒄 = ∑ 𝝆𝒊 𝑽%𝒊
𝒊=𝟏
𝝆𝒄 =
𝟏
𝑴
∑𝒏𝒊=𝟏 %𝒊
𝝆𝒊
4)Présence des porosités :
Il arrive que la masse mesurée expérimentalement soit inférieure à la valeur théorique. Ceci est dû à la présence
de porosités qui n’est pas prise en compte. Ces porosités posent des problèmes quant à l’intégrité du composite vu
qu’elles augmentent la sensibilité à l’humidité et aux agents chimiques. Ainsi cette présence doit être inférieure à
1%, mais peut atteindre les 5% dans certains cas produits de basse qualité.
IV.
Homogénéisation des caractéristiques mécaniques des composites.
Le matériau étant constitué d’au moins deux phases nous pouvons approximer ses propriétés par la loi des
mélanges.
Estimation des propriétés de tractions.
Soient 𝑓𝑟 et 𝑓𝑚 les fractions volumiques respectives du renfort et de la matrice nous aurons (nous supposons
l’absence de porosités, sinon il faut tenir compte de leur fraction) :
𝒇𝒓 + 𝒇𝒎 = 𝟏
Il existe deux cas limites qui sont :
Sollicitation parallèle à l’axe des fibres (cas de fibres orientées) :
Dans ce cas nous aurons :
𝝐𝒄 = 𝝐 𝒓 = 𝝐𝒎 = 𝝐
𝝈𝒄 = 𝒇𝒓 𝝈𝒓 + 𝒇𝒎 𝝈𝒎 = 𝒇𝒓 𝝈𝒓 + (𝟏 − 𝒇𝒓 )𝝈𝒎
𝐸𝑐 𝜖 = 𝑓𝑟 𝐸𝑟 𝜖 + 𝑓𝑚 𝐸𝑚 𝜖 ⟹ 𝑬𝒄 = 𝒇𝒓 𝑬𝒓 + 𝒇𝒎 𝑬𝒎 = 𝒇𝒓 𝑬𝒓 + (𝟏 − 𝒇𝒓 )𝑬𝒎
Cette dernière expression exprime le mélange selon la règle de Voigt qui sera généralisée :
𝒏
𝒏
𝑷𝒄 = ∑ 𝒇𝒊 𝑷𝒊 , 𝒏: 𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒊𝒕𝒖𝒕𝒂𝒏𝒕𝒔 𝒆𝒕 ∑ 𝒇𝒊 = 𝟏
𝟏
𝟏
Sollicitation perpendiculaire à l’axe des fibres (fibres orientées) :
Dans ce cas nous aurons :
𝝐 𝒄 = 𝒇𝒓 𝝐 𝒓 + 𝒇𝒎 𝝐 𝒎 = 𝝐
𝝈
𝝈
𝝈
𝝈𝒄 = 𝝈𝒓 = 𝝈𝒎 = 𝝈 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝝐 =
, 𝝐𝒓 =
𝒆𝒕 𝝐𝒎 =
𝑬𝒄
𝑬𝒓
𝑬𝒎
𝝈
𝒇𝒓 𝝈 𝒇𝒎 𝝈
𝟏
𝒇𝒓 𝒇𝒎
𝟏
𝒇𝒓 𝟏 − 𝒇𝒓
=
+
⟹
=
+
=
=
+
𝑬𝒄
𝑬𝒓
𝑬𝒎
𝑬𝒄 𝑬𝒓 𝑬𝒎 𝑬𝒄 𝑬𝒓
𝑬𝒎
Cette dernière expression exprime le mélange selon la règle de Reuss qui sera généralisée :
𝒏
𝑷−𝟏
𝒄
=
𝒏
∑ 𝒇𝒊 𝑷−𝟏
𝒊 , 𝒏: 𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆
𝟏
𝒄𝒐𝒏𝒔𝒊𝒕𝒖𝒕𝒂𝒏𝒕𝒔 𝒆𝒕 ∑ 𝒇𝒊 = 𝟏
Page 32/38
𝟏
Remarque : les courbes de Voigt et de Reuss permettent de délimiter une propriété entre deux valeurs limites.
Figure 32 : superposition des limites de Voigt et Reuss
1)Discussion
Nous illustrons sur la Figure 33 les courbes de traction de la matrice, du renfort et du composite. Ainsi, en
considérant une sollicitation de traction sur le composite. Nous notons deux stades :
Le premier stade dans lequel matrice et renfort sont sollicités élastiquement dans ce domaine nous aurons à
appliquer la loi de mélange (Voigt ou Reuss) avec les modules d’élasticité longitudinaux.
Le deuxième stade apparait lorsque la résine commence à se plastifier (point εym) et se poursuit jusqu’au la
rupture de la fibre (point 𝜀𝑓∗ ). Dans ce domaine nous notons que le module d’élasticité du composite chute un peu
car le module de la matrice a diminué (nous considérons le module sécant). A la rupture de la fibre nous considérons
que le composite est endommagé et donc nous obtenons la résistance maximale du composite qui sera une
′
combinaison de 𝜎𝑓∗ et de 𝜎𝑚
(contrainte atteinte par la matrice au moment de la rupture de la fibre). Au-delà de ce
point la résistance du composite chutera pour se rapprocher de celle de la matrice puisque la fibre n’est plus en
mesure de supporter des charges et l’endommagement se trouvera accélérer.
Figure 33: courbes de tractions des renfort, matrice et composite
Page 33/38
2)Rapport de charge.
Ce rapport nous informe sur la réparation de la charge appliquée au composite entre le renfort et la matrice :
𝐹𝑓 (𝑓𝑜𝑟𝑐𝑒 𝑎𝑝𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢é𝑒 à 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑏𝑟𝑒)
𝐹𝑚 (𝑓𝑜𝑟𝑐𝑒 𝑎𝑝𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢é𝑒 à 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒)
𝐸𝑓 .𝑣𝑓
=𝐸
𝑚 .𝑣𝑚
, vf et vm étant les fractions volumiques respectives des fibres et de la
matrice dans le composite.
3)Résistance mécanique.

Dans le cas d’une sollicitation parallèle aux fibres (longues) nous avons :
′
𝜎𝑐 = 𝑣𝑓 . 𝜎𝑓 + (1 − 𝑣𝑓 ). 𝜎𝑚

Dans le cas d’une sollicitation parallèle aux fibres (coutres l >lc) nous avons :
𝑙𝑐
′
𝜎𝑐 = 𝑣𝑓 . 𝜎𝑓 (1 − ) + (1 − 𝑣𝑓 ). 𝜎𝑚
2𝑙
Dans le cas d’une sollicitation parallèle aux fibres (coutres lc > l) nous avons :
𝑙
′
𝜎𝑐 = 𝑣𝑓 . 𝜏𝑐 . + (1 − 𝑣𝑓 ). 𝜎𝑚
𝑑

′
Avec τc la plus faible des résistances au cisaillement de la matrice et de l’interface et 𝜎𝑚
la contrainte atteinte
dans la matrice au moment de la rupture de la fibre.
Remarque importante : tout le calcul entrepris considère le cas d’une matrice ductile qui se rompt après la fibre.
Cependant dans certains cas tels que pour les matrices céramiques c’est plutôt l’inverse avec une matrice qui peut
se rompre avant le renfort. Dans ce cas il faudra en tenir rigueur dans l’analyse en considérant la contrainte atteinte
dans le renfort (𝜎𝑓′ ) au moment de la rupture de la matrice.
𝜎𝑐 = 𝑣𝑓 . 𝜎𝑓′ + (1 − 𝑣𝑓 ). 𝜎𝑚
4)Notions de de fraction critique et fraction minimale.
La fraction critique représente la fraction de renfort donnant au composite au moins la résistance mécanique
de la matrice seule. Dans ce cas nous considérons que la fibre se rompe avant la matrice (σm étant la résistance
mécanique de la matrice et σ’m la contrainte atteinte dans la matrice à la rupture de la fibre). Considérons le cas de
fibre longue nous aurons ainsi :
′
𝜎𝑐 = 𝑣𝑓𝑐 . 𝜎𝑓 + (1 − 𝑣𝑓𝑐 ). 𝜎𝑚
= 𝜎𝑚
′
𝝈𝒎 − 𝝈𝒎
⇒ 𝒗𝒇𝒄 =
𝝈𝒇 − 𝝈′𝒎
La fraction minimale représente la fraction qui donnera au composite la résistance de la matrice endommagée,
à cause de la rupture des fibres. Donc le composite est supposé résister que par le biais de la fraction volumique de
la matrice. D’où :
′
𝜎𝑐 = 𝑣𝑓𝑚𝑖𝑛 . 𝜎𝑓 + (1 − 𝑣𝑓𝑚𝑖𝑛 ). 𝜎𝑚
= (1 − 𝑣𝑓𝑚𝑖𝑏 ). 𝜎𝑚
′
𝝈𝒎 − 𝝈𝒎
⇒ 𝒗𝒇𝒄 =
𝝈𝒇 − 𝝈′𝒎 + 𝝈𝒎
Page 34/38
Remarques importantes :


V.
Ce raisonnement peut être appliqué au cas d’une matrice qui se rompe avant le renfort tout en tenant
rigueur des modifications nécessaire sur les formules.
Aussi les développements mathématiques exprimés plus haut sont réalisés pour le cas de fibres
longues (continues) et dans la direction longitudinale. Il sera toute à fait possible d’aborder la même
démarche pour le cas transversal et les cas des fibres courtes.
Caractéristiques spécifiques :
La notion de module spécifique met en avant l’intérêt de l’exploitation des matériaux composites par rapport
aux matériaux classiques. En effet, au lieu de limiter notre vision au caractéristique de résistance exclusivement il
serait plus pratique de regarder les aspects de masse surtout quand ceux-ci deviennent critiques vis-à-vis de la
conception, cas de l’aéronautique par exemple.
En traction : l’objectif étant d’avoir une structure la plus légère et assurant la fonction mécanique de résistance
à la traction.
𝑚 = 𝜌𝑉, 𝑉 = 𝑆𝐿 𝑐𝑎𝑠 𝑑′ 𝑢𝑛𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑒
𝜎=
𝐹
𝐹
𝐿𝐹 𝜌
= 𝐸𝜖 ⟹ 𝑆 =
𝑒𝑡 𝑚 =
𝑆
𝐸𝜖
𝜖 𝐸
𝑬
Ce qui revient à dire que plus le rapport (𝝆: module spécifique) sera important plus la masse sera faible. Ceci
tout en garantissant la condition de résistance.
En flexion : de même pour la flexion avec comme objectif la réduction de la masse et par un calcul similaire nous
obtenons le module spécifique en flexion
Détail du calcul : 𝛿 =
𝐹𝐿3
𝐸.𝐼
𝑬
.
𝝆𝟐
δ étant la flèche obtenue sous l’effort F, pour une poutre encastrée de section carrée
𝑎4
et de côte « a ». I : moment quadratique dans ce cas 𝐼 = 12
𝑚 = 𝜌𝑉 = 𝑎2 𝐿. 𝜌
𝛿=
4 12𝐹𝐿3
𝐹𝐿3 12𝐹𝐿3
√
=
⟹
𝑎
=
𝐸. 𝐼
𝐸. 𝑎4
𝐸. 𝛿
12𝐹𝐿3
12𝐹𝐿5 𝜌
𝑚 = 𝜌. 𝐿√
=√
.
𝐸. 𝛿
𝛿
√𝐸
𝑬
Autrement dit pour que « m » soit minimale il faut le rapport (𝝆𝟐 : module spécifique en flexion) soit maximale.
VI.
Composites structuraux.
Les composites structuraux sont des composites conçu dans le but d’assurer à la fois de hautes performances
mécaniques tout en assurant un module élevé. Leur conception se base sur la géométrie du produit ainsi que les
modes de sollicitation. En effet l’orientation de la phase renforçante dépendra de la distribution des efforts au sein
du produit. Les formes les plus répandues de composites structuraux sont les stratifiés et les panneaux sandwich.
Page 35/38
1)Stratifiés
Le stratifié est un assemblage de plusieurs couches de pré-imprégnés, ces derniers sont des feuilles ou plaques
de composites préfabriqués et réticulé à un taux de 30% environ ou le renfort est souvent sous forme de fibre
longues orientées. Les plis de pré-imprégnés sont orientés de sorte à faire face aux sollicitations que rencontrera
le produit.
a-Désignation des stratifiés.
La désignation des structures stratifiées est délicate car il faut préciser les axes de référence.
Un stratifié est codifié de la façon suivante :





chaque couche est désignée par un nombre indiquant la valeur en degré de l’angle que fait la direction des
fibres avec l’axe de référence x. Sur les figures 1.4(a) et 1.4(b), les couches sont représentées décalées les
unes par rapport aux autres. La structure stratifiée est décrite de bas en haut ;
les couches sont nommées successivement entre crochet en allant de la face inférieure à la face supérieure.
Les couches successives sont séparées par le symbole « / »comme l’exemple de la Figure 34 (a) :
[−45/45/−45/−45/45/−45] ;
les couches successives d’un même matériau et de même orientation sont désignées par un indice
numérique, comme l’exemple de la Figure 34 (b) : [0/452/90/−452/0] ;
en cas de stratification hybride (différents matériaux dans un même stratifié), il faut préciser par un indice la
nature de la couche ;
en cas de structures symétriques, la moitié est codifiée et le symbole s indique la symétrie :
[−45/45/−45/−45/45/−45] devient [−45/45/−45]s et [0/45/45/90/−45/−45/0] devient [0/452/90/−452/0].
Z
(a) [-45/45/-45/-45/45/-45]
(b) [0/45/45/90/-45/-45/0]
Figure 34 : désignation des stratifiés
En annexe nous exposons un exemple de dimensionnement d’un stratifié.
2)Panneaux sandwich
Les structures composites subissant des sollicitations de type flexion ou torsion sont généralement construites
en matériaux sandwiches. Une structure sandwich est composée d’une âme et de deux peaux en matériaux
composites. L’assemblage est réalisé par collage à l’aide d’une résine compatible avec les matériaux en présence.
Les âmes les plus utilisées sont de type nid d’abeilles, âme ondulée ou mousse. Les peaux sont généralement
constituées de structures stratifiées. Une âme nid d’abeilles est présentée sur la Figure 35.
Ces structures ont une grande rigidité en flexion et torsion. L’âme de la structure sandwich résiste
principalement aux contraintes de cisaillement et de compression hors plan, les peaux inférieures et supérieures
supportent quant à elles les efforts dans leur plan.
Page 36/38
Description d’un panneau sandwich
Description du nid d’abeille
Figure 35: panneaux sandwich
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Annexe
Page 38 sur 38
Université de Versailles et Saint Quentin-en-Yvelines
Bâtiment Descartes – RC27
45, Avenue des Etats-Unis
78035 Versailles
Master 2 SPI – DSME
Responsable: Paolo VANNUCCI ([email protected])
Cours Matériaux Composites: Anisotropie et mécanique des stratifiés
A.U. 2005-06
Séquence complète de calcul d'un stratifié
Dans ce document on détaille les étapes nécessaires à mener à bien le calcul d'un stratifié, une
fois sa composition connue (matériaux des plis et séquence d'empilement) et lorsque le même
stratifié est soumis à un état de sollicitation mécanique et thermique connu. Un exemple
numérique est développé à la fin.
1. DONNEES DE DEPART
1.1 Matériaux composant le stratifié: ils sont orthotropes et d'habitude connus grâce aux
constantes de l'ingénieur dans l'es directions d'orthotropie de la couche, E1, E2, ν12 et G12, aux
caractéristiques de résistance de chaque pli Xc, Xt, Yc, Yt, S et éventuellement F12*, aux
coefficients de dilatation thermique et d'absorption d'eau dans les deux directions
d'orthotropie, α1, α1, β1 et β2, et à leur épaisseur hc. Une alternative est celle de donner
directement les composantes tensorielles du tenseur de la rigidité Q, Q11, Q12, Q22 et Q66; dans
ce cas, l'étape de calcul du tenseur Q à partir des constantes de l'ingénieur n'est évidemment
pas nécessaire.
1.2 Actions mécaniques: elles sont données en spécifiant, dans les axes du stratifié, le
tenseurs N et M des actions de membrane et de flexion: Nx, Ny, Nxy, Mx, My et Mxy.
1.3 Actions thermiques: elles sont données en spécifiant la variation de température t° par
rapport à un état sans contraintes (normalement celui de fabrication du stratifié) et la variation
de température ∆t entre la surface supérieure et l'inférieure du stratifié.
1.4 Actions hygroscopiques: elles sont données en spécifiant le pourcentage d'eau m°
absorbée par rapport à l'état de fabrication du stratifié et la variation ∆m de pourcentage d'eau
entre la surface supérieure et inférieure du stratifié.
2. CALCUL DES TENSEURS DES COUCHES
On détaille dans ce paragraphe la façon dont on calcule les tenseurs caractéristiques de chaque
couche, qui serviront ensuite au calcul des tenseurs caractéristiques du stratifié. Bien
évidemment, dans le cas, très fréquent, d'un stratifié composé de plis identiques, ce calcul ne
se fait qu'une seule fois, pour le pli de base.
2.1 Tenseurs Qk: pour chaque couche k, il faut calculer le tenseur de rigidité réduite dans les
axes d'orthotropie de la couche:
-1-
_____________________________________________________________________
P. Vannucci - Calcul d'un stratifié
Q11 =
Q12 =
Q22 =
E1
1 − ν 12ν 21
,
ν 21E1
,
1 − ν 12ν 21
E2
1 − ν 12ν 21
(1)
,
Q66 = G12 ,
avec
ν 21 = ν 12
E2
.
E1
(2)
2.2 Tenseurs γk=Qkαk: si le chargement thermique n'est pas nul, pour chaque couche k il faut
calculer le tenseur des rigidités thermique dans les axes d'orthotropie de la couche:
Q11 Q12 0  α1   Q11α1 + Q12α 2 
  

γ k = Q k α k = Q12 Q22 0  α 2  =  Q12α1 + Q22α 2 .

 0 0 Q66  0  
0

(3)
2.3 Tenseurs λk=Qkβk: si le chargement hygroscopique n'est pas nul, pour chaque couche k il
faut calculer le tenseur des rigidités hygroscopique dans les axes d'orthotropie de la couche:
Q11 Q12 0  β1   Q11β1 + Q12 β 2 
  

λ k = Q k β k = Q12 Q22 0  β 2  =  Q12 β1 + Q22 β 2 .

 0 0 Q66  0  
0

(4)
3. CALCUL DES TENSEURS DU STRATIFIE
On détaille dans ce paragraphe la façon dont on calcule les tenseurs qui décrivent le
comportement du stratifié:
 F  ∆m G 
U  ∆t  V 
 N   A B  ε o 
 .
  − t °  −   − m°  −
 =

G  h H 
V  h  W 
M   B D  χ 
(5)
3.1: Tenseurs A, B et D: ces tenseurs sont donnés par
n
A = ∑k =1Q k (δ k )( z k − z k −1 ),
1 n
Q k (δ k )( z k2 − z k2−1 ),
∑
k
=
1
2
1 n
D = ∑k =1Q k (δ k )( z k3 − z k3−1 );
3
B=
(6)
x3≡ z
ici, δk est l'angle dont l'axe x1 du pli k est
tourné par rapport à l'axe x du stratifié, comme
en figure. Il est impératif d'exprimer les
différents tenseurs Qk dans le même repère,
celui de la plaque, {x, y, z}.
x2
x
-2-
y
δk
x1
_____________________________________________________________________
P. Vannucci - Calcul d'un stratifié
Pour ce faire, on utilise les formules de changement de repère: si c= cos δk et s= sin δk, alors
Qxx   c 4
Q   3
 xs   sc
Qxy   s 2c 2
 = 2 2
Qss   s c
Qys   s 3c
   4
Qyy   s
2s 2c 2
4 s 2c 2
s 3c − sc 3
c4 + s4
2( s 3c − sc 3 )
− 4s 2c 2
s4 

− s 3c   Q11 
s 2c 2  Q12 
  .
s 2c 2  Q66 
− sc 3  Q22 

c 4 
− 2s 2c 2 c 4 + s 4 − 2s 2c 2
sc3 − s 3c
2s 2c 2
2( sc 3 − s 3c)
4 s 2c 2
z
Si les plis sont identiques, les formules sont
plus simples; en numérotant les couches selon
le schéma de figure, on obtient
h/2
(7)
n
k
zk-1
zk
h/2
1
h n
A = ∑k =1Q(δ k ),
n
B=
1 h2 n
∑ bk Q(δ k ),
2 n 2 k =1
D=
1 h3 n
∑ d k Q(δ k ),
12 n3 k =1
(8)
avec
bk = 2k − n − 1,
d k = 12k (k − n − 1) + 4 + 3n(n + 2).
(9)
A remarquer que les coefficients bk sont antisymétriques par rapport au plan moyen et les dk
symétriques.
3.2 Tenseurs U, V et W: ces tenseurs décrivent le comportement thermo-élastique du
stratifié; en général,
n
U = ∑ k =1 γ k (δ k )( zk − zk −1 ),
(
(
)
)
1 n
γ k (δ k ) zk2 − zk2−1 ,
∑
k
=
1
2
1 n
W = ∑k =1 γ k (δ k ) zk3 − zk3−1 .
3
V=
(10)
La rotation de δk des tenseurs γk, qui sont des tenseurs du second ordre, se fait grâce aux
relations suivantes:
 γ xx  c 2

  2
 γ yy  =  s
 γ   sc
 xy  
Dans le cas de plis identiques, alors:
-3-
s2 
 γ 
c 2  11  .
γ 
− sc  22

(11)
_____________________________________________________________________
P. Vannucci - Calcul d'un stratifié
U=
h n
∑ γ k (δ k ),
n k =1
V=
1 h2 n
∑ bk γ k (δ k ),
2 n 2 k =1
(12)
1 h3 n
W=
∑ d k γ k (δ k ).
12 n3 k =1
3.3 Tenseurs F, G et H: ces tenseurs décrivent le comportement hygro-élastique du stratifié;
en général,
F = ∑ k =1 λ k (δ k )( zk − zk −1 ),
n
1 n
∑ λ k (δ k )(zk2 − zk2−1 ),
2 k =1
1 n
H = ∑ k =1 λ k (δ k )(zk3 − zk3−1 ).
3
G=
(13)
La rotation de δk des tenseurs λk, qui sont des tenseurs du second ordre, se fait grâce aux
relations suivantes:
 λ xx   c 2

  2
 λ yy  =  s
 λ  − sc
 xy  
s2 
 λ 
c 2  11  .
λ 
sc  22

(14)
Dans le cas de plis identiques, alors:
h n
∑ λ k (δ k ),
n k =1
F=
1 h2 n
G=
∑ bk λ k (δ k ),
2 n 2 k =1
H=
(15)
1 h3 n
∑ d k λ k (δ k ).
12 n3 k =1
4. INVERSION DE LA LOI DE COMPORTEMENT
Le calcul des contraintes dans chaque couche nécessite du calcul des déformations et pour
cela il est indispensable d'inverser la loi de comportement (5). Faisons cela par étapes.
4.1 Cas d'un chargement mécanique: dans ce cas la (5) se réduit à
 N   A B  ε o 
 =
  ;
M   B D  χ 
(16)
en général, l'inversion donne
−1
ε o   A B   N 
 =
  
 χ   B D M 
-4-
(17)
_____________________________________________________________________
P. Vannucci - Calcul d'un stratifié
et donc il faut inverser la matrice complète; cela est faisable et on peut écrire la formule
d'inversion d'une matrice 6×6 une fois pour toute. Le problème est que cette formule est très
longue et compliquée. Une autre façon d'aborder ce même problème est d'inverser un à un les
trois tenseurs qui apparaissent dans (17), A, B et D. On peut donc réécrire la (17) sous la
forme
ε o  a b   N 
  =  T  
 χ  b d  M 
(18)
avec
a = (A − BD −1B ) ,
−1
d = (D − BA −1B ) ,
−1
(19)
b = −aBD −1 = −(A − BD −1B ) BD−1.
−1
Le problème se simplifie considérablement au cas où le stratifié est découplé; dan ce cas
B=b=O et
ε o = aN,
χ = dM,
(20)
avec
a = A −1 ,
d = D−1.
(21)
On rappelle la formule d'inversion de A (pour D c'est analogue):
 A22 A66 − A262 A16 A26 − A12 A66 A12 A26 − A16 A22 
1

a =  A16 A26 − A12 A66 A11 A66 − A162 A12 A16 − A11 A26  ,
∆
 A12 A26 − A16 A22 A12 A16 − A11 A26 A11 A22 − A122 
(22)
∆ = A11 A22 A66 − A11 A262 − A122 A66+2 A12 A16 A26 − A162 A22 .
(23)
avec
4.2 Cas d'un chargement thermique et/ou hygroscopique: dans ce cas la (5) se réduit à
−1
ε o   A B   U  ∆t  V 
 F  ∆m G  
 t °  +   + m°  +
   .
 =


G  h H  
 χ   B D   V  h  W 
(24)
Encore une fois, en inversant les tenseurs un à un grâce aux (19) on trouve:
ε o 
 u  ∆t  v 2 
 f  ∆m g 2 
  = t °  +   + m°  +
 ,
 v1  h  w 
g1  h  h 
χ 
(25)
avec
u = aU + bV ,
v1 = b T U + dV ,
v 2 = aV + bW,
w = b T V + dW,
-5-
(26)
_____________________________________________________________________
P. Vannucci - Calcul d'un stratifié
et
f = aF + bG ,
g1 = b T F + dG ,
g 2 = aG + bH,
(27)
h = b TG + dH.
Si le stratifié est à plis identiques et B=O, alors on peut montrer que même V=v1=v2=O et
aussi que G=g1=g2=O et donc les (26) et (27) se simplifient pour donner
u = aU ,
w = dW ,
f = aF ,
(28)
h = dH.
4.3 Cas d'un chargement complet: dans ce cas il faut prendre en considération la (5) dans sa
totalité et on obtient:
−1
ε o   A B    N 
U  ∆t  V 
 F  ∆m G  
   + t °  +   + m°  +
 =
  


V  h  W 
G  h H  
 χ   B D  M 
(29)
et donc, en procédant comme dans les cas précédents,
ε o   a b   N 
 u  ∆t  v 2 
 f  ∆m g 2 
  =  T    + t °  +   + m°  +
 .
 v1  h  w 
g1  h  h 
 χ  b d  M 
(30)
De cette dernière équation on voit bien que la déformation totale, de membrane ou de flexion,
est due à la partie mécanique (conséquence de l'application des charges), à la partie thermique
et à la partie hygroscopique, comme si toutes agissaient séparément (superposition des effets
due à la loi de Hooke-Duhamel).
5. CALCUL DES CONTRAINTES DANS LES COUCHES
Les contraintes dans les couches on les calcule grâce à la loi de comportement; elles sont
fonction de la couche et de la position du point de calcul à l'intérieur de la couche même, la
contrainte et la déformation étant fonction de la position verticale z par rapport au plan
moyen.
5.1 Calcul des contraintes dans le repère du stratifié: pour calculer les contraintes dans le
repère du stratifié il suffit d'appliquer, pour une couche k, la loi contrainte déformation pour
une position z qui appartient à la couche; normalement, le calcul est fait en correspondance du
plan moyen de la couche, étant donné que pour des couches minces la contrainte ne varie pas
beaucoup dans l'épaisseur de la couche même. Donc on aura, pour la couche k,
σ′k ( z ) = [Q k (δ k )]ε′( z ) = [Q k (δ k )](ε o + z χ )
(31)
où Qk(δk) est le tenseur de rigidité de la couche k calculé dans le repère du stratifié, à l'aide de
la (7) et donc déjà connu. La coordonné z appartient à l'intervalle [zk-1, zk].
5.2 Calcul des contraintes dans le repère matériel de la couche: dans ce cas il faut d'abord
tourner le tenseur de la déformation ε pour le ramener au repère de la couche:
-6-
_____________________________________________________________________
P. Vannucci - Calcul d'un stratifié
ε( z ) = [T − T (δ k )]ε′( z ) = [T − T (δ k )](ε o + z χ )
(32)
s2
cs 
 c2


− cs  .
c2
T − T (δ k ) =  s 2
− 2cs 2cs c 2 − s 2 
(33)
avec
Ensuite, on aura tout simplement
σ k ( z ) = Q k ε( z ) ,
(34)
où Qk est le tenseur de rigidité du pli dans son repère matériel.
Une autre façon de faire, est celle de calculer d'abord le tenseur de la contrainte σ'(z) de la
couche k à la côte z dans le repère du stratifié, selon la (31); ensuite, on ramène la contrainte
au repère matériel de la couche grâce à la relation
σ ( z ) = [T(δ k )]σ′( z ) ,
(35)
2cs 
 c2 s2

2
2
− 2cs  .
T(δ k ) =  s
c
− cs cs c 2 − s 2 
(36)
avec
6. VERIFICATION DES COUCHES
La connaissance de la contrainte dans les couches permet de faire la vérification du matériau,
qui doit être faite couche par couche; cette vérification dépend du critère de résistance choisi.
6.1 Critère de la contrainte maximale: il s'agit de vérifier que, pour la couche k et pour
chaque valeur de z dans l'intervalle [zk-1, zk], les contraintes dans le repère matériel soient
bornées par les valeurs limites propres au matériau constituant le pli:
− X c ≤ σ1 ≤ X t ,
− Yc ≤ σ 2 ≤ Yt ,
(37)
σ 6 ≤ S.
Alternativement, si l'on connaît les contraintes dans le repère du stratifié, il faudra vérifier
que
− X c ≤ c 2σ x + s 2σ y + 2csσ s ≤ X t ,
− Yc ≤ s 2σ x + c 2σ y − 2csσ s ≤ Yt ,
(38)
− csσ x + csσ y + (c 2 − s 2 )σ s ≤ S .
6.2 Critère de la déformation maximale: il s'agit de vérifier que, pour la couche k et pour
chaque valeur de z dans l'intervalle [zk-1, zk], les déformations dans le repère matériel soient
bornées par les valeurs limites propres au matériau constituant le pli:
-7-
_____________________________________________________________________
P. Vannucci - Calcul d'un stratifié
− X cε ≤ ε1 ≤ X tε ,
− Ycε ≤ ε 2 ≤ Yt ε ,
(39)
ε6 ≤ Sε .
Alternativement, si l'on connaît les déformations dans le repère du stratifié, il faudra
vérifier que (attention, la transformation est différente par rapport à celle des contraintes)
− X cε ≤ c 2ε x + s 2ε y + csε s ≤ X tε ,
− Ycε ≤ s 2ε x + c 2ε y − csε s ≤ Yt ε ,
(40)
− 2csε x + 2csε y + (c 2 − s 2 )ε s ≤ S ε .
6.3 Critère de Tsai-Hill: il s'agit de vérifier que, pour la couche k et pour chaque valeur de z
dans l'intervalle [zk-1, zk], les contraintes dans le repère matériel satisfont la limitation:
2
2
2
 σ 1   σ 2  σ 1σ 2  σ 6 
  +   − 2 +   ≤ 1.
X
 S 
X Y 
(41)
Dans la (41), les valeurs de X et Y sont celles de compression ou de traction; à défaut
d'indications plus précises, on choisira, de façon conservative, la valeur qui rend le premier
membre le plus grand.
Alternativement, si l'on connaît les contraintes dans le repère du stratifié, il faudra vérifier
que
2
(c σ
2
2
 c 2σ x + s 2σ y + 2csσ s   s 2σ x + c 2σ y − 2csσ s 

 + 
 −
X
Y

 

+ s 2σ y + 2csσ s )(s 2σ x + c 2σ y − 2csσ s )  − csσ x + csσ y + (c 2 − s 2 )σ s 
 ≤ 1.
+ 
X2
S


2
x
(42)
6.4 Critère de Hoffmann: il s'agit de vérifier que, pour la couche k et pour chaque valeur de z
dans l'intervalle [zk-1, zk], les contraintes dans le repère matériel satisfont la limitation:
σ 12
Xt Xc
+
σ 22
YtYc
−
σ 1σ 2
Xt Xc
+
Xc − Xt
Y −Y
σ2
σ 1 + c t σ 2 + 62 ≤ 1.
Xc Xt
YcYt
S
(43)
Comme pur les critères précédents, on peut faire le calcul directement dans le repère du
stratifié.
6.5 Critère de Tsai-Wu: il s'agit de vérifier que, pour la couche k et pour chaque valeur de z
dans l'intervalle [zk-1, zk], les contraintes dans le repère matériel satisfont la limitation:
σ 12
Xt Xc
+
σ 22
YtYc
+ 2 F12*
σ 1σ 2
Xt Xc
+
Xc − Xt
Y −Y
σ2
σ 1 + c t σ 2 + 62 ≤ 1.
Xc Xt
YcYt
S
(44)
Comme pur les critères précédents, on peut faire le calcul directement dans le repère du
stratifié. A remarquer que si, comme c'est le cas souvent,
F12* = −
1
2
les critères de Hoffmann et de Tsai-Wu coïncident.
-8-
(45)
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P. Vannucci - Calcul d'un stratifié
7. CALCUL DES CARACTERISTIQUES EQUIVALENTES DU STRATIFIE
7.1 Constantes de l'ingénieur: les constantes de l'ingénieur en membrane et en flexion se
calculent facilement à partir des tenseurs de souplesse normalisé:
a* = h a,
d* =
(46)
h3
d.
12
Donc, une fois calculés a* et d*, on a (indice m pour les caractéristiques de membrane, f
pour celles de flexion):
Exm =
1
,
a*xx
Exf =
1
,
d xx*
E ym =
1
,
a*yy
E yf =
1
,
*
d yy
Gxym =
1
,
ass*
Gxyf =
1
,
d ss*
ν =−
a*xy
d xy*
(47)
,
ν =−
η xym , x =
a*xs
,
a*xx
η xyf , x =
d xs*
,
d xx*
η xym , y =
a*ys
,
a*yy
η xyf , y =
d ys*
.
d *yy
m
xy
a*xx
f
xy
d xx*
,
7.2 Caractéristiques thermo-hygroscopiques: les coefficients de dilatation et de courbure
thermo-hygroscopiques sont simplement les composantes des tenseurs u,w,f et h:
α xm = u x ,
α ym = u y ,
α xf = wx ,
α yf = wy ,
α xym =
us
,
2
β xm = f x ,
α xyf =
β ym = f y ,
β yf = hy ,
β xym =
ws
,
2
β xf = hx ,
fs
,
2
β xyf =
(48)
hs
.
2
8. EXEMPLE NUMERIQUE
Stratifié avec 5 couches identiques, séquence [α/−α/0/−α/α], avec α=30°. Le matériau est du
carbon-époxyde T300-5208; les valeurs caractéristiques sont:
hc=0.125 mm
E1= 181000 MPa
E2=10300 MPa
G12=7170 MPa
-9-
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P. Vannucci - Calcul d'un stratifié
ν12=0.28
Xt=1400 MPa
Xc=900 MPa
Yt=35 MPa
Yc=110 MPa
S=70 MPa
F*12=−0.3
Le stratifié est chargé avec
 10 
MN


,
N =  0  × 10 − 4
m
 − 0 .5 


0
 
M = 3 × 10 − 6 MN .
0
 
En faisant les calculs comme indiqué on trouve:
h=0.625 mm
181811 2897 0 
Q =  2897 10346 0  MPa
 0
0 7170
109379 32463 54193
Q(α ) =  32463 23647 20053 MPa
 54193 20053 36736
 109379 32463 − 54193
Q(−α ) =  32463 23647 − 20053 MPa
− 54193 − 20053 36736
77.41 16.59 0 
MN
A = 16.59 13.12 0 
m
 0
0 19.26
B=O
2.24 0.65 0.63
D = 0.65 0.48 0.23 × 10- 6 MNm
0.63 0.23 0.74
- 10 -
_____________________________________________________________________
P. Vannucci - Calcul d'un stratifié
 0.18 − 0.22 0 
m
a = − 0.22 1.05 0  × 10−1
MN
 0
0 0.52
 0.84 − 0.95 − 0.42
1
d = − 0.95 3.54 − 0.31 × 106
MNm
− 0.42 − 0.31 1.81 
 0.11 − 0.14 0 
1
a* = − 0.14 0.65 0  × 10− 4
MPa
 0
0 0.32
 0.17 − 0.19 − 0.08
1
d* = − 0.19 0.72 − 0.06 × 10 − 4
MPa
 − 0.08 − 0.06 0.37 
E xm = 90279 MPa ,
Exf = 58148 MPa ,
E ym = 15296 MPa ,
E yf = 13887 MPa ,
Gxym = 30822 MPa ,
Gxyf = 27228 MPa ,
ν xym = 1.265,
ν xyf = 1.124,
η xym , x = 0,
η xyf , x = −0.5,
η xym , y = 0,
η xyf , y = −0.087.
Remarque: le stratifié est orthotrope en membrane mais pas en flexion.
 0.18 


ε =  − 0.22  × 10 − 4 ,
− 0.026


o
- 11 -
 − 2 .8 

1
χ =  10.6  .
 − 0 .9  m


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P. Vannucci - Calcul d'un stratifié
Tableau des contraintes
Tableau des facteurs de chargement
Remarque: pour les critères de la contrainte maximale et de la déformation maximale, le
facteur de chargement est le rapport entre la contrainte, ou la déformation, et sa valeur
admissible; la vérification est satisfaite si ce facteur est donc inférieur à 1. Dans les autres
critères, le premier membre des différentes expressions est directement le facteur de
chargement.
- 12 -
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P. Vannucci - Calcul d'un stratifié
E
G
Graphiques du module d'Young et de cisaillement en membrane (MPa)
E
G
Graphiques du module d'Young et de cisaillement en flexion (MPa)
Versailles, 23/10/2005
P. Vannucci
- 13 -