Transcript Il valore attuale
Attualizzazione
Il problema inverso alla capitalizzazione prende il nome di attualizzazione.
Abbiamo una operazione finanziaria elementare e, dato il montante M, dobbiamo determinare il corrispondente capitale iniziale C. L'attualizzazione è la operazione inversa della capitalizzazione; se indichiamo con f(t) il fattore di montante, abbiamo La quantità
C
=
f
1 (
t
)
M
1
v
(
t
) =
f
(
t
) prende il nome di fattore di attualizzazione corrispondente al fattore di montante f(t).
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Attualizzazione
I fattori di attualizzazione godono delle seguenti proprietà:
i
)
v
(
t
) è definita per
t
∈ [ 0 ,
T
) oppure per
t
∈ [ 0 , +∞ )
ii
)
v
( 0 ) = 1
iii
)
v
(
t
) è una funzione noncrescen te del tempo
t
.
Il fattore di attualizzazione v(t) esprime quindi il valore attuale (al tempo 0, cioè oggi) di 1 Euro disponibile al tempo t. E' quindi decrescente in t e sempre minore o uguale a 1. A ciascun regime di capitalizzazione associamo un corrispondente regime di capitalizzazione:
v
(
t
)
=
1 1
+
it
( regime dello sconto semplice o razionale)
v
(
t
)
=
( 1
+
i
)
−
t
=
e
− δ
t
( regime dello sconto composto)
v
(
t
)
=
1
−
dt
(regime dello sconto commercial e)
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Flussi finanziari
L'oggetto fondamentale di studio della matematica finanziaria tradizionale sono i flussi finanziari. Un flusso finanziario è un insieme di importi (in generale, di segno positivo oppure negativo) che vengono ricevuti (oppure pagati, se di segno negativo) in un insieme prefissato di istanti di tempo.
Matematicamente, un flusso finanziario è una coppia di vettori: il vettore degli importi
R
e il vettore delle scadenze
t
. Scriviamo
S
= {
R k
;
t k
,
k
= 0 , 1 , 2 ,...,
n
,...
} .
Un flusso finanziario in cui tutti gli importi sono positivi prende il nome di rendita finanziaria o semplicemente rendita.
La caratteristica fondamentale dei flussi che consideriamo in questo contesto è quella di essere certi; il termine R k prende il nome di rata k esima e il termine t k prende il nome di scadenza k-esima. Graficamente:
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Tipi di rendite
Alcuni tipi fondamentali di rendite: • a rata costante / a rata variabile; unitaria se R k =1.
• temporanee (cioè con un numero finito di rate) / perpetue (infinite rate) • periodiche (le rate sono equiintervallate) / non periodiche • anticipate / posticipate (il pagamento avviene all'inizio/fine del periodo di competenza) • immediate (le rate iniziano subito) /differite
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Esempi
Una rendita annua immediata anticipata di 3 rate: una rendita annua immediata posticipata di 3 rate: una rendita annua differita di 2 periodi, posticipata, di 3 rate:
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Il valore attuale
Introduciamo ora il fondamentale concetto di valore attuale di una rendita.
Il valore attuale di una rendita è la somma dei valori attuali dei singoli flussi, calcolati utilizzando un regime di attualizzazione prefissato, che usualmente è quello dello sconto composto. In formule, se abbiamo una rendita
S
= {
R k
;
t k
,
k
= 0 , 1 , 2 ,...,
n
,...
} il suo valore attuale è dato da
V
(
S
) =
n k
∑ = 0
R k v
(
t k
) dove n+1 rappresenta il numero di rate e v(t k ) il fattore di attualizzazione relativo alla scadenza t k . Osserviamo che nel caso di una rendita perpetua la sommatoria diventa una serie composta da infiniti addendi.
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Proprietà del valore attuale
Il valore attuale gode di due proprietà fondamentali: additività e omogeneità.
Consideriamo due rendite S 1 e S 2 . Definiamo innanzitutto la rendita "somma" S 1 +S 2 come la rendita che si ottiene sommando in ciascuna scadenza le rate delle rendite S 1 e S 2 . L'insieme delle scadenze della rendita S 1 +S 2 sarà ovviamente l'unione dell'insieme delle scadenze delle rendite S 1 e S 2 . La proprietà di additività dice che il valore attuale della somma di due rendite è la somma dei valori attuali delle due rendite; in simboli
V
(
S
1 +
S
2 ) =
V
(
S
1 ) +
V
(
S
2 ).
La dimostrazione di questa proprietà è ovvia:
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Proprietà del valore attuale
Si ha evidentemente
V
(
S
1 +
S
2 ) =
n
∑
k
= 0 (
R
1
k
+
R
2
k
)
v
(
t k
) =
n
∑
k
= 0
R
1
k v
(
t k
) +
n
∑
k
= 0
R
2
k v
(
t k
) =
V
(
S
1 ) +
V
(
S
2 ), dove R 1k indica la rata k-esima della prima rendita, mentre R 2k è la rata k esima della seconda rendita. Per calcolare il valore attuale di una rendita complicata posso quindi decomporla nella somma di rendite più semplici e poi sommare il loro valori attuali.
La proprietà di omogeneità dice invece che
V
( α
S
) =
n k
∑ = 0 ( α
R k
)
v
(
t k
) = α
n
∑
k
= 0
R k v
(
t k
) = α
V
(
S
) cioè se moltiplico tutte le rate per una costante, anche il valore attuale si moltiplica per la stessa costante. Il valore attuale è pertanto una funzione lineare.
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Valore di una rendita in un istante t
Finora abbiamo calcolato il valore di una rendita S nell'istante di tempo iniziale, per convenzione t=0. In modo del tutto analogo possiamo definire il concetto di valore attuale di una rendita in un istante t generico:
V
(
S
,
t
) =
n k
∑ = 0
R k v
(
t
,
t k
), dove il fattore di attualizzazione in due variabili v(t,t k ) rappresenta il valore al tempo t di 1 Euro disponibile al tempo t k . Se utilizziamo il regime di attualizzazione dello sconto composto, come conseguenza della proprietà di scindibilità che abbiamo visto la volta scorsa, il valore attuale al tempo t si ottiene capitalizzando il valore attuale al tempo 0:
V
(
S
,
t
) =
V
(
S
, 0 ) ⋅ ( 1 +
i
)
t
.
Negli altri regimi di attualizzazione questa proprietà non è verificata.
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Calcoli di valori attuali
Consideriamo ora diversi casi che ci conducono a formule molto importanti.
Iniziamo da una rendita annua immediata posticipata composta da n rate di importo unitario, nel regime dello sconto composto al tasso annuo i: Le crocette indicano le rate, il pallino l'istante di valutazione. Introduciamo innanzitutto la notazione
v
= 1 1 +
i
per il fattore di attualizzazione relativo ad un periodo.
Dato che il valore attuale è la somma dei valori attuali dei singoli flussi, abbiamo
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Calcoli di valori attuali
V
=
v
+
v
2 +
v
3 + ...
+
v n
=
n
∑
v n k
= 1 Ricordando che se
v
≠ 1 si ha 1 +
v
+
v
2 + ...
+
v n
− 1 = 1 −
v n
1 −
v
, otteniamo
V
=
v
+
v
2 +
v
3 + ...
+
v n
=
v
( 1 +
v
+
v
2 + ...
+
v n
− 1 ) =
v
1 1 − −
v v n
Dato che
v
1 = 1 +
i
, si ha
V
=
v
1 −
v n
1 −
v
= 1 1 +
i
1 −
v
⋅ 1 1 − 1 +
n i
= 1 −
v n
.
i
.
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Calcoli di valori attuali
La quantità (1-v n )/i è fondamentale nella matematica finanziaria e prende il nome di "a figurato n al tasso i". Si indica con:
a n
,
i
= 1 −
v n i
= 1 − ( 1 +
i
) −
n i
Se invece i=0 (cioè v=1), la formula precedente non è valida. Possiamo ragionare in due modi; dal punto di vista finanziario, una tasso di interesse pari a 0 corrisponde a un fattore di attualizzazione pari a 1 per qualsiasi scadenza; il valore attuale di qualsiasi rata coincide con il suo ammontare. Pertanto se i=0 il valore attuale è semplicemente la somma delle rate, nel caso di una rendita immediata posticipata di n rate unitarie è pari semplicemente a n. Dal punto di vista matematico possiamo confermare il risultato osservando che
i
) −
n
lim
i
→ 0
a n
,
i
= lim
i
→ 0 1 − ( 1 +
i
= lim
i
→ 0 − −
i ni
=
n
.
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Calcoli di valori attuali
Se la rata fosse pari a R invece che a 1,dalla proprietà di omogeneità avremmo evidentemente
V
=
Ra n
,
i
.
Consideriamo ora una rendita annua immediata anticipata composta da n rate di importo unitario, nel regime dello sconto composto al tasso annuo i: Possiamo ripetere il ragionamento di prima:
V
= 1 +
v
+
v
2 + ...
+
v n
− 1 = 1 −
v n
1 −
v
1 −
v n
= 1 − 1 1 +
i
= ( 1 +
i
) 1 −
v n i
= &
a
&
n
,
i
, che si legge "a anticipato figurato n al tasso i".
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Calcoli di valori attuali
Anche qui, se i=0 il valore attuale è pari a n e se la rata è R invece di 1 il valore attuale è pari a
V
=
R
& &
n
,
i
.
Confrontando la rendita posticipata con quella anticipata, possiamo osservare immediatamente che &
a
&
n
,
i
= ( 1 +
i
)
a n
,
i
(dalla proprietà di scindibili tà) &
a
&
n
,
i
= 1 +
a n
− 1 ,
i
(dalla proprietà di additività )
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Calcoli di valori attuali
Consideriamo ora una rendita annua immediata posticipata differita di p anni, composta da n rate di importo unitario, nel regime dello sconto composto al tasso annuo i: Si ha
V
=
v p
+ 1 +
v p
+ 2 + ...
+
v p
+
n
=
v p
(
v
+
v
2 + ...
+
v n
) =
v p a n
,
i
.
Finanziariamente, per questa rendita a n,p rappresenta il valore attuale nell'istante t=p; dalla proprietà di scindibilità, il valore attuale in t=0 si ottiene moltiplicando il valore attuale in t=p per v p .
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Calcoli di valori attuali
Consideriamo ora una rendita annua immediata posticipata composta da n+p rate. La posso vedere come somma di una rendita immediata posticipata composta da p rate e di una rendita posticipata di n rate differita di p periodi: E’ pertanto evidente dal punto di vista finanziario che deve valere
a n
+
p
,
i
=
a p
,
i
+
v p a n
,
i
.
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Calcoli di valori attuali
Consideriamo ora una rendita perpetua immediata posticipata composta da infinite rate annue unitarie, nel regime dello sconto composto al tasso annuo i: Si ha evidentemente
V
=
v
+
v
2 +
v
3 + ......
=
v
( 1 +
v
+
v
2 + ....) =
v
+∞ ∑
k
= 0
v k
= 1
v
1 −
v
= 1 1 +
i
⋅ 1 1 − 1 1 +
i
= 1 ,
i
dove abbiamo utilizzato la espressione della somma di una serie geometrica.
Osserviamo che v<1 se e solo se i>0; se i=0 la serie diverge; il valore attuale diverge a più infinito.
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Calcoli di valori attuali
Lo stesso risultato si ottiene facendo tendere n a infinito nella espressione del valore attuale della corrispondente rendita finita: lim
n
→ +∞
a n
,
i
= lim
n
→ +∞ 1 −
v n i
= 1 ,
i
se v<1. Se invece la rendita perpetua fosse anticipata: allora il valore attuale sarebbe dato da
V
= 1 +
i i
= 1 + 1 .
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Valore attuale in funzione del tasso
In tutti i casi finora incontrati, la funzione V(i) che esprime il valore attuale di una rendita in funzione del tasso di interesse gode delle seguenti proprietà: V è una funzione decrescente di i V(0) è pari alla somma delle rate (che è più infinito nel caso delle rendite perpetue lim
i
→ +∞
V
(
i
) =
R
0 , cioè quando i tassi diventano molto grandi il valore attuale tende alla rata percepita al tempo t=0 (che può anche essere nulla). Vedremo più avanti che la derivata prima della funzione V(i) è legata alla
duration
della rendita, mentre la derivata seconda alla sua
convessità
.
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Valore finale o montante di una rendita
Considerazioni del tutto analoghe a quelle finora svolte si applicano al valore finale o montante di una rendita. Iniziamo dal caso base di una rendita annua unitaria immediata posticipata, di cui calcoliamo il valore nell’istante finale t=n: poniamo u=1+i (fattore di capitalizzazione relativo a un periodo), ottenendo
M
=
u n
− 1 +
u n
− 2 + ...
+
u
2 +
u
+ 1 =
u u n
− − 1 1 =
u n i
− 1 =
s n
,
i
.
Equivalentemente, posso prima calcolare il valore attuale in t=0 e poi capitalizzarlo per n periodi, ottenendo l’identità
s n
,
i
=
a n
,
i
⋅
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Valore finale o montante di una rendita
Se la rendita fosse anticipata: avremmo semplicemente
M
= ( 1 +
i
)
s n
,
i
=
us n
,
i
= &
s
&
n
,
i
.
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