Transcript opgaven selectie II

Numerieke Methoden I (2014/2015)
Selectie van opgaven (boek en oude tentamenopgaven).
Week 4 (24 september)
Opgaven Boek Editie 7
Editie 6
Exercises
Exercises
Exercises
Exercises
Exercises
Exercises
Exercises
Exercises
Exercises
Exercises
3.1:
3.2:
3.3:
4.1:
4.2:
8, 13, 14, 18, 19
13, 15, 20, 32
3, 9, 10
1, 4, 7, 23
9, 10
3.1:
3.2:
3.3:
4.1:
4.2:
8, 13, 14, 18, 19
13, 15, 20, 32
3, 9, 10
1, 4, 7, 23
9, 10
Oude tentamenopgaven
Opgave 1
Gegeven is de functie
f (x) = x3 e−4x − 5x +
p
x2 + 1,
x∈
R.
Gevraagd wordt een nulpunt x (d.w.z. f (x) = 0) van f numeriek te vinden op het
interval [0, 1] door toepassing van de bisectiemethode.
(a). Bewijs eerst dat f een nulpunt heeft in [0, 1]. Welke stelling (uit de Analyse) gebruik
je daarbij?
(b). Geef het algoritme of een stappenplan van de bisectiemethode. Geef daarbij twee
stopcriteria om de iteratie te be¨eindigen.
(c). Laat en = |x − xn | de absolute fout van de n-de benadering. Is het waar dat
|e0 | ≥ |e1 | ≥ |e2 | ≥ · · · ? Licht je antwoord toe.
(d). Hoeveel iteraties zijn hoogstens nodig om te garanderen dat |x − xn | < 10−6 (leid
je antwoord af)?
1
Opgave 2
R
(a). Zij f : [a, b] →
een continue tweemaal differentieerbare functie. We zoeken een
∗
nulpunt x van f numeriek met de methode van Newton. Deze methode genereert
een rij benaderingen x0 , x1 , . . ..
(i). Geef de iteratieformule van de methode van Newton.
(ii). Geef een meetkundige interpretatie van de formule.
(iii). Noem twee stopcriteria om de iteratie te be¨eindigen (in een computerimplementatie van de methode).
(iv). Bespreek enige voor- en nadelen van deze methode.
(v). Bespreek een numerieke nulpuntmethode die verwant is met Newton’s methode maar die geen afgeleide nodig heeft.
(b). Beschouw de functie
f (x) = e−x − x2 − x,
x ∈ [0, 1].
(1)
(i). Bewijs dat f (x) een uniek nulpunt x∗ heeft in [0, 1].
(ii). Pas de Newton iteratie toe, beginnend met het punt x0 = 1. Beargumenteer
waarom de volgende iteratiepunten x1 , x2 , . . . voldoen aan
1 = x0 > x1 > x2 > · · · > x∗ .
Hint: laat analytisch zien dat f concaaf dalend is, en maak dan het argument
af.
(iii). Zij en = x∗ − xn de fout in de n-de benadering. Bewijs dat xn+1 − xn ≈ en .
Opgave 3
Gegeven is de functie

α2 log x
xα+1
f (x) =
0
x≥1
x < 1,
waarin α > 0 een vormparameter
is. Men kan aantonen dat f (x) een kansdichtheidsR
functie is, dwz, f (x) ≥ 0 en f (x)dx = 1. Parameter α kan geschat worden door de
maximum likelihood methode. Veronderstel n = 4 data xi , namelijk
i
xi
log xi
log log xi
1
4.48
1.50
0.41
2
9.03
2.20
0.79
2
3
16.44
2.80
1.03
4
33.12
3.50
1.25
Schrijf de likelihood functie als
L(α) =
4 Y
α2
i=1
log xi ,
xα+1
i
met bijbehorende log likelihood functie `(α) = log L(α).
(a). Leid af dat
`(α) = 8 log α − 10α − 6.52
(α > 0).
De meest waarschijnlijke α, genoteerd α∗ , is het maximum van `(α). Beschouw de
afgeleide:
8
g(α) = `0 (α) = − 10.
(2)
α
Het is snel te zien dat het nulpunt van deze functie α∗ = 0.8 is, en bovendien is eenvoudig
aan te tonen dat dit een maximum is voor `. Maar in deze opgave ga je α∗ (als nulpunt
van g(α)) numeriek benaderen via Newton’s methode. Noem α0 , α1 , . . . , αn , αn+1 , . . . de
achtereenvolgende benaderingen volgens de Newton’s methode (α0 heet de startwaarde).
(a). Geef de iteratieformule van de Newton’s methode: eerst in algemene termen, en
dan uitgewerkt voor de functie g in (2).
(b). Geef een geometrische interpretatie van de iteratieformule.
(c). Bespreek voordelen en nadelen van deze methode ten opzichte van andere gangbare
methoden (bisectie/secant/regula falsi).
(d). Bewijs de volgende eigenschappen:
(i). Er is een kritieke waarde C > α∗ (= 0.8) zodat als de startwaarde
α0 ≥ C, dan faalt Newton’s methode.
(ii). Als de startwaarde 0 < α0 < α∗ (= 0.8) dan convergeert de rij
{αn : n = 0, 1, . . .} monotoon stijgend naar α∗ , dwz
α0 < α1 < · · · < αn < αn+1 < · · · < α∗ .
In (i) moet je de C expliciet uitrekenen.
Hint: maak eerst een of meer plaatjes waarin je ziet wat er gebeurt, en welke
eigenschappen g(α) heeft; probeer dan de bijbehorende analytische argumenten te
vinden.
Opgave 4
Gegeven zijn 7 datapunten (xi , yi )7i=1 :
3
i
xi
yi
1
1
1
2
2
1
3
3
2
4
4
6
5
5
24
6
6
120
7
7
720
(a). Zij
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + a5 x5 + a6 x6
een 6-de graadspolynoom dat de punten (xi , yi )7i=1 interpoleert.
(i). De co¨effici¨enten a0 , . . . a6 kunnen bepaald worden door een stelsel lineaire
vergelijkingen op te lossen. In vectornotatie is dit stelsel Xa = z. Werk dit
stelsel uit (dwz geef de matrix X).
(ii). Beargumenteer dat er precies ´e´en polynoom van graad 6 bestaat die de genoemde data interpoleert.
(iii). Geef de Lagrangevorm van p(3.6). Noem enige voor- en/of nadelen tussen
deze Lagrangemethode en de methode van (i).
(b). Zij S(x) een cubic spline dat de punten (xi , yi )7i=1 verbindt.
(i). Geef de definitie van een cubic spline.
(ii). Beschrijf een algoritme om S(x) te bepalen.
(c). De punten (xi , yi )7i=1 voldoen aan yi = Γ(xi ) waarin de gammafunctie op (0, ∞)
gedefinieerd is door
Z ∞
Γ(x) =
tx−1 e−t dt (x > 0).
0
Zoals bekend is Γ(n) = (n − 1)! voor natuurlijke getallen n. De twee functies p(x)
en S(x) van (a) en (b) kunnen dus beschouwd worden als benaderingen van Γ(x) op
[1, 7]. Dat wil zeggen dat als je Γ(3.6) of Γ(6.4) wil berekenen, je daarvoor p(3.6) of
S(3.6) resp. p(6.4) of S(6.4)neemt. Voor deze twee gevallen, welke benadering zou
jij kiezen en waarom?
Opgave 5
Gegeven zijn de volgende data
i
xi
yi
0
1
3
1
3
−1
2
7
−57
3
9
−109
4
10
48
Zij
P (x) = p0 + p1 x + p2 x2 + p3 x3 + p4 x4
een 4-de graadspolynoom dat de punten (xi , yi )4i=0 interpoleert. En zij S(x) een kubische
spline dat de punten (xi , yi )4i=0 interpoleert.
4
(a). We construeren P (x) door middel van Newton’s divided differences (gedeelde differenties):
4
k−1
X
Y
P (x) =
bk
(x − xi ),
k=0
i=0
waarin de bk co¨effici¨enten volgen uit de tabel
xi
1
yi
3
3
−1
7
−57
9
−109
10
48
f [·, ·]
f [·, ·, ·]
f [·, ·, ·, ·]
f [·, ·, ·, ·, ·]
Maak de tabel af en vind hieruit de bk ’s. Ga na dat inderdaad P (xi ) = yi (doe dit
alleen voor x0 , x1 en x2 ).
(b). Bewijs dat de gevonden P (x) het unieke interpolerend polynoom van graad 4 is.
(c). Geef de definitie van een kubische spline, en beschrijf een algoritme om S(x) te
bepalen.
(d). Schets in een figuur hoe je zou verwachten dat de grafieken van P (x) en S(x) zijn.
Beargumenteer.
5