Transcript testo - Politecnico di Milano-DEIB

Politecnico di Milano
Fondamenti di Automatica (CL Ing. Gestionale) a.a.2013-14
Prof. Silvia Strada
26 Settembre 2014
Nome e Cognome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matricola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Durata della prova: 2 h.
Numero di esercizi: 5
Punteggio: il numero di punti `e indicato a fianco di ciascun esercizio
Consegna: esclusivamente il presente fascicolo, senza fogli di brutta
Utilizzare esclusivamente i fogli di brutta/carta semilogaritmica forniti dal docente
Unico ausilio permesso: una calcolatrice non programmabile - tutti gli altri dispositivi elettronici
vanno messi, spenti, sul banco - non `e ovviamente consentito consultare libri,appunti,dispense - Non
`e consentito scrivere a matita
ESERCIZIO 1
punti: 8
Dato il sistema dinamico non lineare, con ingresso u(t) e uscita y(t), descritto dalla seguente equazione
differenziale
y¨(t) + y 2 (t)y(t)
˙ + y(t) = u(t)
1. Si scriva una rappresentazione di stato per il sistema.
2. Si determinino lo/gli stati di equilibrio associati a u(t) = u = 2.
2
3. Si linearizzi il sistema nell’intorno dello/degli equilibri trovati.
4. Si studi la stabilit`a del/dei sistemi linearizzati trovati al punto precedente.
3
ESERCIZIO 2
punti: 10
Si consideri il sistema lineare continuo con funzione di trasferimento
G(s) = 10
1 − 0.5s
(1 + s)(1 + 0.5s)
1. Si disegnino i diagrammi di Bode asintotici del modulo e della fase della funzione di trasferimento
G(s).
Magnitude (dB)
Bode Plot
−3
−2
10
−1
0
10
10
1
10
2
10
3
10
Phase (degrees)
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
1
10
10
Frequency − log scale
Figure 1. Carta semi-logaritmica per diagrammi di Bode dell’Esercizio 2.
4
2
10
3
10
2. Si calcoli analiticamente la risposta forzata del sistema all’ingresso u(t) = e−3t .
3. Si scrivano i comandi Matlab per tracciare l’andamento qualitativo della risposta in uscita allo scalino
unitario del sistema con funzione di trasferimento G(s).
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4. Il sistema con funzione di trasferimento G(s) `e inserito nello schema a blocchi di Figura 2:
2
+
Figure 2
Si scriva l’espressione della funzione di trasferimento da u(t) a y(t).
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ESERCIZIO 3
punti: 8
Si consideri il sistema retroazionato mostrato in Figura 3
d
w
+
-
L(s)
+
+
y
Figure 3. Sistema di controllo in retroazione
in cui L(s) =
10
`e la funzione di trasferimento d’anello.
(1 + 10s)
1. Si verifichi la stabilit`a di tale sistema di controllo mediante il Criterio di Nyquist.
7
2. Si determini il margine di guadagno km .
3. Si valuti l’errore a transitorio esaurito dovuto ad un disturbo d(t) = 0.1sca(t), supponendo in
quest’analisi w(t) = 0.
8
ESERCIZIO 4
punti: 4
Un mercato in cui opera una sola azienda (denominata X) ha 800 clienti. Una seconda societ`a denominata
Y decide di entrare nel mercato e il suo responsabile marketing prevede che la matrice dinamica dei clienti
(che rappresenta la dinamica di transizione dei clienti tra le due aziende) sar`a
[
]
0.8 0.3
A=
0.2 0.7
Si calcoli quanti clienti avr`a l’azienda Y dopo un periodo.
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ESERCIZIO 5
punti max: 2.5
Si dica se le seguenti affermazioni sono vere o false (barrare la relativa casella)
-0.25=risposta errata, 0=risposta non data, +0.5=risposta corretta
i) Il polinomio caratteristico di un sistema dinamico, lineare e stazionario, a tempo continuo, `e dato da
λ(s) = s4 + 3s3 + 2s2 . Tale sistema ha 2 modi asintoticamente stabili.
V ERO F ALSO
10
ii) L’ingresso u(t) e luscita y(t) di un sistema sono legati dalla relazione 2 . Questo sistema `e un sistema
s
puramente algebrico.
V ERO F ALSO
iii) Dato il sistema elementare del primo ordine G(s) =
t
µ
, la sua risposta allo scalino di ampiezza A
1 + τs
`e y(t) = µA(1 − e τ ).
V ERO F ALSO
4
pu`o essere reso asintoticamente stabile
s−1
inserendolo in un sistema con retroazione negativa e facendolo precedere da un regolatore con funzione
di trasferimento R(s) = µ (con µ opportuno).
iv) Il sistema avente la funzione di trasferimento G(s) =
V ERO F ALSO
1
. Chiudendo tale sistem in retroazione
s+1
negativa con un controllore con solo guadagno proporzionale µ > 0 allora aumentando il parametro
µ > 0 `e possibile ridurre sempre di pi`
u l’errore a regime con riferimento a scalino.
v) Si consideri il sistema con funzione di trasferimento G(s) =
V ERO F ALSO
10