Transcript I LIMITI Abbiamo visto che, studiando il campo di esistenza, il segno

I LIMITI
Abbiamo visto che, studiando il campo di esistenza, il segno e le intersezioni
con gli assi cartesiani, possiamo individuare in quali “aree” può trovarsi il
grafico di una funzione. In teoria, potremmo assegnare alla variabile
indipendente x numerosi valori appartenenti al dominio della funzione per
trovare i corrispondenti valori di y e, in tal modo, disegnare il grafico “per
punti” con una certa precisione. Questo procedimento, però, oltre ad essere
estremamente laborioso, non risponderebbe a due domande:
• se la nostra funzione è razionale fratta, cosa succede al suo grafico in
prossimità di uno degli zeri del denominatore, ovvero di un valore di x che
annulla il denominatore della funzione, e che quindi non appartiene al
dominio della funzione stessa?
• sia per le funzioni razionali intere che fratte, cosa succede al grafico se ci
spostiamo indefinitamente verso destra o verso sinistra, ovvero assegniamo
alla variabile x dei valori sempre più grandi in valore assoluto, ma
rispettivamente positivi o negativi?
CI OCCUPEREMO DI CAPIRE COME LA FUNZIONE SI COMPORTA AGLI ESTREMI
DEL DOMINIO E NEI PUNTI IN CUI NON ESISTE
Esistono quattro tipi di limiti
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒙𝟎 𝒇(𝒙) = 𝒍 PER X TENDENTE A UN NUMERO FINITO X0 LA FUNZIONE TENDE
AD UN VALORE FINITO L
POSSIAMO CONSIDERARE LA COPPIA (𝑋0 ; 𝑙) COME UN PUNTO DA RIPORTARE
SUL GRAFICO, UN MOVIMENTO ORIZZONTALE PER LA X E UNO VERTICALE PER
LA Y
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒙𝟎 𝒇(𝒙) = ∞ PER X TENDENTE A UN NUMERO FINITO X0 LA FUNZIONE TENDE
AD UN VALORE INFINITO
QUI OTTENIAMO LA COPPIA (𝑋0 ; ∞)
𝐥𝐢𝐦𝒙→∞ 𝒇(𝒙) = 𝒍 PER X TENDENTE A UN NUMERO INFINITO LA FUNZIONE TENDE
AD UN VALORE FINITO L
QUI OTTENIAMO LA COPPIA (∞; 𝑙)
𝐥𝐢𝐦𝒙→∞ 𝒇(𝒙) = ∞ PER X TENDENTE A UN NUMERO INFINITO LA FUNZIONE TENDE
AD UN VALORE INFINITO
QUI OTTENIAMO LA COPPIA (∞; ∞)
PER CALCOLARE UN LIMITE SI PROCEDE PER SOSTITUZIONE, MA PRIMA
DOBBIAMO AVERE ALCUNE INFORMAZIONI IMPORTANTI:
𝑁
0
=∞
𝑁
∞
=0
0
∞
=0
∞
0
=∞
(+∞) ∙ (+∞) = +∞
+∞ + ∞ = +∞
−∞ − ∞ = −∞
(−∞) ∙ (−∞) = +∞
(+∞) ∙ (−∞) = −∞
(−∞)3 = −∞
(−∞)2 = +∞
FORME DI INDECISIONE
0
0
∞
∞
0∙∞
+∞ − ∞
IL PRIMO TIPO DI LIMITE 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒙𝟎 𝒇(𝒙) = 𝒍 PUO’ ESSERE COSI’ RAPPRESENTATO
DOMINIO:(−∞; +∞)
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒 𝒇(𝒙) =
𝟐𝟒
𝟓
QUANDO LA x SI AVVICINA A 4 LA FUNZIONE SI
AVVICINA A
24
5
IMPORTANTE CAPIRE IL CONCETTO 4− MI
AVVICINO A 4 DA SINISTRA QUINDI PER VALORI
COME 3,8 OPPURE 3,9 PIU’ PICCOLI DI 4
IL CONCETTO 4+ MI AVVICINO A 4 DA DESTRA
QUINDI PER VALORI COME 4,2 OPPURE 4,1PIU’
GRANDI DI 4
IN ENTRAMBI I CASI LA FUNZIONE ASSUME VALORI
PROSSIMI A
24
5
PER ECCESSO E PER DIFETTO
IL SECONDO TIPO DI LIMITE 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒙𝟎 𝒇(𝒙) = ∞ PUO’ ESSERE COSI’
RAPPRESENTAT0 DOMINIO:(−∞; 𝟎)(𝟎; +∞)
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒙𝟎− 𝒇(𝒙) = −∞
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒙𝟎+ 𝒇(𝒙) = +∞
SE MI AVVICINO A ZERO DA SINISTRA 0- LA FUNZIONE
TENDE A -∞
SE MI AVVICINO A ZERO DA DESTRA 0+ LA FUNZIONE
TENDE A +∞
IL TERZO TIPO DI LIMITE 𝐥𝐢𝐦𝒙→∞ 𝒇(𝒙) = 𝒍 PUO’ ESSERE COSI’ RAPPRESENTAT0
DOMINIO:(−∞; 𝟎)(𝟎; +∞)
𝐥𝐢𝐦𝒙→−∞ 𝒇(𝒙) = 𝟎−
𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞ 𝒇(𝒙) = 𝟎+
SE CONSIDERO LA FUNZIONE A - ∞ MI ACCORGO CHE SI
APPIATTISCE E DIVENTA ASINTOTICA ALL’ASSE X ASSUMENDO
VALORE 0- PERCHE’ NELLA PARTE NEGATIVA DELLE Y
SE CONSIDERO LA FUNZIONE A + ∞ MI ACCORGO CHE SI
APPIATTISCE E DIVENTA ASINTOTICA ALL’ASSE X ASSUMENDO
VALORE 0+ PERCHE’ NELLA PARTE POSITIVA DELLE Y
IL QUARTO TIPO DI LIMITE 𝐥𝐢𝐦𝒙→∞ 𝒇(𝒙) = ∞PUO’ ESSERE COSI’ RAPPRESENTAT0
DOMINIO:(−∞; +∞)
𝐥𝐢𝐦𝒙→−∞ 𝒇(𝒙) =+∞
𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞ 𝒇(𝒙) = +∞
SE CONSIDERO LA FUNZIONE A - ∞ MI
ACCORGO CHE TENDE A VALORI DI Y MOLTO
GRANDI E POSITIVI + ∞
SE CONSIDERO LA FUNZIONE A + ∞ MI
ACCORGO CHE TENDE A VALORI DI Y MOLTO
GRANDI E POSITIVI + ∞