Transcript Appello del 10 settembre 2014 di Controllo non lineare 1. Si

Appello del 10 settembre 2014 di Controllo non lineare
1. Si consideri il sistema di Lur’e autonomo in Figura 1
e
y
u
Figura 1: sistema di Lur’e autonomo
dove () è una non linearità settoriale, mentre G(s) è la funzione di trasferimento di
un sistema lineare completamente raggiungibile ed osservabile.
Rispondere in modo chiaro e preciso ai seguenti quesiti:
1.1 definire il concetto di stabilità assoluta del sistema di Lur’e autonomo nel
settore [0,k], con k>0
1.2 enunciare il criterio di Popov ed il criterio del cerchio per la stabilità assoluta del
sistema di Lur’e autonomo nel settore [0,k], con k>0, fornendone un’
interpretazione grafica. Quale è il legame tra i due criteri?
1.3 descrivere la congettura di Aizerman per la stabilità assoluta del sistema di Lur’e
autonomo
1.4 dire se e come è possibile verificare se la congettura di Aizerman vale per un
certo sistema di Lur’e autonomo, utilizzando il criterio di Popov
2. Si consideri il sistema di Lur’e in Figura 2
e
N
y
u
Figura 2: Sistema di Lur’e
dove
( )
(
) (
)
è la funzione di trasferimento di un sistema completamente raggiungibile ed
osservabile, e il blocco N è il relè con isteresi MB/2 riportato in Figura 3
Figura 3: Relè con isteresi MB/2
2.1 descrivere in modo chiaro e conciso il metodo della funzione descrittiva per lo
studio delle eventuali oscillazioni permanenti che si possono presentare nel sistema
di Lur’e in Figura 2
2.2 posto B/2 =1, valutare con il metodo della funzione descrittiva per quali valori di
M>0 esiste un’oscillazione compatibile con il sistema e se essa è stabile. A tale
scopo si ricordi che la funzione descrittiva del relè in Figura 3 è
3. Dopo avere spie gato la nozione di stabilità L∞ per un operatore causale
, discutere la stabilità L∞ dell’operatore ottenuto interconnettendo
due operatori
e
causali e debolmente limitati:
a) in serie, b) in parallelo, e c) in retroazione.
In particolare, enunciare il teorema del piccolo guadagno e ricavare da esso la
condizione per la stabilità L∞ del sistema di Lur’e composto da una non linearità
statica nel settore [-k, k] ed un sistema lineare tempo invariante strettamente
proprio e asintoticamente stabile con risposta impulsiva ( )
.
4. Si consideri il sistema lineare S descritto dalle seguenti equazioni:
{
̇
̇
4.1 Valutare per quali delle seguenti funzioni ( ), con
(i) ( )
:
(ii) ( )
(iii) ( )
il sistema S converge ad uno ed un solo (pseudo-)equilibrio ̅ quando viene
vincolato ad evolvere sulla superficie ( )
, qualunque sia la sua condizione
iniziale su tale superficie. Per le funzioni che soddisfano tale condizione,
determinare quanto vale ̅ .
4.2 Posto ( )
,
(a) verificare che il sistema S converge ad uno ed un solo (pseudo-)equilibrio ̅
quando viene vincolato ad evolvere sulla superficie ( )
condizione iniziale su tale superficie, e determinarne ̅ .
, qualunque sia la sua
(b) progettare il controllore sliding mode che porta il sistema sulla superficie di
scivolamento ( )
in tempo finito ed inferiore a 5 quando x(0) =[1 2]’.
(c) tracciare lo schema a blocchi del sistema di controllo in retrazione dallo stato
progettato.
4.3 Si supponga che solo la variabile di stato
uscita:
sia misurabile e disponibile come
̇
{ ̇
descrivere come è possibile progettare il controllore sliding mode con retroazione
sull’uscita che ha come superficie di scivolamento la stessa del controllore
progettato al punto precedente e tracciarne lo schema a blocchi.
5. Dato il sistema SISO non lineare regolare, descritto dalle equazioni
(a) descrivere il problema della linearizzazione (locale) del sistema mediante
retroazione algebrica dallo stato
(b) spiegare che cosa si intende per dinamica zero del sistema