Transcript Proprietà dei metodi numerici in CFD

Metodi Numerici in
Termofluidodinamica
Computazionale
Enrico Nobile
Dipartimento di Ingegneria Navale, del Mare e per
l’Ambiente - DINMA, Sezione di Fisica Tecnica
Facoltà di Ingegneria, Università di Trieste
1
• Cos’è la CFD ?
• Limiti e potenzialità delle tecniche CFD
• Ingredienti della CFD
• Proprietà dei metodi numerici in CFD
• Approcci discreti
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• Cos’è la CFD ?
• Limiti e potenzialità delle tecniche CFD
• Ingredienti della CFD
• Proprietà dei metodi numerici in CFD
• Approcci discreti
3
Cos’è la CFD (Computational Fluid Dynamics) ?
– Con CFD intendiamo l’insieme delle tecniche, numeriche e non,
utilizzate per la soluzione (previsione) approssimata del moto dei
fluidi e dei fenomeni associati (scambio termico, combustione
etc.);
– Con le tecniche CFD, la soluzione delle equazioni differenziali (o
integro-differenziali) che governano i fenomeni, è approssimata
attraverso la discretizzazione del dominio (spaziale e temporale)
di interesse;
– Il problema da continuo diviene discreto;
– La CFD è profondamente legata all’esistenza ed utilizzo del
computer.
4
Cos’è la CFD ? - continua
– Qualcuno (Roache, 1976) distingue fra Computational Fluid
Dynamics (o, in modo equivalente, “Numerical Simulation of
Fluid Dynamics) dal termine più generale “Numerical Fluid
Dynamics”;
– Con “Numerical Fluid Dynamics” si intendono tutte le tecniche
numeriche applicate alla soluzione di problemi fluidodinamici
(Equazioni differenziali ordinarie, metodo delle caratteristiche
etc.).
5
• I campi applicativi della CFD sono numerosi, e riguardano qualunque
disciplina e/o problema in cui il moto dei fluidi rivesta un certo
interesse:
–
–
–
–
Ingegneria, Fisica
Medicina, Biologia
Meteorologia, Ambiente
……...
• Con il termine CFD, inoltre, si intendono le applicazioni tipiche in
•
ambito industriale, ma anche le attività di ricerca (di base, applicata e
pre-competitiva) indirizzate ai metodi e/o alle applicazioni;
Il campo di scale spaziali a cui può far fronte la CFD è vastissimo:
dalla micromeccanica all’astrofisica.
6
Esempio di applicazioni della CFD:
– Moto a potenziale (stazionario, 2D, PC);
– Comportamento termico di sotto-sistemi elettronici raffreddati
–
–
–
–
ad aria (3D, stazionario, PC, Wkst.);
Flusso viscoso turbolento attorno ad un autoveicolo (3D,
stazionario, PC high-end, Wkst, compute-server);
Campo di moto nel cuore umano (3D, non-stazionario, dominio
variabile, compute-server o supercomputer);
Calcolo LES (Large Eddy Simulation) attorno ad un’ala
completa (3D, non-stazionario, supercomputer);
Simulazione diretta di turbolenza in astrofisica (3D, non
stazionario, supercomputer high-end).
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ESEMPIO DI APPLICAZIONE ESTREMA
Very High Resolution Simulation of Compressible
Turbulence on the IBM-SP System
A.A. Mirin, R.H. Cohen, B.C. Curtis, W.P. Dannevik, A.M. Dimits,
M.A. Duchaineau, D.E. Eliason and D.R. Schikore
Lawrence Livermore National Laboratory
S.E. Anderson, D.H. Porter and P.R. Woodward, University of
Minnesota
L.J. Shieh and S.W. White, IBM
Winner of 1999 Gordon Bell Award for Performance
8
Very High Resolution Simulation of Compressible
Turbulence on the IBM-SP System
• sPPM is a higher-order accurate Godunov method
• originated by Colella and Woodward
– Lagrangian followed by remap (Eulerian)
– directionally split
•
•
•
•
•
•
•
Solves Euler equations (no physical dissipation)
Fortran 77
Three-dimensional domain decomposition
Posix threads plus MPI
Effective cache utilization
Overlap communication and computation
32-bit arithmetic
9
Very High Resolution Simulation of Compressible
Turbulence on the IBM-SP System
The IBM SST machine at LLNL:
–
–
–
–
–
–
ASCI Blue-Pacific system
Three 488-node sectors
Sectors connected by six HPGN switches
Each node has four 332-MHz PowerPC 604e processors and 1.5
- 2.5 Gbytes local memory
Peak performance is 3.9 TeraOp/s
There are 62.5 Tbytes of RAID storage
10
Very High Resolution Simulation of Compressible
Turbulence on the IBM-SP System
• Richtmyer-Meshkov simulation executed on IBM SST machine at
•
•
•
•
•
•
LLNL
Executed on 2048 x 2048 x 1920 grid (8,05109 cells !!)
Used 960 computational nodes (virtually 2 complete sectors), arranged
in 8 x 8 x 15 domain decomposition
Problem duration of 27,000 timesteps, corresponding to 9 transverse
sound crossing times
Simulation took 173 hours of machine time, spread over 226 hours of
wall time
Over 3 Tbytes of graphics data, spread over 275,000 files, was
produced
Sustained throughput of around 0.6 Tflop/s (32-bit)
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Very High Resolution Simulation of Compressible
Turbulence on the IBM-SP System
• Simulation of Richtmyer-Mevhkov instability
12
Very High Resolution Simulation of Compressible
Turbulence on the IBM-SP System
• 3-D and 2-D simulations show different character
2D
3D
15
Very High Resolution Simulation of Compressible
Turbulence on the IBM-SP System
Solution exhibits different character in three dimensions
• 3-D dynamics
– forward cascade
– fine structures
• 2-D dynamics
– inverse cascade
– extended structures
• For reactive fluids, predicted reaction rates would vary significantly with
respect to dimensionality and resolution
16
ESEMPIO DI APPLICAZIONE STANDARD:
(2005: Calcolo eseguito su PC-Cluster – 4 CPUs – A. Rossetto, Tesi di laurea)
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ESEMPIO DI APPLICAZIONE STANDARD:
(2005: Calcolo eseguito su PC-Cluster – 4 CPUs – A. Rossetto, Tesi di laurea)
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– Cos’è la CFD ?
– Limiti e potenzialità delle tecniche CFD
– Ingredienti della CFD
– Proprietà dei metodi numerici in CFD
– Approcci discreti
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Limiti e potenzialità delle tecniche CFD
METODO
VANTAGGI
SPERIMENTALE 1. Maggiormente realistico.
TEORICO
CFD
SVANTAGGI
1. Necessità di attrezzature e
strumentazione;
2. Problemi di scala;
3. Difficoltà di misura perturbazioni;
4. Costi operativi.
1. Informazione semplice, spesso
in forma "chiusa", di uso
generale.
1. Limitato a geometria e fisica
"semplici";
2. Usualmente limitato a problemi
lineari.
1. Non limitato a problemi lineari;
2. Fisica e geometria "complesse";
3. Problemi stazionari e non
stazionari;
4. Costi in progressiva diminuzione;
5. Buona e/o ottima integrazione
nel processo progettuale.
1. Errori di troncamento e
discretizzazione;
2. Difficoltà nelle condizioni al
contorno;
3. Semplificazioni;
4. Difficoltà di interpretazione;
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Limiti e potenzialità delle tecniche CFD - (cont.)
La CFD è più vicina all’analisi sperimentale, che all’approccio teorico,
visti i limiti attuali della teoria matematica delle equazioni alle derivate
parziali:
– Stabilità;
– Stima dell’errore;
– Convergenza.
In qualche caso, fenomeni sono stati scoperti prima per via numerica (es.
Campbell e Muller 1968: subsonic ramp-induced separation)
In CFD, ed in particolare per applicazioni industriali, è spesso necessario
basarsi sull’analisi matematica di problemi semplificati, basati
sull’ipotesi di linearità, ma soprattutto su ragionamenti euristici, intuito,
esperienza e approcci trial-and-error !
21
Limiti e potenzialità delle tecniche CFD - (cont.)
Tuttavia, le tecniche CFD non sono (e non lo saranno per
molto tempo) sostitutive dell’approccio sperimentale:
– Le equazioni (continue) costitutive non possono, a rigore,
–
–
definirsi esatte;
Il processo di discretizzazione - l’analogia perfetta fra equazioni
continue e discretizzate vale solo per dimensione di griglia nulla
- può alterare anche il comportamento qualitativo delle equazioni
(es. diffusività artificiale);
Fenomeni su scala “piccola” sono approssimati (es. turbolenza,
combustione etc.).
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– Cos’è la CFD ?
– Limiti e potenzialità delle tecniche CFD
– Ingredienti della CFD
– Proprietà dei metodi numerici in CFD
– Approcci discreti
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Ingredienti della CFD
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5
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Modello Matematico
Metodo di discretizzazione
Sistema di coordinate
Griglia di calcolo
Metodologia di approssimazione
Metodo di soluzione
Criteri di Convergenza
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1. Modello Matematico
• Il punto di partenza di ogni metodo numerico è, in genere, costituito
dal sistema di equazioni e dalle condizioni al contorno;
• La scelta del sistema di equazioni (es. bi- o tridimensionale;
incomprimibile o comprimibile; stazionario o non-stazionario) è legata
a:
– Tipo di problema ed applicazione;
– Informazioni richieste;
– Risorse disponibili.
• Usualmente un metodo di soluzione è stato sviluppato per un
particolare set di equazioni;
• Un metodo “generale” è impraticabile (se non impossibile) e, come
tutti gli strumenti general-purpose, non è mai ottimale.
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2. Metodo di discretizzazione
• Scelto il modello matematico, è necessario adottare il metodo di
discretizzazione più conveniente o opportuno, cioè il metodo per
approssimare le equazioni differenziali con un sistema di equazioni
algebriche per le variabili dipendenti, definite su un insieme discreto
(finito) di punti nello spazio e nel tempo;
• Esistono molti metodi, illustrati nel seguito, ma i più diffusi sono:
– Volumi Finiti (FV);
– Elementi Finiti (FEM);
– Differenze Finite (FD).
• Altri metodi - Elementi al Contorno (BEM); Metodi Spettrali; Automi
Cellulari (Lattice gas) - sono usati in CFD, ma il loro utilizzo è
riservato, spesso, a classi particolari di problemi.
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2. Metodo di discretizzazione (continua)
• Ciascun metodo di discretizzazione fornisce la stessa
soluzione se la griglia è “molto” fine;
• Tuttavia, alcuni metodi risultano più indicati per un certo
problema che altri;
• La scelta del metodo è, nella realtà industriale, legata a:
– Esperienze personali;
– Disponibilità di software (commerciale o in-house).
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3. Sistema di coordinate
• Le equazioni di conservazione (massa, quantità di moto,
energia etc.) possono venire espresse in molti modi, a
seconda del sistema di coordinate e base dei vettori:
–
–
–
–
–
Cartesiano;
Cilindrico;
Sferico;
Curvilineo ortogonale;
Curvilineo non-ortogonale.
• La scelta dipende dal tipo di problema, e può influenzare il
metodo di discretizzazione e la griglia utilizzata;
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3. Sistema di coordinate (cont.)
• Va anche scelta la base con cui definire vettori e tensori:
fissa o variabile, covariante o controvariante etc.:
– In funzione di tale scelta il vettore di velocità ed il tensore
degli sforzi possono venire espressi in termini di componenti
Cartesiane, covarianti o controvarianti.
• Nel seguito, se non diversamente specificato,
faremo sempre uso di componenti Cartesiane.
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4. Griglia di calcolo
• I punti (finiti) nei quali calcolare le variabili sono definiti
dalla griglia (grid o mesh), che rappresenta in modo
discreto il dominio geometrico nel quale il problema va
risolto.
• Rimandando nel seguito per una completa descrizione, le
tipologie di griglie più diffuse sono:
– Strutturate (Cartesiane, ortogonali e nonortogonali);
– Strutturate a blocchi;
– Non strutturate.
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5. Metodologia di approssimazione
• Dopo aver scelto la tipologia di griglia, è necessario scegliere la/le
approssimazione/i usata/e nella discretizzazione:
– In FD, vanno scelte le approssimazioni per le derivate nei punti della
griglia;
– In FV vanno selezionati i metodi di interpolazione (per valutare i valori
delle variabili in punti diversi dai nodi della griglia), ed i metodi per
approssimare integrali di superficie e di volume;
– In FEM vanno scelte le funzioni di forma (elementi) e le funzioni peso.
• Esistono molte possibilità di scelta, con importanti conseguenze
sull’accuratezza della soluzione;
• I metodi del 2o ordine rappresentano spesso un buon compromesso fra
accuratezza, semplicità ed efficienza computazionale.
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6. Metodo di soluzione
• La discretizzazione produce - usualmente - sistemi algebrici di
equazioni di rilevante dimensione:
– Tali sistemi possono essere lineari (es. metodi espliciti o semi-impliciti) o,
più frequente per le applicazioni industriali, non-lineari;
• Per problemi non stazionari, si utilizzano spesso metodi “simili” a
quelli usati per problemi, ai valori iniziali, descritti da equazioni
differenziali ordinarie: time-marching:
– In generale, almeno per flussi incomprimibili, è necessario risolvere un
problema “ellittico” ad ogni passo di tempo.
• I problemi stazionari vengono affrontati - come si vedrà - ricorrendo ad
una sorta di avanzamento temporale: pseudo-time marching, o analogo
schema iterativo.
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6. Metodo di soluzione - cont.
• Poiché, come già detto, le equazioni sono non-lineari, queste vengono
risolte iterativamente, usando un opportuno sistema di linearizzazione OUTER ITERATIONS:
– Tali iterazioni esterne, inoltre, sono necessarie qualora vi siano equazioni
accoppiate in modo non-lineare (es. modelli di turbolenza).
• I sistemi lineari così ottenuti sono risolti, nella pratica industriale,
attraverso tecniche iterative - INNER ITERATIONS;
• La scelta dell’algoritmo di risoluzione del sistema di equazioni lineari
(ottenuto dalla linearizzazione) dipende da:
– Tipo di griglia;
– Numero di nodi/celle;
– Tipo di equazione (pressione, quantità di moto etc.).
33
7. Criteri di convergenza
• Utilizzando metodi iterativi, è necessario stabilire i criteri di
convergenza, cioè definire i valori limite di alcune grandezze
(indicatori di convergenza) oltre i quali è inutile (e/o dispendioso)
proseguire con le iterazioni:
– Outer iterations: necessarie a causa della non-linearità ed accoppiamento
delle equazioni;
– Inner iterations: usate per risolvere i sistemi lineari di equazioni.
• E’ quindi necessario definire uno - o più - criteri di convergenza per
ciascun livello;
• La scelta del criterio di convergenza (indicatore) e del suo valore è,
talvolta, di importanza fondamentale per l’accuratezza e l’efficienza
della simulazione.
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– Cos’è la CFD ?
– Limiti e potenzialità delle tecniche CFD
– Ingredienti della CFD
– Proprietà dei metodi numerici in CFD
– Approcci discreti
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Proprietà dei metodi numerici in CFD
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2
3
4
5
6
Consistenza
Stabilità
Convergenza
Conservazione
“Boundedness” e realizzabilità
Accuratezza
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1. Consistenza
• La discretizzazione dovrebbe fornire il valore “esatto” quando la
dimensione della griglia - spaziale e temporale - tende a zero;
• La differenza fra l'equazione discretizzata e quella esatta è chiamata
errore di troncamento:
– Stimato sostituendo i valori nodali nell’approssimazione discreta con
un’espansione in serie di Taylor (vedremo un esempio parlando di
Differenze Finite);
– Il risultato è l’equazione differenziale originaria più un “resto”, che
rappresenta l’errore di troncamento.
• Affinché un metodo possa definirsi consistente, l’errore di troncamento
deve diventare nullo quando la dimensione della griglia tende a zero:
xi  0 e   0.
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1. Consistenza - cont.
• L’errore di troncamento è usualmente proporzionale ad una potenza di
xi e/o :
–
xin  Metodo di ordine n
(n>0) nello spazio (accuratezza
spaziale dell’n-esimo ordine);
–  m Metodo di ordine m (m>0) nel tempo (accuratezza
temporale dell’m-esimo ordine);
• Idealmente, tutti i termini dell’equazione dovrebbero venire
discretizzati con approssimazioni dello stesso ordine, ma qualcuno
preferisce trattare in modo più accurato i termini dominanti (es. termini
convettivi per flussi ad elevato numero di Reynolds).
• Anche se l’ approssimazione è consistente, ciò non garantisce che la
soluzione dell’equazione discretizzata diventerà uguale a quella esatta
per xi0: il metodo di soluzione dev’essere stabile.
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2. Stabilità
• In modo semplice, possiamo definire Stabile un metodo di soluzione
numerica che non amplifica gli errori che (inevitabilmente) appaiono
nel corso della soluzione:
– Per i metodi iterativi, un metodo stabile è un metodo che non “diverge”;
– Per i problemi non stazionari, la stabilità garantisce che il metodo fornisca
una soluzione “bounded” quando la soluzione esatta dell’equazione è
“bounded”.
• La stabilità è difficile da quantificare, in particolare per problemi nonlineari con condizioni al contorno realistiche:
– Approccio semplificato: problemi lineari a coefficienti costanti in assenza
di condizioni al contorno.
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2. Stabilità - cont.
• L’approccio più utilizzato, nello studio della stabilità, è il
metodo di Von Neumann;
• Nell’affrontare problemi complessi, tipici dell’ambito
industriale, con equazioni non-lineari accoppiate e
complesse condizioni al contorno, non è facile stabilire i
criteri di stabilità:
–
–
–
–
Limite sul passo di tempo (anche per metodi puramente impliciti);
Necessità di sotto-rilassamento;
………
Esperienza ed intuizione !
40
3. Convergenza
• Un metodo numerico è definito convergente se la soluzione delle
equazioni discretizzate tende alla soluzione esatta (dell’equazione
differenziale) quando xi0;
• Convergenza NON è sinonimo di Consistenza;
• Un metodo consistente, ma non stabile, NON è convergente !
• Nella pratica, la convergenza viene determinata sulla base di
esperimenti numerici su griglie via via più fini:
– Soluzione Grid-Independent;
– Per griglie sufficientemente fini, il grado di convergenza è determinato
dall’ordine di troncamento;
– Stima dell’errore nella soluzione.
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4. Conservazione
• Le equazioni da risolvere sono Equazioni di Conservazione (v. Intr.
Alle leggi del moto dei fluidi), perciò i metodi numerici utilizzati
dovrebbero rispettare - globalmente e localmente - tali leggi:
– In condizioni stazionarie e senza sorgenti, l’ammontare di una quantità
(es. massa) che esce da un volume chiuso, dev’essere pari alla quantità in
entrata.
• Utilizzando le equazioni nella forma conservativa (divergenza), ed
adottando il metodo dei Volumi Finiti, la conservazione è garantita su
base locale (Volume Finito) e globale (intero dominio);
• Anche gli altri metodi (es. FEM) possono venire resi conservativi;
• La conservazione è una proprietà fondamentale, poiché impone un
vincolo/limite all’errore della soluzione.
42
5. “Boundedness” ….
• Le soluzioni numeriche dovrebbero rimanere all’interno di
opportuni limiti:
– Quantità non-negative (es. densità, energia cinetica turbolenta)
dovrebbero sempre rimanere positive (possibilmente anche
durante le iterazioni intermedie !);
– Quantità, come concentrazioni, dovrebbero essere comprese fra 0
e 1 (0% - 100%);
– In assenza di sorgenti, le temperature devono essere comprese fra
quelle sui contorni.
…. e realizzabilità
• I modelli di fenomeni troppo complessi da venire affrontati
direttamente (turbolenza, combustione, flussi multifase
etc.), devono dar luogo a soluzioni fisicamente realistiche.
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6. Accuratezza
• Le metodologie della fluidodinamica numerica danno
luogo a soluzioni sempre approssimate;
• A parte errori introdotti nella fase di set-up (algoritmo di
soluzione, programmazione, condizioni al contorno etc.), la
soluzione è sempre affetta da tre tipi di errori sistematici:
1 Errori di modellazione: differenza fra il flusso del problema reale
e la soluzione esatta del modello matematico (turbolenza, nonstazionarietà, condizioni al contorno, proprietà termofische etc.);
2 Errori di discretizzazione: differenza fra la soluzione esatta delle
equazioni e la soluzione esatta dei sistemi di equazioni ottenuti
con la discretizzazione;
3 Errori di convergenza: differenza fra la soluzione esatta dei
sistemi di equazioni e la soluzione ottenuta iterativamente.
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6. Accuratezza - cont.
• E’ particolarmente importante tenere in conto tali errori, e
soprattutto saperli distinguere;
• Alcuni errori possono risultare dominanti, e talvolta
assumono valore uguale e segno opposto (es. accuratezza
maggiore di simulazioni effettuate su griglie più rade);
• Per poter stabilire gli eventuali errori di modellazione, è
dapprima necessario verificare compiutamente gli errori di
discretizzazione e di convergenza;
• Esistono vari modi per affrontare numericamente un
problema di termofluidodinamica, ma è importante
ricordare che l’obiettivo è quello di ottenere l’accuratezza
desiderata con il minimo sforzo, oppure - più frequente - la
massima accuratezza con le risorse disponibili.
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– Cos’è la CFD ?
– Limiti e potenzialità delle tecniche CFD
– Ingredienti della CFD
– Proprietà dei metodi numerici in CFD
– Approcci discreti
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Approcci discreti
1
2
3
4
5
6
Differenze Finite (FD)
Volumi Finiti (FV)
Elementi Finiti (FEM)
Elementi al Contorno (BEM)
Metodi Spettrali
Cenni su altri metodi
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1. Differenze Finite
• Il metodo delle Differenze Finite (Finite Differences - FD),
è storicamente il metodo più vecchio per le equazioni alle
dervate parziali;
• Il punto di partenza è l’equazione in forma differenziale:
– Il dominio viene discretizzato tramite una griglia;
– Ad ogni nodo della griglia, l’equazione differenziale è
approssimata sostituendo le derivate parziali con opportune
approssimazioni, ottenute in termini di valori ai nodi (nodali) della
funzione incognita;
– Si possono usare espansioni in serie di Taylor oppure forme
polinomiali;
– Il risultato è un’equazione algebrica per ogni nodo, che contiene
l’incognita nel nodo stesso e in alcuni nodi adiacenti  sistema di
equazioni.
48
1. Differenze Finite- cont.
Vantaggi:
• E’ particolarmente semplice da implementare, e fornisce buoni risultati
•
•
su geometrie semplici (griglie Cartesiane e/o ortogonali);
Per geometrie semplici, può essere particolarmente veloce, data
l’esistenza di solvers efficienti;
Si presta facilmente all’adozione di schemi di ordine elevato.
Svantaggi:
• Il metodo FD è, in linea generale, limitato alle griglie strutturate;
• Nei casi generali (3D, griglie non uniformi), la conservazione non è
garantita.
49
1. Differenze Finite- cont.
Esempio: conduzione termica stazionaria in 2D
• L’equazione è:
 2T 
 2T  2T

0
 x2  y2
• Sovrapponiamo al dominio di interesse una griglia regolare:
y
j
x
i
50
1. Differenze Finite- cont.
i,j+1
L’idea alla base è presa direttamente dalla
definizione di limite:
i,j+½
y
i-1,j
i,j
i-½,j
i+1,j
i+½,j
T
x
i,j-½
i,j-1
 lim
xi
x 0
T  xi  x   T  xi 
x
Per cui possiamo approssimare le derivate
prime nei nodi “intermedi” come:
x
T
T
 T 
 i 1, j i , j
 
x
 x i 1 2, j
T T
 T 
 i , j i 1, j
 
x
 x i 1 2, j
51
1. Differenze Finite- cont.
• Analogamente per le derivate in direzione y:
T
T
 T 
 i , j 1 i , j
 y 

y

i , j 1 2
T T
 T 
 i , j i , j 1
 y 
y

i , j 1 2
• Le derivate seconde, nei nodi, in funzione delle derivate prime:
T x 

 T

Ti 1, j  2Ti , j  Ti 1, j
  2T
 2
 x

 
i , j
  2T
 2
 y
 T 
  T 

 y i , j 1 2  y i , j 1 2 Ti , j 1  2Ti , j  Ti , j 1
 

y
y 2
i , j
i 1 2, j
x
x i 1 2, j

x 2
52
1. Differenze Finite- cont.
• Sostituendo nell’equazione di partenza:
Ti 1, j  2Ti , j  Ti 1, j
x 2

Ti , j 1  2Ti , j  Ti , j 1
y 2
0
• Ed in particolare, per x= y, si ottiene:
4Ti , j  Ti 1, j  Ti 1, j  Ti , j 1  Ti , j 1  0
• O, in altra forma:
Ti , j 


1
1
Ti 1, j  Ti 1, j  Ti , j 1  Ti , j 1 
4
4
T
nb
nb
• Tale equazione va scritta per ogni nodo interno, assieme ad opportune
•
equazioni (condizioni al contorno) per i nodi ai bordi;
Si ottiene un sistema lineare di equazioni.
53
1. Differenze Finite- cont.
• Si può pervenire al medesimo risultato in modo più rigoroso.
– Serie di Taylor (funzione continua differenziabile):
 T  x  xi 
T x   T xi   x  xi 
 
2
 x i
2
x  xi 3   3T 
3!
 x 3    

i
  2T 
 2  
 x i
x  xi n   nT 
 x n   H .O.T .

i
n!
– Per x = xi+1:
 T  xi 1  xi 
Ti 1  Ti  xi 1  xi 
 
2
 x i
2
xi 1  xi 3   3T 
6

  2T 
 2  
 x i
 x 3   O xi 1  xi 

i
4

54
1. Differenze Finite- cont.
– Da cui:
 T  Ti 1  Ti xi 1  xi


 
2
 x i xi 1  xi
xi 1  xi 2   3T 
6
  2T 
 2  
 x i

 x 3   O xi 1  xi 

i
3

– Procedendo analogamente per x = xi-1:
2
 T  Ti  Ti 1 xi  xi 1   T 



 

2  x 2 i
 x i xi  xi 1
xi  xi 1 2   3T 
6

 x 3   O xi  xi 1 

i
3

– Sottraendo la prima dalla seconda, e definendo
x  xi 1  xi  xi  xi 1
55
1. Differenze Finite- cont.
T T
T  T x   2T  x   2T 
 T   T 

 

 

 
  0  i i 1  i 1 i 
x
x
2  x 2 i 2  x 2 i
 x i  x i
 
x 2   3T  x 2   3T 

 

  O x 3
6  x 3 i
6  x 3 i
– Cioè:
  2T  Ti 1  Ti 1  2Ti
 2  
 O x 2
x 2
 x 
 
– Dimostrando che tale metodo, precedentemente ricavato per via intuitiva,
–
è caratterizzato da un’accuratezza del 2o ordine se la distanza internodale
si mantiene costante;
Se la griglia è sufficientemente fine, dimezzando la distanza di griglia
l’errore si riduce di un fattore 4.
56
2. Volumi Finiti (FV)
• Il metodo dei Volumi Finiti (FV - Finite Volume) - come si vedrà - fa
uso della forma integrale delle equazioni di conservazione:
– Il dominio è suddiviso in volumi di controllo (CV - Control Volume), detti
anche celle, adiacenti, e le equazioni di conservazione sono applicate enforced - su ciascun volume;
– Solitamente la variabile giace al centro della cella;
– Si usano interpolazioni, per esprimere i valori delle variabili - o dei
gradienti - sulle superfici delle celle, ed è necessario approssimare
integrali di superficie (flussi) e di volume;
– Come risultato, si ottiene - in analogia con FD - un’equazione algebrica
per ogni CV, e quindi un sistema di equazioni.
• Il metodo FV può essere utilizzato facilmente per ogni tipo di griglia,
strutturata e non strutturata;
• Il metodo FV è conservativo per definizione, se i flussi, relativi alle
facce dei CV, sono gli stessi per ambedue i CV sulla faccia.
57
2. Volumi Finiti (FV) - cont.
• Il metodo dei Volumi Finiti è senz’altro il metodo più semplice:
– Da capire (ogni termine ha un significato fisico);
– Da implementare e programmare.
• E’ particolarmente popolare nelle applicazioni Ingegneristiche della
•
•
CFD;
Numerosi codici commerciali di CFD sono FV-based;
Fra gli svantaggi si segnala:
– Minor rigore matematico (ma recentemente ha interessato anche i
matematici);
– Maggiore difficoltà - secondo alcuni - nell’utilizzo di schemi di ordine
elevato, rispetto a FD e FEM, in particolare per griglie non strutturate.
58
3. Elementi Finiti (FEM)
• Il metodo degli Elementi Finiti (FEM - Finite Element Method), data la sua
importanza ed il suo utilizzo nella CFD industriale, verrà trattato a parte;
• Il metodo FEM presenta alcuni aspetti comuni con il metodo FV:
– Il dominio è suddiviso in un insieme, solitamente non strutturato, di elementi;
– Gli elementi, solitamente, sono triangoli e quadrilateri in 2D, e tetraedri ed esaedri
in 3D;
• L’aspetto distintivo del metodo FEM, è l’utilizzo di funzioni di forma (che
descrivono l’andamento delle variabili all’interno dell’elemento), e l’uso delle
funzioni peso (weight function), per le quali va moltiplicata la funzione prima
dell’integrazione nel dominio;
• Il metodo FEM, nei confronti del metodo FV, presenta vantaggi (es. rigore
matematico; più facile adozione di schemi di ordine elevato), ma anche
svantaggi (es. onere computazionale; conservatività non sempre garantita a
livello di elemento).
59
3. Elementi Finiti (FEM) - cont.
n
Nel "processo di approssimazione mediante gli
elementi finiti" si ha:
a) l'APPROSSIMAZIONE del problema con un
numero finito di valori che la funzione incognita 
assume negli n punti nodali:
(m) j+1
n-1
(i)
(i-1) 
3
j
j-1
(1 )
1
(3 )
(2 )
2
j 1 n
j
(i+1)
b) la CREAZIONE di n equazioni, che legano le
caratteristiche di tutto il sistema, mediante somma,
dei contributi dovuti a tutti gli m elementi di
campo
m
Di  j    Di  j   0
e
i  1  n,
j 1  n
e 1
60
3. Elementi Finiti (FEM) - cont.
All'interno di ogni elemento la relazione intercorrente fra
la funzione incognita e in un punto generico P e i valori
che essa assume nei punti nodali dell'elemento
 1 


   
 
 nodi 
nodi
 
e
è data da
~
P e
1
(e)
…
~
  e 
e
nodi
 N   N  
i
i
e
e
i 1
dove [Ne] e nodi sono rispettivamente
le FUNZIONI DI
FORMA e il numero dei nodi dell'elemento generico e
preso in esame
61
3. Elementi Finiti (FEM) - cont.
• Per
e
si sceglie una legge polinomiale approssimante del tipo
 e  1   2 x  

  
e  Pe e
 P   1
x   matrice con le coordinte del punto generico
1 
 
 e   2   vettore dei coefficienti del polinomio
 

• La funzione incognita nei punti nodali assume allora i valori seguenti
e
dove:
 1 
 e  2    Ce   e 
 
dove:
1
x1 
x 2   matrice con le coordinate dei punti nodali

  
 C   1
e
62
3. Elementi Finiti (FEM) - cont.
• Il vettore dei coefficienti
•
  e   Ce  -1  e 
deve avere un numero di termini {e} pari al numero delle incognite {e}, perché la matrice [Ce] deve essere QUADRATA per l'inversione
Sostituendola nella
  
e  Pe e
si ottiene
       N   
-1
 e  P e Ce
 N   P  C 
dove:
e
e -1
e
e
e
e
rappresenta la matrice delle FUNZIONI DI
FORMA dell'elemento considerato
63
3. Elementi Finiti (FEM) - cont.
• ESEMPIO: Elementi triangolari LINEARI
- Geometria
- r1
- r2
y
3
- q1
q2
x1
2
- q3
1
y1
- Legge approssimante
r3
x
p1  x 2 y 3 - x 3 y 2
p 2  x 3 y1 - x1 y 3
p 3  x1 y 2 - x 2 y1
q1  y 2 - y 3
q 2  y 3 - y1
q 3  y1 - y 2
r1  x 3 - x 2
r2  x1 - x 3
r3  x 2 - x1
 e  1   2 x   3 y
64
3. Elementi Finiti (FEM) - cont.
Legge approssimante (segue)
P  1
e
1 x1
C  1 x 2

1 x 3
 
y
x
e
y1 
y2 

y 3 
C 
e -1
p1 p 2
1 

q1 q 2
2A 
 r1 r2
p3 
q3 

r3 
- Funzioni di forma
N   p
e
1
 q1 x  r1 y
2A
p 2  q 2 x  r2 y
2A
p 3  q 3 x  r3
2A
y
  N1 
N 2  N 3 
- Diagramma delle funzioni di forma
1
1
N1
3
2
65
4. Elementi al Contorno (BEM)
• Il metodo degli elemento al contorno (BEM - Boundary Element
Method) è ottenuto attraverso la discretizzazione di un equazione
integrale equivalente, dal punto di vista matematico, all’equazione alle
derivate parziali di partenza;
• Nel metodo BEM, l’equazione di partenza è riformulata con una
equazione integrale definita sul contorno del dominio (BIE - Boundary
Integral Equation), ed un integrale che correla la soluzione sul contorno
con la soluzione nei punti interni;
• L’equazione integrale esiste solo per alcune classi di equazioni alle
derivate parziali, e quindi il metodo BEM è meno versatile dei metodi
tradizionali FEM e FV;
• Tuttavia, nei casi in cui il metodo è applicabile, si rivela semplice e
particolarmente efficiente dal punto di vista computazionale.
66
4. Elementi al Contorno (BEM) - cont.
• I vantaggi del metodo, nei casi in cui è applicabile, sono:
– Solo il contorno del dominio - e non l’interno come FEM e FV - necessita
di venire discretizzato (pannelli sul contorno);
– La dimensione del problema è ridotta: 3D  2D, 2D  1D;
– Semplicità nei casi di domini illimitati (es. flusso a potenziale attorno ad
un profilo alare; modelli di propagazione acustica), e nel caso di
singolarità.
• Le applicazioni del metodo BEM - nella sua formulazione tradizionale sono perlopiù limitate a problemi lineari;
• Applicazioni del metodo BEM in CFD incomprimibile viscosa:
– Limitate ad attività di ricerca di sviluppo metodologico e benchmarking;
– Onerose dal punto di vista computazionale.
67
4. Elementi al Contorno (BEM) - cont.
• Applicazioni tipiche del metodo BEM:
– Moto a potenziale;
– Acustica;
– Meccanica della frattura.
Esempio di applicazione:
Applicazione al problema dei carichi d’onda su
strutture marine
(per gentile concessione di Giorgio Contento, Fabrizio D’Este e
Riccardo Codiglia, Dip. Ingegneria Navale, del Mare e per l’Ambiente
- Università di Trieste)
68
4. Elementi al Contorno (BEM) - cont.
Forze in gioco: • inerziali (in fase con l’accelerazione del fluido in assenza della struttura)
• diffrazione (“deviazione” delle onde per effetto della presenza della struttura)
• radiazione (onde generate per effetto dei moti della struttura)
• viscose
100.00
Elementi fondamentali:
• lunghezza d’onda
• altezza d’onda
•dim. caratteristica
Large
drag

In
10.00
Parametri adimensionali :
• Keulegan Carpenter
KC=UT/D  H/D
• Reynolds
Re=UD/
•Freq. Adimensionale
D/2g)=kD/2=ka
H/D
H
D
er
ti
aa
nd
D
e
dr e p w
ag
a
1.00
Large inertia
te
r
br
ea
k
in
g
lim
it
0.10
All inertia
Regimi idrodinamici dominanti :
Diffraction
0.01
0.01
0.10
1.00
10.00
ka
69
4. Elementi al Contorno (BEM) - cont.
0
-0.5
-1
1
0.5
-1.5
-1
0
0
1
x
t=1 6 .5 T
0
-0.5
z
-1
1
0.5
-1.5
-1
-0.5
0
x
0.5
1
0
P RES S URE CONTOUR IN NEAR-TRAP P ING CONDITION
y
2
t=1 6 T
z
WAVE AMP LITUDE IN NEAR TRAP P ING CONDITION
ka = 2 .0
3
p
1500
1400
1300
1200
1100
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
-100
-200
-300
-400
-500
-600
-700
-800
-900
-1000
-1100
-1200
-1300
-1400
-1500
y
COMP UTATIONAL GRID
y
TENS ION LEG P LATFORM
1
0
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
70
5. Metodi spettrali
• I metodi spettrali possono essere visti come lo sviluppo estremo della
classe di metodi di discretizzazione noti genericamente come “metodo
del residuo pesato”:
– Funzioni di forma - trial (o expansion) functions;
– Funzioni peso - weight (o test) functions;
• La scelta delle funzioni di forma è ciò che caratterizza i metodi spettrali
dagli altri metodi (FD, FV, FEM): esse sono funzioni globali
infinitamente derivabili:
• Ad esempio, in FEM (ma anche FV) le funzioni di forma sono
specificate per ciascun elemento: sono a carattere “locale”, e quindi
particolarmente idonee a trattare geometrie complesse.
71
5. Metodi spettrali - cont.
• La scelta delle funzioni di forma distingue i tre schemi
spettrali più diffusi:
– Galerkin: le funzioni di forma (test) sono uguali alle funzioni
–
–
peso (weight). Si tratta, quindi, di funzioni infinitamente derivabili
(infinitely smooth) che, individualmente, soddisfano le funzioni di
forma. L’equazione differenziale è approssimata imponendo che
l’integrale del residuo, moltiplicato per ciascuna funzione test, sia
nullo.
Collocation: le funzioni test sono funzioni Delta di Dirac centrate
su alcuni punti particolari, detti “collocation points”. Tale
approccio richiede che l’equazione differenziale sia soddisfatta in
modo esatto su tali punti;
Tau: simile allo schema di Galerkin, ma nessuna delle funzioni
test deve soddisfare le condizioni al contorno, per le quali si
utilizza un set supplementare di equazioni.
72
5. Metodi spettrali - cont.
• I metodi spettrali, inoltre, si distinguono anche (Galerkin e Tau) per il
tipo particolare di funzioni test: le più usate sono in forma di polinomi
trigonometrici, polinomi di Chebyshev e polinomi di Legendre;
ESEMPIO
• Applicazione del metodo di Fourier-Galerkin all’equazione lineare
iperbolica monodimensionale (diffusione del calore in una
dimensione):
T T

 x
dove T(x,) è la soluzione (temperatura), e x è la coordinata spaziale.
L’equazione deve essere integrata con un’opportuna condizione
iniziale, e condizioni al contorno.
73
5. Metodi spettrali - cont.
• Per semplicità, supponiamo che il dominio sia (0, 2), e che le
condizioni al contorno siano di tipo periodico;
• Usualmente, il metodo del residuo pesato è usato solo per la
discretizzazione spaziale; la soluzione approssimata è quindi:
T N ( x, ) 
N 2

ak ( )k ( x)
k  N 2
• k sono le funzioni trial, mentre ak rappresentano i coefficienti
dell’espansione. In generale, TN non soddisferà l’equazione, cioè il
residuo:
T N T N


x
non sarà ovunque nullo.
74
5. Metodi spettrali - cont.
• Il metodo del residuo pesato richiede proprio che:
2
 T N T N 

 k  x  dx  0

x 
 
0
Per k = -N/2, …., N/2
dove le funzioni test k(x) determinano i “pesi” del residuo.
• Il metodo spettrale più semplice, per questo problema, si basa sui
polinomi trigonometrici:
k  x  
 k x 
eikx

cos(kx)  i sin( kx)
1 ikx
1
cos(kx)  i sin( kx)
e

2
2
75
5. Metodi spettrali - cont.
• Si osservi che le funzioni test e le funzioni trial sono essenzialmente le
stesse, e che soddisfano la condizione di ortogonalità:
2
 k  x  l  x  dx   kl
0
•
dove kl è la funzione Delta di Dirac (kl =1 se k=l; kl =0 se kl).
Applicando quindi il metodo del residuo pesato:
1
2
2

0
    N 2
 ikx
ilx
    al  e  e dx  0
  x l  N 2

76
5. Metodi spettrali - cont.
• I passi successivi sono la differenziazione analitica (spaziale) delle
funzioni trial:
1
2
2

0
 N 2  dal
 
 ilal eilx  eikxdx  0
  
 
l  N 2  d
• e l’integrazione, che produce a sua volta le equazioni differenziali
ordinarie (ODE - Ordinary Differential Equations):
dal
 ilal
d
k   N 2,, N 2
• Le condizioni iniziali per questo sistema di ODE sono i coefficienti per
l’espansione della condizione iniziale:
2
ak 0    u  x,0  k  x  dx
0
77
5. Metodi spettrali - cont.
• In generale - anche per problemi più complicati - la parte analitica per
•
il metodo spettrale alla Galerkin prosegue sino alle ultime due
equazioni viste.
Usualmente, sono usate tecniche di integrazione numerica:
– per ottenere i valori iniziali dei coefficienti dell’espansione;
– per integrare le equazioni (ODE) nel tempo.
• Si può dimostrare che la serie di Fourier troncata:
T N ( x, ) 
N 2
 a ( ) e
k
ikx
k  N 2
• converge più rapidamente di qualunque potenza (finita) di 1/N:
– questa proprietà è usualmente definita come convergenza esponenziale.
78
5. Metodi spettrali - cont.
• Tuttavia, la caratteristica di eccezionale accuratezza dei metodi spettrali
è compensata da numerosi svantaggi:
– Difficoltà nel trattamento di geometrie anche moderatamente complesse;
– Difficoltà nell’imposizione di condizioni al contorno non-periodiche;
– Difficoltà nella distribuzione non standard dei nodi della griglia.
• Inoltre, va osservato, con riferimento alla CFD industriale dove spesso
•
la risoluzione della griglia è determinata dalle risorse/tempo
disponibili, che l’accuratezza elevata dei metodi spettrali è ottenuta
solo se si utilizzano “abbastanza nodi”.
In caso contrario, l’accuratezza può essere inferiore a quella dei metodi
standard: FD, FV, FEM.
Tali proprietà dei metodi spettrali li rendono lo strumento più utilizzato
nelle attività di ricerca di base sulla turbolenza: DNS (Direct Numerical
Simulation of Turbulence).
79
6. Cenni su altri metodi
CVFEM - Control-Volume Finite Element Method
• Il metodo è ottenuto dalla combinazione del metodo FV e del metodo
•
FEM;
Come risultato si ottiene un metodo che presenta i vantaggi originari
di ambedue metodi:
– Semplice interpretazione fisica;
– Griglie non strutturate - geometrie complesse;
– Conservazione garantita a livello locale (elemento) e globale.
• Esistono numerose varianti (es. Covolume method), ma l’iniziale
popolarità del metodo è stata offuscata dall’utilizzo emergente di
metodi FV su griglie non strutturate.
80
6. Cenni su altri metodi - CVFEM - cont.
• La griglia - di tipo FEM non strutturato - è basata, usualmente, su
•
elementi triangolari in 2D e tetraedri in 3D;
Ogni elemento è quindi suddiviso in sotto-volumi (subvolumes) che,
collettivamente, costituiscono i CV attorno ai nodi della mesh FEM:
4
3
d
c
b
y
1
s
z
x
y
a
1
2
f
r
a
x
c o
e q
t
3
b
2
81
6. Cenni su altri metodi - CVFEM - cont.
• Esistono altre modalità per generare i sotto-volumi;
• All’interno degli elementi primari (FEM) si utilizzano funzioni di
forma;
• Le equazioni algebriche sono ottenute sui sotto-volumi o sui CV, e
vengono poi assemblate elemento per elemento.
Volume di controllo
• Comunemente, sia la velocità che
la pressione sono co-locate (equal
order CVFEM) sui nodi primari,
così come le altre grandezze
scalari.
82
6. Cenni su altri metodi - CVFEM - cont.
• Un interessante variante è il metodo chiamato Complementary volume
- Covolume - per il quale la griglia primaria è ortogonale alla griglia
secondaria (duale):
– Si tratta di una generalizzazione della griglia sfalsata Cartesiana;
– La proprietà di mutua ortogonalità può essere soddisfatta da griglie
composte da triangoli, trapezi e/o combinazioni di griglie Cartesiane,
triangolari e trapezoidali;
• Di particolare rilievo le griglie triangolari di tipo Delaunay-Voronoi:
83
6. Cenni su altri metodi - CVFEM - cont.
Discretizzazione
continuità
Discretizzazione
vorticità
84
6. Cenni su altri metodi - CVFEM - cont.
Discretizzazione
quantità di moto
Discretizzazione
energia (e altri scalari)
85
6. Cenni su altri metodi
LGA - Lattice Gas Automata
• Si tratta di un approccio completamente diverso, per il quale è stato
coniato, da alcuni, il termine DFD - Digital Fluid Dynamics, per
distinguerlo dai metodi CFD tradizionali:
– Non più basato sulle equazioni di Navier-Stokes (e sulle equazioni
differenziali in generale);
– Il fluido viene rappresentato - in modo semplificato - da un numero
–
–
elevato di elementi discreti (automi) del fluido, di massa unitaria, e dalle
leggi che governano la microdinamica di tali particelle (collisioni);
Tali particelle sono caratterizzate da stati discreti di velocità (spazio
delle velocità - modulo e direzione) e posizione (spazio tridimensionale);
Il dominio viene discretizzato, tramite una griglia (lattice), in un numero
elevato di possibili posizioni delle particelle (voxel), mentre le superfici
solide sono ottenute dall’intersezione dei voxel con i contorni (surfel);
86
6. Cenni su altri metodi - LGA - cont.
– In ciascun voxel, ad ogni passo di tempo, le particelle si spostano da un
–
–
–
–
–
voxel all’altro, ed ottengono l’equilibrio termodinamico locale attraverso
un processo di collisione che dovrebbe garantire la conservazione della
massa, quantità di moto ed energia;
Le particelle, inoltre, collidono con le superfici solide, interagendo con i
surfels, in modo da rispettare le condizioni al contorno imposte;
Il calcolo avviene solo in modalità non stazionaria, e la soluzione
stazionaria è ottenuta come asintoto per un tempo sufficientemente lungo;
La velocità è ottenuta mediando nel tempo e nello spazio (space-time
average): più voxel (siti) per ottenere statistiche significative;
Non vi sono - per LGA - problemi di stabilità, pur essendo il metodo,
secondo i criteri della CFD, puramente esplicito;
Tutti i calcoli - a parte le operazioni di media - vengono eseguiti con interi
(manipolazione di bits), e pertanto non vi sono problemi di round-off.
87
6. Cenni su altri metodi - LGA - cont.
– Si può dimostrare - dalla meccanica statistica - che, sotto certe
–
–
condizioni, il comportamento di tale insieme di particelle approssima le
equazioni di Navier-Stokes o simili (artifacts);
In un approccio simile, ma più costoso (LBM - Lattice Boltzmann
Method), la distribuzione discreta delle particelle (interi) viene sostituita
da una rappresentazione con numeri reali (modulo e direzione della
velocità);
Esempio di possibili interazioni fra due particelle in una griglia (lattice)
quadrata bidimensionale (in rosso la particella ferma):
88
6. Cenni su altri metodi - LGA - cont.
– Una possibile configurazione della griglia in 2D è quella esagonale
(modello FHP);
– Configurazioni microscopiche in due istanti successivi:
89
6. Cenni su altri metodi - LGA - cont.
– Il modello FHP non si presta agevolmente all’estensione 3D;
– Il modello più utilizzato in 3D è la griglia (lattice) FCHC (Face
Centered Hypercubic);
– La proiezione nello spazio tridimensionale è rappresentata da una griglia
Cartesiana:
90
6. Cenni su altri metodi - LGA - cont.
– Le difficoltà - mancata replicazione esatta, a livello macroscopico, delle
–
–
–
–
–
equazioni di conservazione anche sul modello FCHC - sono state risolte
adottando un modello a più velocità (3-5);
Difficoltà nello stabilire vantaggi - e limitazioni - di tale approccio:
brevetto dell’algoritmo: Digital Physics©;
Modelli di turbolenza - equazioni di trasporto - discretizzati con tecniche
tradizionali (FD);
Computazionalmente efficiente e di facile parallellizzazione;
Manipolazione di bits eseguita in modo molto efficiente dai moderni
sotto-sistemi grafici;
Il confronto con le tecniche della CFD tradizionale - non sempre fatto in
modo corretto (unbiased) - andrebbe eseguito a parità di risorse
computazionali !!
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6. Cenni su altri metodi - LGA – cont.
Immagini tratte dal sito
www.exa.com
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6. Cenni su altri metodi
Elementi Spettrali
• Il metodo degli Elementi Spettrali è ottenuto dalla combinazione del
metodo FEM e dal metodo spettrale:
– Uso di griglia non strutturata (triangoli o quadrilateri in 2D; tetraedri o
esaedri in 3D);
– Elementi finiti di tipo p-version (a differenza dei più tradizionali
elementi finiti tipo h-version, nei quali l’aumento dell'accuratezza è
ottenuto dal raffinamento della griglia - riduzione di h - l’aumento
dell'accuratezza è ottenuto dall’aumento dell’ordine p del polinomio
utilizzato per le funzioni di forma e funzioni peso);
– In ogni (macro-)elemento, funzioni di forma - espansione polinomiale di ordine elevato.
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6. Cenni su altri metodi
Elementi Spettrali
• La differenza fra Elementi Spettrali e metodo FEM è data dalla
diversa tipologia delle funzioni di forma (expansion functions) e
funzioni peso (test functions):
– FEM p-version  polinomi di Legendre in ogni elemento s;
– Elementi spettrali  interpolanti di Lagrange (polinomi di Chebyshev
come test functions), sui Ms nodi della formula di quadratura di GaussLobatto, in ogni elemento s.
• Gli elementi spettrali riassumono i vantaggi del metodo FEM
•
(flessibilità geometrica, rigore matematico) con quelli dei metodi
spettrali (accuratezza, convergenza esponenziale);
Presentano, tuttavia, alcuni svantaggi (complessità
nell’implementazione, oneri computazionali).
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