Transcript Costruire, congetturare e dimostrare con GeoGebra (Sasso)

Matematica in laboratorio
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Unita
` guidate
Attivita
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Attivita
GeoGebra
Risorse digitali
Dato un parallelogramma ABCD, considera un punto P interno al parallelogramma.
Se hai difficolta` a svolgere
le attivita` guidate,
fai riferimento ai file
di GeoGebra disponibili.
a. Al variare di P internamente al parallelogramma, la somma delle aree dei triangoli APD
e BPC cambia o resta costante?
b. Che cosa accade se il punto P e` esterno al parallelogramma?
A. COSTRUZIONE
2. Traccia dal punto A la parallela a BC e dal punto C la parallela ad AB.
3. Crea il punto di intersezione delle due rette di cui al punto 2 e chiamalo D.
Il quadrilatero ABCD, in base alla costruzione effettuata, e` certamente un parallelogramma: per quale motivo?
4. Crea un punto P, internamente al parallelogramma.
5. Costruisci con lo strumento Poligono i due triangoli APD e BPC. GeoGebra
chiamera` tali triangoli poli1 e poli2 (come puoi verificare facendo clic su di essi
con il tasto destro del mouse od osservando la Vista Algebra).
Informatica – GEOGEBRA / ALGORITMI
1. Costruisci due segmenti consecutivi AB e BC, come quelli nella figura riportata
piu` sotto.
Matematica in laboratorio
Costruire, congetturare e dimostrare
6. Dal menu Visualizza seleziona l’opzione Vista foglio di calcolo e crea nel foglio
di calcolo le celle mostrate nella figura qui sotto, in cui riportare le aree dei
triangoli APD e BPC e la loro somma (nelle celle B1, B2 e B3 dovrai digitare rispettivamente poli1, poli2 e poli1+poli2).
La matematica a colori – Volume 2 azzurro – Petrini f 2014 – De Agostini Scuola SpA – Novara
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Unita
Area
B. ESPLORAZIONE
1. Trascina il punto P in modo che si mantenga interno al parallelogramma
ABCD; la somma delle aree dei due triangoli varia al variare di P?
3. Che cosa ti aspetti circa la somma delle aree dei triangoli APB e CPD? Secondo
te, si mantiene costante al variare di P?
4. Che cosa accade se trascini il punto P al di fuori del parallelogramma ABCD?
La somma delle aree di APD e BPC si mantiene ancora costante? Effettua varie
esplorazioni, trascinando il punto P sia sotto la retta AB, sia sopra la retta CD,
sia a destra della retta BC, sia a sinistra della retta AD.
C. DIMOSTRAZIONE
Prova a dimostrare la proprieta` osservata, limitatamente al caso in cui il punto P sia
interno al parallelogramma, seguendo questa traccia:
1. indica con a e b le misure dei lati AB e BC del parallelogramma;
2. traccia la retta passante per P e perpendicolare a BC e AD, indicando con H e K
i punti di intersezione di tale retta con le rette BC e AD;
3. indica con h e k le misure dei segmenti PH e PK;
Informatica – GEOGEBRA / ALGORITMI
5. In quale regione del piano deve essere situato il punto P, esternamente al parallelogramma, perche´ continui a mantenersi costante la somma delle aree di
APD e BPC? Sai formulare una congettura?
Matematica in laboratorio
2. Muovi i punti A, B e C in modo da ottenere un altro parallelogramma, e ripeti
le esplorazioni precedenti per vedere se si mantengono validi i risultati che
hai trovato nelle altre configurazioni.
4. esprimi la somma delle aree dei due triangoli APD e BPC in funzione delle variabili introdotte;
5. rifletti ora sul segmento HK: che cosa rappresenta la sua lunghezza per il parallelogramma ABCD? Che cosa puoi ricavare, quindi, sulla somma delle aree dei
due triangoli APD e BPC? A questo punto puoi facilmente concludere la dimostrazione.
` proposte
Attivita
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Una generalizzazione del teorema di Pitagora
a. Costruisci un triangolo rettangolo ABC, di ipotenusa BC.
b. Costruisci, esternamente al triangolo ABC, i triangoli equilateri di lati AB, BC e AC
e chiama tali triangoli rispettivamente T1, T2 e T3.
c. Calcola la somma delle aree di T1 e T3.
d. Confronta l’area di T2 con la somma delle aree di T1 e T3. Che cosa noti?
e. La proprieta` osservata si conserva trascinando i vertici del triangolo ABC? Si puo`
enunciare un teorema analogo a quello di Pitagora sostituendo i quadrati con i
triangoli equilateri? Formula una congettura e cerca di dimostrarla.
La matematica a colori – Volume 2 azzurro – Petrini f 2014 – De Agostini Scuola SpA – Novara
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