Transcript Gli enti geometrici fondamentali

GEOMETRIA EUCLIDEA o
RAZIONALE
CONCETTI FONDAMENTALI
Etimologia
L’etimologia è la scienza che studia
l’origine e il vero senso delle parole
confrontandole con quelle delle lingue
affini e con quelle delle lingue antiche
(fonte vocabolario treccani)
Etimologia di “geometria”
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La geometria (dal greco antico γεωμετρία
(geometria), composto da γεω, geo = "terra"
e μετρία, metria = "misura", tradotto quindi
letteralmente come misurazione della terra
La geometria è una parte della matematica che
studia le proprietà delle figure, o più
precisamente le relazioni fra punti, rette, piani
e spazi. Sviluppatasi inizialmente su basi
empiriche si è poi evoluta a livello teorico.
L’antico significato si riferisce chiaramente all’uso che ne
facevano gli antichi egizi che dovevano ritracciare i
confini dei campi cancellati dalle alluvioni ricorrenti del
Nilo
Le proprietà geometriche dei
corpi
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Le proprietà geometriche dei corpi sono:
1.Forma
2.Estensione

Modello geometrico
Osserviamo le seguenti due figure
Quali sono le somiglianze e
le differenze?
Chiamiamo
il
secondo
“modello
geometrico”
perché tiene conto della
forma e dell’estensione
(proprietà geometriche) ma
non di altro (colore,
materiale ecc.)
Si dice modello geometrico la rappresentazione di
un oggetto reale che tiene conto solo delle
proprietà geometriche trascurando le alte
proprietà
La geometria euclidea
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La geometria che si studia nelle scuole medie è opera
degli studi dei geometri e filosofi greci, alessandrini
(egiziani) e della Magna Grecia
Si chiama euclidea perché Euclide scrisse gli “Elementi”
in 13 libri che riassumevano le conoscenze geometriche
del tempo pertanto ne rappresenta un suo compendio.
La sua geometria è costruita su 23 definizioni(riguardanti
enti geometrici primitivi: punto, linea ecc...), 5 assiomi(o
postulati) e 5 nozioni comuni (enunciati di carattere
generale chiaramente evidenti). Ogni teorema viene da
Euclide dimostrato per mezzo di successive deduzioni
derivanti dagli assiomi e dai teoremi dimostrati in
precedenza.
GEOMETRIA
Può essere
Può essere
INTUITIVA
RAZIONALE
Quella sviluppata dagli
antichi Egizi
Quella sviluppata dagli
antichi Greci (organizzata da
Euclide)
INTUITIVA
Si basa su
OSSERVAZIONI
PROVE
TENTATIVI
ESPERIENZE
RAZIONALE
Parte da
ENTI e
CONCETTI
PRIMITIVI
Non definibili, ma ASSIOMI o
descritti mediante POSTULATI
Concetti e enti primitivi
Concetti e enti che non si possono definire con idee
più elementari
Assiomi o postulati
Affermazioni che esprimono delle proprietà
evidenti, suggerite dalla nostra intuizione e dalla
nostra esperienza. Sono proprietà che
“supponiamo” essere vere e che pertanto non
dimostriamo.
ENTI e
CONCETTI
PRIMITIVI
ASSIOMI o
POSTULATI
Da cui si deducono
Mediante
definizioni
ENTI
GEOMETRICI NON
PRIMITIVI
Mediante
dimostrazioni
PROPRIETA’ dei NUOVI
ENTI GEOMETRICI
(=TEOREMI)
DALLA GEOMETRIA INTUITIVA (degli
antichi Egizi studiata nelle scuole elementari
e medie)
ALLA GEOMETRIA RAZIONALE (degli
antichi Greci studiata nelle scuole superiori)
Enti geometrici primitivi
Gli enti primitivi della geometria sono:
PUNTI
RETTE
PIANI
SPAZIO
Il punto
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Provate a dire ciò che è punto e quale può essere il
suo modello
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Modello di punto è: granello di sabbia, polline ….
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Euclide ci dice che “punto è ciò che non ha parti”
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Ente geometrico
dimensioni
fondamentale
privo
di
Un punto nella geometria euclidea non ha
grandezze di alcun tipo e nessuna caratteristica
in generale tranne la sua posizione
Rappresentazione di un punto
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Il
modo
migliore
per
rappresentare
il
punto
(modello) e quello di poggiare
leggermente
una
matita
appuntita su un foglio
Per convenzione i punti
vengono indicati con una
lettera
in
stampatello
maiuscolo
La retta
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La retta viene definita da Euclide come un
concetto primitivo
Si dice primitivo un concetto che, per la
propria semplicità, si rinuncia a definire
mediante termini e concetti già definiti
Tutto questo ci fa capire come in geometria e
scienze la definizione dei concetti sia una
cosa fondamentale
Altra definizione di retta
Si definisce retta un’insieme
infinito e illimitato di punti posti
uno dietro l’altro, senza soluzione
di continuità, che mantengono
sempre la stessa direzione
Senza soluzione di
continuità significa che
fra i punti non ci sono
spazi vuoti
Modello e dimensioni di retta
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Per modello si retta possiamo
prendere in considerazione un
filo infinito teso fra due punti
La retta non ha spessore e ha
solo
una
dimensione:
la
lunghezza
Per
convenzione
le
rette
vengono indicate con lettere
dell’alfabeto
stampatello
minuscolo
Piano
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Il piano è un concetto primitivo della
geometria euclidea
Lo possiamo immaginare come composto
da una serie infinita e illimitata di rette
aventi la stessa direzione, una adiacente
all’altra
Il piano ha spessore nullo e ha due
dimensioni lunghezza e larghezza
Modello e rappresentazione del
piano
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Come modello di piano possiamo prendere un foglio
di carta
Per
rappresentarlo
possiamo
utilizzare
un
parallelogramma e per convenzione si utilizza, per
indicarlo, una lettera dell’alfabeto greco minuscola
α
Piano α
Geometria piana
La geometria piana è quella parte della
geometria che studia le figure geometriche nel
.
piano
Geometria solida
La geometria solida è quella parte della
geometria che si occupa delle figure
geometriche costituite da punti che non
appartengono tutti ad uno stesso piano.
In parole povere, la geometria solida studia le figure
nello spazio
Definizione di solido
Si definiscono solidi delle figure
geometriche che si estendono nello
spazio tridimensionale
Hanno tre dimensioni:
1 Lunghezza
3 Altezza
altezza
2 Larghezza
lunghezza
zz
e
gh
lar
a
Concetti primitivi
Tra i concetti primitivi della geometria vi
sono ad esempio quelli di
MOVIMENTO RIGIDO: una figura può
muoversi nel piano e nello spazio senza
deformarsi;
APPARTENENZA: un ente geometrico fa
parte di un altro
Assiomi o Postulati
Gli assiomi scelti devono soddisfare le
seguenti condizioni:
COMPATIBILITA’:
non devono contraddirsi l’uno con l’altro
INDIPENDENZA:
dalle proprietà affermate dell’uno non si
devono poter dedurre le proprietà affermate
dell’altro
Assiomi fondamentali
- Una retta contiene infiniti punti
- Un piano contiene infiniti punti e infinite rette
- Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette,
infiniti piani
Assiomi di appartenenza
- Per due punti distinti passa una ed una sola retta
(= due punti distinti appartengono a una sola retta)
- Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano (=
tre punti non allineati appartengono a un solo piano)
- La retta passante per due punti distinti di un
piano giace completamente sul piano
Assioma di ordinamento
-La retta è un insieme di punti totalmente ordinato,
tale che:
- Dati due punti A e B, o A precede B o B precede A.
A
B
- Se A precede B e B precede C, allora A precede C.
A
B
C
Postulato di partizione del
piano
Una retta r di un piano divide il piano in due parti
non vuote tali che:
r
A
B
•Se i punti A e B appartengono alla stessa parte, allora il
segmento AB è contenuto in questa parte
r
C
D
•Se i punti C e D appartengono a parti diverse, allora il
segmento CD ha in comune con r un punto
Enti geometrici non primitivi:
definizioni
SEMIRETTA: ciascuna delle parti in cui una
retta è divisa da un suo punto.
Il punto è detto: ORIGINE delle semirette
Due semirette si dicono OPPOSTE se:
• hanno solo l’origine in comune
• appartengono alla stessa retta
SEGMENTO: la parte di retta compresa tra
due suoi punti
A
B
I punti A e B vengono detti gli estremi del segmento
In una retta
ci sono infiniti punti
(lo dice l’assioma).
E in un segmento?
SEGMENTI PARTICOLARI
Segmenti CONSECUTIVI: due segmenti che
hanno in comune un estremo e nessun altro
punto
Segmenti ADIACENTI: due segmenti che
oltre ad essere consecutivi appartengono alla
stessa retta
SEMIPIANO: ciascuna delle due parti in cui
un piano è diviso da una sua retta, la retta è
detta origine del semipiano
Due semipiani si dicono OPPOSTI se:
• hanno solo l’origine in comune
• appartengono allo stesso piano
Rette INCIDENTI: rette complanari che hanno
un punto in comune
Rette PARALLELE: rette complanari che non
hanno nessun punto in comune
Rette SGHEMBE: rette non complanari che non
hanno nessun punto in comune
Postulato di Euclide
Per un punto esterno a una retta passa una e una
sola retta parallela alla retta data
Fascio PROPRIO di rette: rette complanari
passanti per uno stesso punto detto centro del
fascio
Fascio IMPROPRIO di rette: rette complanari
parallele ad una stessa retta