Transcript PERTEMUAN KE-4-Eksponensial
MATA KULIAH BERSAMA FMIPA UGM MATEMATIKA KONTEKSTUAL
Fungsi Eksponensial & Fungsi Logaritma
Oleh : KBK MATEMATIKA TERAPAN
Eksponen
Sifat-sifat Eksponen Soal Latihan 1.
Tentukan x, y, w 2.
Tentukan x dan z
Sifat-sifat Eksponen Soal Latihan 1.
Tentukan x dan y 2.
Tentukan x, y dan z
Aturan Dasar Eksponen
Aturan Contoh
1.
b x
b y
2.
3.
b b x b y
y b
b b xy
4.
x
x x a b
5.
a
a x b x
2 1/ 2 2 5/ 2 2 6 / 2 2 3 8 5 12 5 3 = 6 5 12 3 8 = 6 / 3 5 9 8 2 3 2 3
m
3 8
m
3 1 64 8 27 1/ 3 8 1/ 3 27 1/ 3 2 3
Contoh: 1. Sederhanakan permasalahan 2 1/ 2 3
x y
4 2 3
x y
7 7 81
x
5
y
5 2. Selesaikan persamaan 2 6 4 3
x
1
x
1 2 6
x
2
x
2
x x
2 4
x
2 2 4
x
2 2 4
x
2 4
x
2 4 2
Latihan Soal Latihan 1.
Tentukan x & y 2.
Hitung
Latihan 3.
Hitung
Fungsi Eksponensial Suatu
fungsi eksponensial basis b and eksponen x
dengan
b x
b
0,
b
1 Co: 3
x x y
1 1 3 0 1 1 3 2 9 (0,1)
y
Domain: Real Range :
y
> 0
Sifat Fungsi Eksponensial
b x
b
0,
b
1 1. Domain: 2. Range: (0, ¥ ) (0, 1).
3. Melewati titik 4. Kontinu di seluruh domain.
5. Jika b > 1, fungsi naik pada Jika b < 1, fungsi turun pada
Fungsi Eksponensial
y
= ( )
x
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Expo02.svg
Logaritma Logaritma dari
x
dengan basis
b >0 dan b≠1
didefinisikan sebagai
y
= log
b x
jika dan hanya jika Contoh. 4 0 log 1/ 3 9 2
x
=
b y
0
Contoh Selesaikan persamaan berikut a.
log 2
x
5 5
x
2 32 b.
log 27 3 3
x
27
x
3 3 3 1 3
x x
1
x
3
a m
a n n
Aturan Logaritma 1. l og
b mn
log
b m
log
b n
2. log
b m
log
b m
3. log
b m n
n
log
b
0
m
5. log
b b
1 log
b n
Notasi:
Logaritma Umum Logaritma Natural
log
x
ln
x
log 10 log
e x x
e x
& ln
x e
ln
x
=
x
(
x
> 0 ) ln
e x
=
x
Contoh : Selesaikan (untuk seluruh x real) 1 3
e
2
x
1
e
2
x
1 10 30
ln
utk ruas kiri & kanan 2
x
ln(30)
x
1.2
2
Contoh Sederhanakan: log 5 25
z
5
x
7 log 5
y
log 5
z
1/ 2 5
x
log 5
y
1 2 log 5
z
Fungsi Logaritma dan sifat-sifatnya log
b x
b
0,
b
1 1. Domain: 2. Range: ( ) 3. Melewati titik (1, 0).
4. Kontinyu pada 5. Jika b > 1, fungsi naik pada Jika b < 1, fungsi turun pada ( ) ( )
Grafik Fungsi Logaritmik Ex.
log 3
x y
3
x y x
log 1/ 3
x
(1,0)
y
log 3
x y
log 1/ 3
x
Fungsi Logaritma Û
y
= ( )
x
log
y
=
x
log
b
Û Û
x
= log
y
log
b x
= log
b y
Fungsi Logaritma adalah Invers dari Fungsi Eksponensial
Fungsi Logaritma basis e
y
= log
e x
= ln
x
e= 2.718281828
nb: Konstanta “e” e=Konstanta Napier (e=Euler)
nb: Konstanta “e” Luas daerah di bawah hiperbola 1/x dan di atas sumbu x antara x=1 dan x=e: 1
e
ò
dx
= ln
e
= 1
x
APLIKASI Fungsi Eksponensial & Fungsi Logaritma
Pertumbuhan Eksponensial Contoh: Film “
Pay It Forward
” (th 2000) Ide
: Setiap orang menolong 3 orang yang lain.
Jika orang yg ditolong merasakan manfaatnya, maka dia juga harus menolong orang lain, dst …
RUMUS yg mana?
Pertumbuhan Eksponensial
Contoh: Pada awal tahun kita menabung A rupiah bunga tertentu (misal=r) di sebuah Bank.
dengan Berapakah jumlah uang kita pada akan datang ?
waktu yang Untuk membuat model matematika dari masalah ini, dapat diidentifikasi beberapa variabel yang
• •
mempengaruhinya, misalnya suku bunga (interest rate) dan waktu.
Pertumbuhan Eksponensial
Model waktu diskrit
:
Jika masalah kita sederhanakan dengan asumsi suku bunga konstan “r” per tahun .
Waktu (t) sebagai variabel mengikuti bilangan bulat tak negatif t=0,1,2,3, … dan G(t) menyatakan jumlah uang pada saat setelah tahun ke t , maka kita mendapatkan:
G
(
t
) =
A
( )
t
Pertumbuhan Eksponensial Contoh: Menyimpan uang 100 jt di bank dengan bunga r (8%) T=0 Rp. 100 jt ( + 0.08
1 ) T=1 ( + 0.08
) 2 T=2
G
(
t
) =
A
( )
t
( + 0.08
3 ) T=3
Pertumbuhan Eksponensial
t G
(
t
) = ( + 0.08
t
) = 1,2, … ,20
Pertumbuhan Eksponensial Contoh: Menyimpan uang sejumlah 100 juta di bank dengan bunga 8% per tahun, tetapi bunga diberikan setiap r/n periode (misal n=periode dalam setiap bulan)
G
(
t
) =
A
æ ç è 1 +
r n
ö ÷ ø
nt
æ 100 1 + 0.08
12 ö ø 12 æ 100 1 + 0.08
12 ö ø 24 æ 100 1 + 0.08
12 ö ø 36 T=0 Rp. 100 M T=1 T=2 T=3
Pertumbuhan Eksponensial