Transcript calcolo montante & valore attuale

DEFINIZIONI
• RENDITE
Insieme finito o infinito di pagamenti
• RATA
Ammontare monetario di ciascun pagamento
• MONTANTE DI UNA RENDITA
somma dei montanti delle singole rate, calcolati
nel regime di capitalizzazione prescelto
• VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA
somma dei valori attuali delle singole rate,
calcolati nel regime di attualizzazione prescelto
RENDITE IMMEDIATE
RENDITA TEMPORANEA POSTICIPATA
In questo caso il montante (M) coincide con l’ultima rata, mentre il valore attuale (Va) si trova un
M
periodo prima della prima rata.
Va
R
0
1
R
...........................
R
n
3
FORMULE
n
M = R . (1+i) - 1
i
-n
Va = R . 1-(1+i)
i
EX: Ricevo in prestito una certa somma oggi,
convenendo col creditore il pagamento di
900€ annui per 6 anni, a partire dall’anno
prossimo; a quanto ammonta il mio debito se
la valutazione viene fatta al tasso del 14%
annuo?
Va
0
R=900 € . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
................................
-6
Va = 900 . 1-(1+0,14) = 3499,80 €
0,14
R
6
RENDITA TEMPORANEA ANTICIPATA
In questo caso il montante (M) si trova un periodo dopo l’ultima rata, mentre il valore attuale (Va)
coincide con la prima rata.
R => Va
0
R
R
1
2
.................................
R
M
n-1
n
FORMULE
n
M = R . (1+i) -1 . (1+i)
i
-n
Va = R . 1-(1+i) . (1+i)
i
EX: Per il pagamento di un’imposta è concessa la
rateizzazione in 5 annualità, ciascuna di 671€
la prima delle quali pagabile oggi; a quanto
ammonta oggi il mio debito d’imposta
valutato al 6% annuo?
Va
R=671€
R
R
R
R
0
1
2
3
4
Va = 671 . 1-(1+0,06)
0,06
-5
5
. (1+0,06) = 2996,09 €
VALORE ATTUALE DI RENDITA PERPETUA
POSTICIPATA
Va = R
i
Va
R
0
1
...................
...................

VALORE ATTUALE DI RENDITA PERPETUA
ANTICIPATA
Va = R . (i + 1)
i
Va
R
R
...............
0
1
...............

RENDITE DIFFERITE
Nelle rendite differite la prima rata si trova dopo
m periodi dalla stipulazione del contratto.
 Per il calcolo del montante si utilizzano le
stesse formule delle rendite immediate
VALORE ATTUALE RENDITA DIFFERITA
POSTICIPATA
-n
Va = R . 1 – ( 1 + i ) . ( 1 + i )
i
Va
0
R
1 ....
.................
m m+1 . . . . . . . . . . . . . . .
-m
M
R
m+n
VALORE ATTUALE RENDITA DIFFERITA
ANTICIPATA
-n
-m
-n
-m+1
Va = R . 1 – ( 1 + i ) . ( 1 + i ) . ( 1 + i )
i
Ovvero:
Va = R . 1 – ( 1 + i ) . ( 1 + i )
i
Va
R
0
1 ...... m
.......
R
m+1 . . . . . m+n-1
M
m+n
RENDITE FRAZIONATE
Si dicono rendite frazionate le rendite in cui il
periodo è una frazione di anno. Si parla in tal
caso di rendite semestrali, trimestrali,
mensili,ecc..
Per quanto riguarda il calcolo del montante e del
valore attuale di rendite frazionate, si possono
utilizzare le stesse formule viste per rendite
annue prendendo, però, come unità di tempo
il periodo della rendita (semestre, trimestre,
mese,ecc.) e riferendo il tasso a tale periodo.
A seconda del tasso assegnato, si procede in uno
dei seguenti modi:
 se è dato il tasso periodale (es.: trimestrale), cioè
il tasso relativo al periodo della rendita, esso può
essere applicato direttamente facendo uso delle
formule della rendita annua;
 se è dato il tasso nominale annuo convertibile k
volte dell’anno occorre prima procedere alla
conversione del tasso, poi applicare le formule
della rendita annua;
 se è dato il tasso annuo occorre trovare il tasso
equivalente relativo al periodo della rendita
usando le apposite formule dei tassi equivalenti.
TASSI EQUIVALENTI
Due tassi si dicono equivalenti quando, applicati
allo stesso capitale per lo stesso periodo di
tempo producono lo stesso montante. Per cui
si ha la seguente uguaglianza:
k
1+i=(1+ik)
k
1) tasso frazionato ik = 1+i – 1
k
2) tasso annuo i = ( 1+i k ) - 1
EX: Una rendita è formata da 20 rate trimestrali
di 700 €. Calcolare il montante all’atto
dell’ultimo versamento, considerando:
a) Il tasso trimestrale del 3%;
b) Il tasso nominale annuo convertibile
trimestralmente dell’8%;
c) Il tasso annuo del 7%.
 Caso a)
20
M = 700 . 1,03 - 1
0,03
M=18.809,26 €
0
R=700
R
R
1t
2t
3t
...........................
M
R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20t
Caso b)
In questo caso dobbiamo utilizzare la formula:
Jk = k*i k
e ricavare i 4 = 8 = 2%
4
Per cui:
20
M = 700 . 1,02 – 1 = 17008,16€
0,02
 Caso c)
Poiché il tasso è annuo, bisogna calcolare il tasso
bimestrale equivalente utilizzando la formula:
k
i k = 1+i - 1
Nel nostro caso :
4
i = 1,07 – 1 = 0,0170585
4
20
M = 700 . 1,0170585 – 1 = 16518,82€
0,0170585
Realizzato da:
Andrea Dacchille