Transcript seconda scheda

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Polinomi. Attività 2
I. Fattorizzare un polinomio col procedimento basato sulla divisione di polinomi
1. Completa la risoluzione della seguente equazione
2x4 – 2x3 – 3x2 + 2x + 1 = 0
Il polinomio P al primo membro è di …. grado, perciò l’equazione può avere .... soluzioni reali.
A. cerco le soluzioni per tentativi: il termine noto 1 ha come divisori: 1 e -1
- sostituisco 1 ad x e ottengo ………………………………… = 0 ⇒ x1 = 1 è soluzione
- sostituisco -1 ad x e ottengo ………………………………… = 0 ⇒ x2 = -1 è soluzione
B. Per cercare altre soluzioni scompongo il polinomio P in fattori.
−1 è soluzione dell'equazione ⇔ P è divisibile per (x +1) ⎫
⎬ ⇔ P è divisibile per (x +1)( x −1) = x 2 −1
1 è soluzione dell'equazione ⇔ P è divisibile per ( x −1) ⎭
Eseguo la divisione (2x4 – 2x3 – 3x2 + 2x + 1) : (x2 – 1)
Passi da seguire
4
a.
Divisione
2x
: x2 = 2x2
2x4 – 2x3 – 3x2 +2x +1 x2 – 1
b. Moltiplicazione 2x2(x2 – 1) = ……..
– (………)
c. Sottrazione
2x2 – 2x – 1
2x4 – 2x3 – 3x2 + 2x + 1 – (……..) = …….
– 2x3 – x2 + 2x + 1
Ripeti i primi 3 passi
– (………)
a1. –2x3 : x2 = –2x
b1. –2x (x2 – 1) = ……
– x2 + 1
c1. – 2x3 – x2 + 2x + 1– (……..) = …….
– (………)
Ripeti i primi 3 passi
…..
a2. –x2 : x2 = –1
b2. –1(x2 – 1) = ……
Ottengo
c2. – x2 + 1– (……..) = …….
2x4 – 2x3 – 3x2 + 2x + 1 = (x2 – 1)( 2x2 – 2x – 1)
C. Risolvo l’equazione con il principio di annullamento del prodotto
2. Il primo passo della divisione di polinomi chiede di dividere il monomio di grado massimo del
polinomio dividendo (2x4) per il monomio di grado massimo del divisore (x2). La divisione è
perciò agevole se i due polinomi sono ordinati entrambi secondo le potenze decrescenti di x.
Spiega perché anche le seguenti due divisioni conducono alla divisione eseguita nel quesito 1.
(2x + 1 + 2x4 – 2x3 – 3x2 ) : (– 1 + x2)
(– 2x3 – 3x2 + 2x + 1 + 2x4) : (– 1 + x2)
……………………………………………………………………………………………………….
3. Il primo passo della divisione di polinomi chiede di eseguire la divisione fra due monomi. Esegui
le divisioni qui sotto.
x4 : x = …. (6x5) : (2x3) = ….. (3x4) : (2x3) = …… (axn) : (bxm) = …… (con n ≥ m, a e b interi)
4. L’ultimo passo della divisione fra polinomi richiede di eseguire la sottrazione fra due polinomi;
calcola le seguenti differenze di polinomi
3x4 + 4x2 + 1 – (2x3 – x2 ) = ………………………………………….. = …………………..
3x5 – x3 + 3x – (2x3 – x2 + 3x) = ……………………………………… = …………………..
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Anna Maria Miele, Treccani Scuola
II. Altri metodi per fattorizzare un polinomio
5. È data la seguente equazione
x4 – 5x2 + 6 = 0
Il polinomio al primo membro è di 4° grado, perciò l’equazione può avere 4 soluzioni reali.
Cerco le soluzioni per tentativi:
- il termine noto 6 ha come divisori: 1 e -1, 2 e -2, 3 e -3, 6 e -6
- se sostituisco uno per volta questi numeri ad x, non trovo in nessun caso 0.
Quindi non posso ripetere il procedimento basato sulla divisione di polinomi.
Completa il seguente procedimento per scomporre il polinomio in fattori e risolvere l’equazione.
Osservo che x4 – 5x2 + 6 = (x2) 2 – 5x2 + 6
Perciò scelgo l’incognita ausiliaria t = x2 ⇒ t2 = x4
Risolvo l’equazione t2 – 5t + 6 = 0
5 − ....
= ....
5 ± ....
2
⇒
- Calcolo Δ = …………. = ………. = ……. e t =
5 + ....
2
t2 =
= ....
2
- Scompongo in fattori t2 – 5t + 6 = (t – ….)(t – …..)
- Torno all’incognita x e risolvo con il principio di annullamento del prodotto l’equazione
€0 ⇒ x 2 = .... ⇒ x1 = − ....
x 2 − .... =
x 2 = ....
x 2 − .... x 2 − .... = 0 ⇒
x = − ....
x 2 − .... = 0 ⇒ x 2 = .... ⇒ 3
x 4 = ....
Questo stesso procedimento si può ripetere per risolvere tutte le equazioni del tipo
ax4 + bx2 + c = 0
Il polinomio al primo membro è detto anche biquadratico e l’equazione è detta biquadratica.
t1 =
(
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)(
)
6. Risolvi rapidamente le seguenti equazioni applicando i prodotti notevoli richiamati qui sotto.
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
3
2
2
3
3
a – 3a b + 3ab – b = (a – b)
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
x = − ....
x 2 − .... = 0 ⇒ x 2 = .... ⇒ 1
2
2
4
x – 9 = 0 ⇒ x − .... x + .... = 0 ⇒
x 2 = ....
(
)(
(
)
)
x 2 + .... = 0 ⇒ x 2 = .... ⇒ ..................
2
(
)
x4 – 8 x2 + 16 = 0 ⇒ x 2 − .... = 0 ⇒ x 2 − .... = 0 ⇒ x 2 = .... ripetuta due volte ⇒
x1 = x 2 = ...
x 3 = x 4 = ...
€
3
x3 – 12 x2 + 6x – 8 = 0 ⇒ ( x − ...) = 0 ⇒ x − ... = 0 ⇒ x = ... ripetuta tre volte ⇒ x1 = x 2 = x 3 = ...
(
)
€ ( x − ....) x 2 + ...x + ... = 0 ⇒
x3 – 8 = 0 ⇒
x − .... = 0 ⇒ x1 = ....
x 2 + ...x + ... = 0 ⇒ ........................................
€
7. Risolvi rapidamente le seguenti equazioni anche raccogliendo un fattore comune.
1 2
x = .... ⇒ x1 = x 2 = ....
1 4€ 5 2
1 2 2
4
x − x = 0 ⇒ x x − .... = 0 ⇒
x 3 = ...
4
4
4
x 2 − .... = 0 ⇒ x 2 = .... ⇒
x 4 = ...
(
)
x4 – 12 x3 + 6x2 – 8x = 0 ⇒ x(…………...) = 0 ⇒ x(……)3 = 0 ⇒
€
x = .... ⇒ x1 = ...
(.........) 3 = 0 ⇒ x 2 = x 3 = x 4 = ...
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Anna Maria Miele, Treccani Scuola
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