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Physik für Mediziner und Zahnmediziner
Vorlesung 16
Prof. F. Wörgötter (nach M.Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 1
Strahlengang: Konvexe Linse:
Erste Zusammenfassung
f1 
n1
n 2  n1
R
f1
n1
n2
f2 
f2
f1
f2

n1
n2
oder
n1
f1

n2
: 
Brechkraft
f2
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n2
n 2  n1
R
Anmerkung
• Achtung:
– Im strengen Sinne ist all dies Wellenlängenabhängig
• f1 (und f2) sind für verschiedene Farben verschieden
(chromatische Aberration)
– Des weiteren führt auch die Annahme von x=0 zu
Problemen
• f1 (und f2) sind für achsennahe und achsenferne Strahlen
verschieden (sphärische Aberration)
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Brechkraft
• Brechkraft wird angegeben in Dioptrien (dpt)
• die Einheit der dpt ist 1/m
Wegen: f  n1 R
1
n2  nn11  n 2    n 1  n 2  n 2  n 1
n1
n2

:  Brechkraft
f1
f2
f2 
n2g
n 2  n1
b
R
f1
f2
R
Die Brechkraft ist groß für kleine Radien („kuglige“ Linsen, Wassertropfen!)
Die Brechkraft der Hornhaut beträgt normalerweise etwa 43 Dioptrien (dpt),
die Brechkraft der Linse ungefähr 19 dpt. Das normalsichtige Auge hat
insgesamt eine Dioptrienzahl von 65, wobei dieser Wert nicht durch bloßes
addieren der Brechkraft von Linse und Hornhaut ermittelt wird.
Wie jedoch funktioniert eigentlich die Abbildung an einer Linse insgesamt?
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Strahlengang: Linsen mit negativen
Brennweiten
G
F1
F2
f2
f1
Achtung: Das ist
umgekehrt (negativ)
zur Sammellinse!
Zerstreuungslinsen:
• bildseitiger Brennpunkt F2 liegt auf der Gegenstandseite
• gegenstandseitiger Brennpunkt F1 liegt auf der Bildseite
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Abbildungen
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Erzeugung einer Abbildung: Versuch
Lochkamera
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Lochkamera: Konstruktion des Bildes
Punkt
wird Fleck
Kleinere Blende (kleineres Loch): größere Schärfe
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Linsenabbildung: einfacher Fall
Hauptachse
Objekt
Bild
Wie konstruiert man das richtig ?
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Versuch: Linsenabbildung
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Konstruktion einer Abbildung von G
man benötigt zur Beschreibung:
Optische Achse (o.A.)
Position der Linse (genauer: Hauptebene H)
Gegenstand- und bildseitige Brennweiten f1,f2 (Brennpunkte F1, F2 )
Knotenpunkt K (im Abstand f2-f1 hinter der Hauptebene)
H
Der Strahl durch den Knotenpunkt ist
der einzige der nicht gebrochen wird.
G
F1
K
F2
o.A.
B
f1
g
Gegenstandsweite g
f2
b
Bildweite b
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Abbildungsgleichung
Kongruente Dreiecke (Winkelgleichheit)
Streckenverhältnisse sind gleich!!
(Strahlensätze)
H
G
F1
K
o.A.
F2
B
f1
g
f2
b
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Abbildungsgleichung
Damit:
B

G
Und:
f1
g  f1
B

b  f2
G
G
f2
K
o.A.
B
f1
f2
g
Also:
f1
g  f1
b
Durch Umstellen

b  f2
f2

f1
g

f2
b
1
Ergebnis (wichtig)
f1
g

f2
1
b
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Abbildungsgleichung: graphische
Darstellung
f1
g

f2
b
1
Umstellen und Auftragen von b über g
(hmmmmmmm, nicht sehr schön….)
f2
f1
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Abbildungsgleichung: graphische
Darstellung
f1
g

f2
1
1/f2
b
Übergang auf dioptrische Einheiten setze:
Damit
Also:
Grade!
Achsenabschnitt
Nullstelle
1/f1
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Abbildungsgleichung: graphische
Darstellung
1/f2
Gegenstand ist unendlich entfernt,
also 1/g = 0, damit:
1/b = 1/f2 oder b = f2
Bildweite gleich (rechtsseitiger)
Brennweite!
Gegenstand sitzt auf f1, also
g = f1 (bzw. 1/g = 1/f1)
Damit 1/b = 0 also
1/f1
Bild verschwindet im Unendlichen
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Abbildungsgleichung: graphische
Darstellung
Nochmal, direkt:
f1
g

f2
Gegenstand ist unendlich entfernt,
also 1/g = 0, damit:
1
b
1/b = 1/f2 oder b = f2
Bildweite gleich (rechtsseitiger)
Brennweite!
f2
Gegenstand sitzt auf f1, also
g = f1 (bzw. 1/g = 1/f1)
Damit 1/b = 0 also
Bild verschwindet im Unendlichen
f1
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Abbildungsgleichung: graphische
Darstellung
Was geschieht wenn der Gegenstand näher als f1 an der Hauptebene
dran ist?
Also für: g < f1
!?
Dann ist: f1/g > 1
f1
g

f2
1
b
Somit muß b negativ werden, damit die Abbildungsgleichung erhalten bleibt.
Das Bild erscheint vor (???) der Linse.
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Abbildungsgleichung: graphische
Darstellung
f1
g

f2
1
b
b < 0 entspricht dem
anderen Ast der
Kurve.
f2
Wir erhalten ein
virtuelles Bild.
f1
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Gleichartigkeit der Konstruktion
Annahme K=0 !
(dünne Linse, kommt gleich)
Sammellinse
G
K
F2
F1
B
g > f1
Note the
difference
g < f1
G
K
F1
F2
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Divergente
Strahlen !!
Auf dieser
Seite kann
kein Bild
entstehen !
Virtuelles Bild vor der Linse
Strahlen „nach hinten“ verlängern  kreuzen sich.
Im Schnittpunkt entsteht das virtuelle Bild.
B
G
K
F1
F2
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Linsen mit negativen Brennweiten...
Zerstreuungslinse
G
F1
F2
f2
f1
Achtung: Das ist
umgekehrt (negativ)
zur Sammellinse!
Zerstreuungslinsen:
• bildseitiger Brennpunkt F2 liegt auf der Gegenstandseite
• gegenstandseitiger Brennpunkt F1 liegt auf der Bildseite
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Virtuelles Bild vor der Linse!
Sammellinse
G
F2
K
F1
B
G
F2
F1
Zerstreuungslinse
Divergente
Strahlen !!
Auf dieser
Seite kann
kein Bild
entstehen !
das Bild liegt auf der Gegenstandseite es ist auch ein virtuelles Bild
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Kann man virtuelle Bilder sehen?
Spiegel
Divergente Strahlen
Lot
B
Virtuelles Bild
G
Auch: Mikroskop!
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Versuch Hohlspiegel
Reelles
Bild
G
x
F
B
B
x
F
G
Virtuelles
Bild
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dünne Linse in Luft
Wenn Linsendicke  0, dann kann
man die Brechung der Linse vernachlässigen.
Damit ist n1 = n2 (jeweils Luft, n≈1!)
F
Brechkraft:
H
Deshalb: f1 = f2
F
K
K = f1 – f2 = 0
f
f
Besonderheiten:
• gegenstand- und bildseitige Brennweiten sind gleich: f1=f2=f
• Knotenpunkt K liegt im Schnittpunkt von o.A. und H
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Abbildungsgleichung der dünnen Linse in
Luft
Bislang:
f1

g
f2
1
b
Teilen durch f
Jetzt
1
g

1
b

1
f
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virtuelle
Bilder
Wir hatten
B

G
Und:
f1
g  f1
B
G
G

b  f2
f2
K
o.A.
B
f1
g
f2
b
Das ist jedoch nix anderes als die VERGRÖßERUNG
Definition der Vergrößerung V:
V 
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B
G
Vergrößerung
V 
V 
B

f1
G
g  f1
B
b  f2
G

f2
 für hohe Vergrößerung muss
sich das Objekt nahe dem vorderen
Brennpunkt befinden (g≈f1)
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...wrap up
• Strahl durch den vorderen Brennpunkt verläuft hinter der H.E. parallel zur o.A.
• Strahl durch den hinteren Brennpunkt verläuft vor der H.E. parallel zur o.A.
• Strahl durch den Knotenpunkt ändert seine Richtung nicht
Brennweiten einer Kugelfläche
mit Radius R:
f1
f2

n1
n2
oder
f1 
n1
n 2  n1
n1
f1

n2
R
: 
f2 
n2
n 2  n1
Brechkraft
f2
Besonderheiten einer dünnen Linse in Luft:
• Gegenstand- und bild-seitige Brennweiten sind gleich: f1=f2=f
• Knotenpunkt K liegt im Schnittpunkt von o.A. und H
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R
wrap up: Konstruktion einer Abbildung
• zeichne Strahl durch Knotenpunkt K
• zeichne Strahl durch vorderen Brennpunkt F1
• zeichne Strahl durch hinteren Brennpunkt F2
• Bild liegt im Schnittpunkt der Strahlen
H
G
F1
K
o.A.
F2
B
f1
g
f2
b
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Zusammenfassung Geometrie
Optik
G.-Lage
B.-Lage
B.-Typ
Sammel-L.
>f
hinter
reell
<f
vor
virtuell
>f
vor
virtuell
<f
hinter
reell
>f
vor
reell
<f
hinter
virtuell
immer <f
hinter
virtuell
Zerstreu.-L.
Hohlspiegel
Spiegel
(R damit f)
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Optik des Auges
Elektromagnetische Strahlung mit Wellenlängen von 400750nm empfinden wir als Licht. Die Lichtstrahlen müssen zur
Bildenststehung im Auge gebrochen und auf der Netzhaut scharf
abgebildet werden. Dazu trägt die Hornhaut den größten Teil
der Brechkraft bei, die Linse ermöglicht zusätzlich durch
Änderung der Krümmung die Scharfeinstellung auf verschiedene
Entfrenungen. Fehlsichtigkeiten (...) beruhen auf
Missverhältnissen zwischen der Brechkraft des Auges und Länge
des Augapfels. Die Pupille wirkt als variable Blende, verringert
Abbildungsfehler und reguliert den Lichteinfall. Die Form des
Auges wird durch den Augeninnendruck aufrechterhalten. ...
aus: Klinke/Silbernagel „Lehrbuch der Physiologie“
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Anatomie des Auges
aus: Klinke/Silbernagel „Lehrbuch der Physiologie“
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Augenmodell
aus: Klinke/Silbernagel „Lehrbuch der Physiologie“
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Auge: zusammengesetztes optische
System
φC =43dpt
Hornhaut
Augenlinse
(+Kammerwasser)
φL =16dpt (entspannt, d.h. fernakkommodiert)
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Zusammengesetzte optische Systeme
f1
f1
f2
f2
1
f

1
f1

1
f2

D
f1  f 2

1

f1
f
f
D
Für kleines D
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1
f2
Strahlengang:
vereinfachtes Augenmodell
K
f2
f1
Knotenpunkt K:
etwa 17mm vor Retina
Brennweite: f2=22.8mm
Brechungsindex: n≈1.336
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Strahlengang:
vereinfachtes Augenmodell: Aufgabe
K
Übung: bestimmen Sie die
Bildgröße eines 1.86m hohen
Gegenstandes im Abstand von
10m vor dem Auge
Knotenpunkt K:
etwa 17mm vor Retina
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Ziliarmuskel und Zonularfasern
Strärkere Linsenkrümmung
ergibt stärkere Brechkraft!
aus: Klinke/Silbernagel „Lehrbuch der Physiologie“
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Abbildungsgleichung: Bezug zur
Brechkraft (und im Auge)
f1
n1
oder
alle sind gleich!
f2
n2
Man darf damit
multiplizieren
n1

n2
f1
: 
Situation fürs
Auge
Brechkraft
f2
x
Luft auf der G.-Seite: n1 = 1
f1

f2
g
b
n1
n2
g

b
1
sowie

n1
n2

f1
f2
damit:

n 2  n1
R
 
1
f

1
g

n
b0
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das Auge: feste Bildweite, variable
Brechkraft (Brennweite)
 
1
variable Größen:
f
Gegenstandweite g
Brechkraft φ (Brennweite f)
Steigung =1
 
 
n
1
f
b0

1
g

n
b0
1
g
Gradengleichung
nWasser und
Bildweite b0 sind
im Auge konstant!
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normalsichtiges Auge
 
1
 
f
1
f

1
g

n
b0
Akkommodationsbreite
 
n
b0: Bildweite (des normalsichtigen
Auges: ca. 22.8mm)
b0
gN: Nahpunkt (Auge „angespannt“)
1
1
1
gF
gN
Fernpunkt = ∞
gF: Fernpunkt (Auge „entspannt“)
g
Nahpunkt ca. 10 cm
b0
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Akkommodation
Experimente
weit entfernter Gegenstand
Beobachtung:
Deutung:
naher Gegenstand
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Fehlsichtigkeiten
normal
normal
Compare !
Hypermetrie (Weitsichtigkeit)
Compare !
Myopie (Kurzsichtigkeit)
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Fehlsichtigkeiten
normal
normal
Compare !
Hypermetrie (Weitsichtigkeit)
Compare !
Myopie (Kurzsichtigkeit)
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