Transcript Grafische interpretatie polen en nulpunten – Laplace

Grafische interpretatie polen en nulpunten –
Laplace – Fourier – Bode plot
Korte herhaling
Een transferfunctie kan in het Laplacedomein steeds worden geschreven in de vorm (een
voorbeeld):
H ( s) 
A.( s  z1 ).( s  z 2 )
( s  p1 ).(s  p 2 )
of algemener: H ( s ) 
A. ( s  zi )
( s  p j )
(1)
Teller en noemer zijn hier principieel geschreven als een product van een aantal termen.
In het Fourierdomein:
H ( j ) 
A( j  z1 ).( j  z 2 )
A. ( j  zi )
of algemener: H ( j ) 
( j  p j )
( j  p1 ).( j  p 2 )
(2)
Men kan H(j) schrijven als H(j)=Re() + jIm(), waarbij Re en Im respectievelijk het reële
en het imaginaire deel zijn van de transferfunctie H(j).
|H| is hier de notatie voor de lengte van de vector
(complex getal) die deze transferfunctie voorstelt. Dan
geldt:




Re()=|H|.cos()
Im()=|H|.sin()
 = bgtg(Im()/Re())
|H|2 = Re()2+Im()2 (regel van Pythagoras)
Een voorbeeld: stel:
H ( s) 
3.s
3. j
of H ( j ) 
( s  3)
( j  3)
Grafisch geeft dit:
3. j
3
H ( j ) 

j  3
32   2
En
H ( j)  3  j   j  3
Of
 
H ( j )  0  90  bgtg  
3
Een iets algemener voorbeeld: stel:
H ( s) 
K .( s  z1 )
K .( j  z1 )
of H ( j ) 
( j  p1 )
( s  p1 )
Dan is:
H ( j ) 
K . j  z i
j  pi

K  2  z i2
 2  pi2
En
H ( j)  K  ( j  zi )   j  pi 
Of
 

H ( j )  0  bgtg    bgtg 
 zi 
 pi



Eventueel kan H ( j ) worden uitgedrukt in dB : 20.log H ( j ) . Dit laat een eenvoudige
vergelijking toe met Bode plots.
1. Enkelvoudige pool
Een (aangepaste) transferfunctie voor één enkelvoudige pool is:
H ( s) 
pi
pi
of H ( j ) 
( s  pi )
( j  pi )
(3)
Een alternatieve schrijfwijze is:
H ( s) 
1
s
(1  )
pi
of H ( j ) 
1
j
(1 
)
pi
(4)
Dan is:
H ( j ) 
pi
pi

en H
j  pi
 2  pi2
En:

H ( j )  0  bgtg 
 pi

  

dB


pi

 20 log H ( j )  20 log
  2  p2 
i 

Samenvattend:

0
pi
>> pi
|H|dB
0
-3dB
-20dB/decade

0°
-45°
-90°
De laatste lijn is eenvoudig te begrijpen door een cijfervoorbeeld (bijvoorbeeld voor pi=3
kiezen voor =3000 en =30000) in te vullen.
Voor = pi is trouwens:
H
dB


pi
  20 log pi   20 log 2
 20 log H ( j )  20 log
 2p 

2
2 
i 

 pi  pi 
Dan is echter ook (berekening versterking en fasedraaiing):
H
dB
 20. log 10
1
2
 10. log 10 (
)


10
.
log
(
1

)
10
2
pi2
j
1 2
1
pi
pi
1
(5)
Immers:


|a+jb|=(a2+b2)0.5
(Pythagoras)
-0.5
20.log10(a )=20*(-0.5).log10(a)=-10.log10(a)
En:
1
H ( j ) 
j
pi
1
j
pi
1



2
j
j
j

(1 
) (1 
).(1 
) 1 2
pi
pi
pi
pi

pi
Im( H )

  bgtg (
)  bgtg ( N )  bgtg (
)
1
Re( H )
pi
N
De noemer N deelt immers weg. Samenvattend:

0
pi
>> pi
|H|dB
0
-3dB
-20dB/decade
Dit is net hetzelfde besluit als hierboven!

0°
-45°
-90°
j
pi
N
1
(6)
(7)
De waarden voor =0 zijn evident. Ze volgen rechtstreeks uit de formules (5) en (7). De
waarden voor de fasedraaiing  kan men ook snel berekenen uit uitdrukking (7).
De verzwakking voor  = pi is:
H3
dB
 10. log 10 (1 
2
)  10. log 10 (1 
2
pi
2
)  10. log 10 (1  1)  10. log 10 (2)  3dB
2
Voor  >> pi krijgt men (met verwaarlozing van de term 1 naast /pi) voor een frequentie
1:
H1
dB
 10. log 10 (1 
2
12
pi
pi2
)  10. log 10 (
2
(8)
)
Voor een frequentie 10. 1 wordt dit:
H2
dB
10012
12
100 2
 10. log 10 (1 
)  10. log 10 (
)  10. log 10 ( 2 )  10. log 10 (100)
pi2
pi2
pi
Maar:
H2
dB
 10. log 10 (
12
pi2
)  10. log 10 (100)  H 1
dB
 20
(9)
Uit uitdrukking (9) kan men afleiden dat de verzwakking op een frequente die 10 keer groter
is (we noemen dat een decade) -20dB is. We zeggen dan ook dat een pool aanleiding geeft
tot -20dB/decade in de magnitude plot.
Let op:   2. . f
2. Enkelvoudig nulpunt
De (aangepaste) transferfunctie is voor één enkelvoudig nulpunt:
H ( s) 
s  zi
j  z i
of H ( j ) 
zi
zi
(10)
Dit is hetzelfde als:
H (s)  1 
j
s
of H ( j )  1 
zi
zi
(11)
Dan is:
j  z i
H ( j ) 
zi
 2  z i2

zi
en H
dB
 2  z2
i
 20 log H ( j )  20 log

zi





En:
 
H ( j )  0  bgtg    
 zi 
Samenvattend:

0
zi
>> zi

0°
45°
90°
|H|dB
0
3dB
20dB/decade
De laatste lijn is eenvoudig te begrijpen door een cijfervoorbeeld (bijvoorbeeld voor p i=3
kiezen voor =3000 en =30000) in te vullen.
Voor = zi is trouwens:
H
dB
 2  z2
i
 20 log H ( j )  20 log

zi


  20 log 2 pi
 p

 i


  20 log 2


Dan is ook (berekening versterking en fasedraaiing):
H
dB
 20. log 10 1 
j
2
 10. log 10 (1  2 )
zi
zi
(12)
En:

  bgtg (
z
Im( H )

)  bgtg ( i )  bgtg ( )
Re( H )
1
zi
(13)
Samenvattend krijgt men:

0
zi
>> zi
|H|dB
0
3dB
20dB/decade
Dit is net hetzelfde besluit als hierboven!

0°
45°
90°
Want:
H3
dB
 10. log 10 (1 
2
z i2
)  10. log 10 (1 
2
)  10. log 10 (1  1)  10. log 10 (2)  3dB
2
Voor  >> zi krijgt men (met verwaarlozing van de term 1 naast /zi) voor een frequentie 1:
H1
dB
 10. log 10 (1 
2
z i2
)  10. log 10 (
12
z i2
(14)
)
Voor een frequentie 10. 1 wordt dit:
H2
dB
 10. log 10 (1 
10012
12
100 2
)

10
.
log
(
)

10
.
log
(
)  10. log 10 (100)
10
10
z i2
z i2
z i2
Maar:
H2
dB
 10. log 10 (
12
pi2
)  10. log 10 (100)  H 1
dB
 20
(15)
Uit uitdrukking (15) kan men afleiden dat de versterking op een frequente die 10 keer groter
is (we noemen dat een decade) +20dB is. We zeggen dan ook dat een nulpunt aanleiding
geeft tot +20dB/decade in de magnitude plot.