Transcript Esercizi_07 - Università Iuav di Venezia

Analisi Matematica e Geometria
Geometria nel Piano
Damiano Somenzi
Università IUAV di Venezia
Architettura Costruzione Conservazione
#7
1) Data la superficie di un cubo di lato pari a x, quanto rapida è la variazione
della superifice rispetto a x quando x = 2 cm? Qual è la variazione della
superificie quando x varia da x = 2 cm a x = 2.1 cm?
2) Data la funzione sul dominio D = [−π, π]
f (x) = sin2 (x) = sin(x) · sin(x)
(a) Calcolare f ′ (x);
(b) Dire in quali sottointervalli del dominio la funzione è crescente e
decrescente;
(c) Calcolare i limiti agli estremi del dominio;
(d) Disegnare il grafico di f (x) e identificare il codominio.
3) Data la funzione
f (x) = e2x − 4x
(a) Calcolare f ′ (x) e dire dove è positiva e negativa;
(b) Poniamo g(x) = f ′ (x). Disegnare il grafico di f (x) e g(x) sul medesimo sistema di assi cartesiani;
(c) Evidenziare sul grafico della funzione f (x) dove quest’ultima raggiunge il massimo oppure il minimo.
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4) Data la funzione
f (x) = ln(1 − x) − 3x
(a) Determinare il dominio D di f (x) e calcolare f ′ (x);
(b) Dire in quali sottointervalli la funzione è crescente e decrescente;
(c) Stabilire, giustificando la risposta, se la funzioni ha degli zeri, ovvero
se la funzione interseca l’asse x delle ascisse una o più volte. Provare
a dire quante volte esattamente.
5) Data la funzione
f (x) = 2 −
√
4 − x2
sul dominio D = [−1, 1], sottoinsieme del dominio suo dominio naturale,
dire se è possibile identificare certamente dei punti di massimo e di minimo.
Dire quali punti sono candidati ad essere massimi oppure minimi.
[suggerimento: Approfondire l’enunciato del seguente teorema (Weierstrass): supponiamo che f sia una funzione continua su un intervallo I = [a, b] chiuso e limitato.
Allora esiste un punto d ∈ [a, b] dove f ha un minimo e un punto c ∈ [a, b] dove f ha
un massimo, cosi che:
f (d) ≤ f (x) ≤ f (c)
Questo teorema ci dice che i punti estremi possono essere
• punti interni in I e f è differenziabile;
• punti terminali di I
• punti interni in I e f non è differenziabile;
]
6) Sia dato un rettangolo di area 25 cm2 . Quali dovrebbero essere le lunghezze
dei lati affiné il perimetro del rettangolo sia: (a) minimo, (b) massimo?
[suggerimento: Definire una funzione perimetro p(x), in una variabile, ed utilizzare i
risultati della derivazione di funzione. Per il punto (b) osservare quanto può essere la
lunghezza massima di un lato.]
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