Transcript Pertemuan 3 - Teorema Binomial dan Multinomial

PERTEMUAN 3
TEOREMA BINOMIAL DAN
MULTINOMIAL
Efri Diah Utami, M. Stat
Sekolah Tinggi Ilmu Statistik
Pengantar Matematika
Segitiga Pascal dan Kombinasi
Sebetulnya,
dapat ditemukan dari perkalian secara langsung. Dengan mudah,
kita bisa mengekspansikan
pangkatnya cukup kecil.
,
, dan selanjutnya seperti di bawah karena
=
=
=
=
=
=
Perhatikan pola dari suku-suku
. Pasti selalu dimulai dari suku
. (Ini
sebetulnya merupakan perjanjian saja). Lalu, suku berikutnya, pangkat dari a akan
berkurang 1, namun pangkat dari b akan naik sebesar 1. Jadi, dapat dideskripsikan
sebagai berikut.
= .
+ .
+ .
+ ... + .
+
.
.
Lalu, untuk menentukan koefisien (c) tiap suku kita dapat menggunakan
segitiga Pascal.
_____________________1
__________________1______1_____________==> koefisien untuk
_______________1_____2______1__________==> koefisien untuk
_____________1____3_____3______1_______==> koefisien untuk
___________1___4_____6______4____1_____==> koefisien untuk
_________1___5____10____10_____5____1___==> koefisien untuk
______1____6___15____20_____15____6___1_ ==> koefisien untuk
Namun, cara di atas hanya dipakai untuk pangkat yang kecil (sedikit).
Sulit untuk menjabarkan segitiga Pascal untuk baris yang sangat banyak
(untuk pangkat yang besar). Jadi, kita gunakan kombinasi.
Cara untuk mengekspansikan
yang disebut teorema binomial.
dengan kombinasi inilah
Hubungan kombinasi dengan teorema binomial
Perhatikan ilustrasi berikut.
Dalam aljabar, kita tahu bahwa
=
Penjabaran dari
=
.
merupakan perkalian dari 3 faktor.
Lalu, kita pilih bagian yang ingin kita kalikan dari ketiga faktor itu.
Misalnya, jika kita memilih a dari setiap faktor dan mengalikannya,
maka kita peroleh aaa. Jika kita memilih a dari faktor pertama,
a dari faktor kedua dan b dari faktor ketiga kemudian mengalikannya,
maka kita peroleh aab, dan seterusnya.
Sehingga semua kemungkinan pemilihan baik a maupun b
dari masing-masing faktor adalah
aaa; aab; aba; abb; baa; bab; bba; bbb
Jika dikalikan menjadi:
;
;
;
;
;
;
;
Jika semua suku-suku diatas dijumlahkan,
maka hasilnya adalah
Bilangan 3 yang merupakan koefisien dari
muncul dari pemilihan a dari 2 faktor dan
b dari 1 faktor sisanya. Hal ini bisa dilakukan
dalam
atau
cara. Cara yang sama bisa
dilakukan untuk memperoleh koefisien
yang
dalam hal ini merupakan pemilihan a dari
0 faktor dan b dari 3 faktor lainnya yang dapat
dilakukan dalam
atau
cara, dan seterusnya.
Melalui hubungan kombinasi dengan teorema binomial,
maka kita dapat merumuskan ulang rumus
teorema binomial sebagai berikut:
=
atau
=
Kedua rumus di atas identik, hanya beda penulisan simbol C saja.
TEOREMA BINOMIAL
Untuk sembarang x dan y dengan n bilangan bulat positif
 n  n1  n  n2 2
 n  n k k
 n n
( x  y)  x    x y    x y  ...    x y  ...    y
1
 2
k
 n
n(n  1) n2 2
n(n  1)(n  2)...(n  k  1) nk k
n
n 1
 x  nx y 
x y  ... 
x y  ...  y n
2!
k!
n n
  nk k
   x y
k 0  k 
n
n
Bentuk umum suku ke-(k+1) dari penjabaran ( x  y)n adalah
 n  nk k
n(n  1)(n  2)...(n  k  1) n  k k
x y
  x y atau
k!
k 
n n 2
n k
n n
n
(1  x)  1    x    x  ...    x  ...    x
 1  2
k 
 n
n(n  1) 2
n(n  1)(n  2)...(n  k  1) k
 1  nx 
x  ... 
x  ...  x n
2!
k!
n
n k
   x
k 0  k 
Bentuk umum suku ke-(k+1) dari penjabaran (1  x)n adalah
n k
n(n  1)(n  2)...(n  k  1) k
x
  x atau
k!
k 
n
n
n
 n
n
2
k
(1  x)  1    ( x)    ( x)  ...    ( x)  ...    ( x) n
1
 2
k
 n
n(n  1)
n(n  1)(n  2)...(n  k  1)
2
 1  n(  x ) 
( x)  ... 
( x) k  ...  ( x) n
2!
k!
n n
 
    ( x) k
k 0  k 
Bentuk umum suku ke-(k+1) dari penjabaran (1  x) adalah
n
n k
n(n  1)(n  2)...(n  k  1)
k
( x)
  ( x) atau
k!
k 
p
Untuk sembarang x dan y dengan bilangan pecahan positif
q
p p 
p  p  p 
 1 p
 1  2  p
p
p
p


p q 1 q  q  q 2 2 q  q  q  q 3 3
q
q
( x  y)  x  x y 
x y 
x y  ...
q
2!
3!
p
q
Bentuk umum suku ke-(k+1) dari penjabaran ( x  y ) adalah

p  p  p   p
 1  2  ...   k  1 p

q  q  q
 q
 x q k y k
k!
p p 
p  p  p 
 1
 1  2 
p


q  q  2 q  q  q
p
 x3  ...
q
(1  x)  1  x 
x 
q
2!
3!
p
q
Bentuk umum suku ke-(k+1) dari penjabaran (1  x) adalah

p  p  p   p
 1  2  ...   k  1

q  q  q   q
 xk
k!
Untuk sembarang x dan y dengan pangkat bilangan negative
(n)(n  1) n2 2 (n)(n  1)(n  2) n3 3
( x  y )  x  (  n) x y 
x y
x y  ...
2!
3!
n
n
 n 1
 Bentuk
umum suku ke-(k + 1) dari
penjabaran (x + y)n adalah
Beberapa bentuk penjabaran binomial yang harus diingat
(1  x)1  1  x  x 2  x3  ...  x k  ...
(1  x)2  1  2 x  3x 2  4 x3  ...  (k  1) x k  ...
(k  1)(k  2) k
3
2
3
(1  x)  1  3 x  6 x  10 x  ... 
x  ...
2!
TEOREMA MULTINOMIAL
n

 k1 k2 km
( x1  x2  ...  xm )   k ,k ,...,k 
x1 x2 ...xm

1 2
m k , k ,..., k
m
 1 2
n!
km
k1 k2
  k ,k ,...,k
x1 x2 ...xm
1 2
m
k1 !k2 !...km !
dengan k1  k2  ...  km  n
n
Untuk n bilangan bulat positif,
n
suku umum (a  b  c  ...) adalah
n!
  
a b c ...
 !  ! !...
Untuk n bilangan pecahan,
n
n
tulis (a  b  c  ...)  (a  (b  c  ...))
Suku umum dari penjabaran (a  (b  c  ...))n adalah
(n)(n  1)(n  2)...(n  k  1) n k
a (b  c  ...)k
k!
(n)(n  1)(n  2)...(n  k  1) nk  k !
   

a 
b c d ... 
k!
  ! ! !...

(n)(n  1)(n  2)...(n  k  1) nk   

a b c d ... dengan       ...  k
 ! ! !...
Penjabaran (a  bx  cx  ...) :
2
n
n bilangan bulat positif, suku umumnya adalah:
n!
n!


2 
a (bx) (cx ) ... 
a b  c ...x   2 ...
 !  ! !...
 !  ! !...
n bilangan pecahan, suku umumnya adalah:
(n)(n  1)(n  2)...(n  k  1) nk     2 ...

a b c ...x
 ! !...
Banyaknya suku dari ekspansi
adalah
Di rumus di atas, n adalah pangkat, sedangkan v adalah
jumlah variabel.