Transcript Présentation RDM
Comportement du solides déformable Résistance des matériaux (RDM)
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I
But de la RDM
La résistance des matériaux est l'étude de la résistance déformation des solides Cela permet donc de : et de la (arbres de transmission, bâtiments, fusées).
•Déterminer les
dimensions fonctionnelles de la pièce
•Choisir le
matériau constituant la pièce
•Vérifier la
résistance à la "casse" de la pièce : (Dépassement de la limite à la résistance élastique du matériau)
•Vérifier la
résistance à la "déformation" de la pièce
•Vérifier la
résistance à la "fatigue" de la pièce : (Rupture après un certain nombre de cycles de déformation)
•Optimiser le
coût de la pièce par changement des formes, des dimensions, des matériaux, ...
I
But de la RDM
Contraintes subies par l’aile d’avion Déformations subies par l’aile d’avion
I
But de la RDM
Vérification de la résistance d’une aile d’avion
I
But de la RDM
Répartition des contraintes dans la pièce sous charges
II
Les hypothèses de la RDM
1 La géométrie des pièces : Pour tous les calculs RDM, on utilise le modèle « Poutre » (solides dont une dimension est très supérieure aux deux autres).
Si la pièce à étudier ne peut pas être modélisée par une poutre, on utilise le calcul par éléments finis qui ne peut-être que logiciel .
II
Les hypothèses de la RDM
2 Les matériaux étudiées:
Ils doivent être : Isotropes : on admet que les matériaux ont, en un même point, les mêmes
propriétés mécaniques dans toutes les directions
.. Elle n'est pas vérifiée pour les matériaux tels que
le bois
, les
matériaux composites...etc.
Homogènes : On admet que les matériaux ont les
caractéristiques
(composition)
en tout point
.
mêmes
Continus :
pas de fissure, pas de creux
...
II
Les hypothèses de la RDM
3 Les charges appliquées:
Les charges sont contenues dans le plan de symétrie
Plan de symétrie
Elles sont concentrées ou réparties
II
Les hypothèses de la RDM
4 Les déformations :
- Au cours de la déformation, les sections droites restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne). - Les déformations restent faibles comparativement aux dimensions de la poutre
III Torseur de cohésion
1 Principe de calcul:
III Torseur de cohésion
𝑅 𝐺 𝑇 𝑐𝑜ℎ = 𝐺 𝑀 𝐺
III Torseur de cohésion
Deux conventions d’écriture sont possibles.
Conventions 1 : le torseur de cohésion modélise les actions mécaniques de la partie (2) sur la partie (1) ; Conventions 2 : le torseur de cohésion modélise les actions mécaniques de la partie (1) sur la partie (2).
III Torseur de cohésion
Pour la suite, nous adopterons la CONVENTION 1 tout à fait arbitrairement.
𝑅 = 𝑅 2/1 𝑇 𝑐𝑜ℎ = 𝐺 𝑀 𝐺 = 𝑀 𝐺,2/1
III Torseur de cohésion
Equilibre du tronçon (1).
𝑇 𝑐𝑜ℎ + 𝑇 𝐹1 → 1 + 𝑇 𝐹3 → 1 = 0 𝑇 𝑐𝑜ℎ = − 𝑇 𝑒𝑥𝑡/1
III Torseur de cohésion
Equilibre du tronçon (1).
Définition 1 :
Le torseur de cohésion au centre de surface G d’une surface droite de poutre se défini en effectuant la somme des torseurs, au même point G, des actions mécaniques agissant à gauche de la section droite, somme précédée du signe -.
III Torseur de cohésion
Equilibre du tronçon (2).
Rappel : principe des actions réciproques : 𝑇 2/1 = − 𝑇 1/2 𝑇 1/2 + 𝑇 𝐹2 → 2 + 𝑇 𝐹4 → 2 = 0 − 𝑇 2/1 + 𝑇 𝑒𝑥𝑡/2 = 0 − 𝑇 𝑐𝑜ℎ = − 𝑇 𝑒𝑥𝑡/2 𝑇 𝑐𝑜ℎ = 𝑇 𝑒𝑥𝑡/2
III Torseur de cohésion
Equilibre du tronçon (2).
Définition 2 :
Le torseur de cohésion au centre de surface G d’une surface droite de poutre se défini en effectuant la somme des torseurs, au même point G, des actions mécaniques agissant à droite de la section droite, somme précédée du signe +.
III Torseur de cohésion
2 Exemple de calcul:
Soit une poutre reposant sur 2 appuis et soumise à une force de longueur l = 4,2 m
Détermination du torseur de cohésion : On décompose la poutre en deux zones : [AC] et [CB].
Zone [AC] : a = 1,2m
N ous allons déterminer le torseur de cohésion au centre de surface G1 d’une section de poutre située entre A et C, repérée par l’abscisse x.
Le torseur de cohésion au point G1 se détermine en effectuant la somme des A.M. agissant à gauche de la coupure, somme précédée du signe « - »
III Torseur de cohésion
2 Exemple de calcul: Zone [AC] : a = 1,2m
III Torseur de cohésion
2 Exemple de calcul: Zone [CB] : b = 3 m
Pour la détermination de ce torseur de cohésion, il est préférable d’utiliser la définition 2
III Torseur de cohésion
3 Composantes du torseur de cohésion
𝑇 𝑐𝑜ℎ = 𝐺 𝑅 𝐺 𝑀 𝐺 (𝑥,𝑦,𝑧) = 𝐺 𝑁 𝑇𝑦 𝑇𝑧 𝑀𝑡 𝑀𝑓𝑦 𝑀𝑓𝑧 (𝑥,𝑦,𝑧)
N : effort normal Mt : moment (ou couple) de torsion Ty : Effort tranchant suivant y Mfy : moment fléchissant ou moment de flexion suivant y Tz : Effort tranchant suivant z Mfz : moment fléchissant ou moment de flexion suivant z
III
Les différentes sollicitations simples
Une poutre peut être soumise à plusieurs sollicitations qui dépendent
de la nature et de la direction des actions mécaniques.
III
Les différentes sollicitations simples
Traction
N
y
N
x
T
(
coh
) :
N
0 0 0 0 0
G
,
R
N N>0
Exemples: Tirant Biellette Courroie
N
N y
III
Les différentes sollicitations simples
Compression
N x
T
(
coh
) :
N
0 0 0 0 0
G
,
R
N N<0
Exemples: Tirant Biellette Ressort
N
y
III
Les différentes sollicitations simples
Cisaillement
T x
T
(
coh
) 0 :
Ty Tz
0 0 0
G
,
R
T T/2 T/2 T
Exemples: Axe Clavette Goupille Rivet
III
Les différentes sollicitations simples
Mt y
Torsion
Mt x
T
(
coh
) : 0 0 0
Mt
0 0
G
,
R
Mt
Exemples: Arbre de transmission Tuyauterie
Mt
y
III
Les différentes sollicitations simples
T
Flexion
x
T
(
coh
) 0 0 :
Ty
0 0
Mfz
G
,
R
d T
Exemples: Arbre Axe Plongeoir Aile d’avion
IV
Traction
1 Essai de Traction:
L’essai de traction est
une expérimentation
pour objet la détermination des
résistance du matériau testé.
qui a
caractéristiques de
IV
Traction
On applique progressivement et lentement à
une éprouvette
, de formes normalisées, un Le tableau appliquée et de dimensions
effort de traction croissant dont l’intensité varie de 0 à F jusqu’à la rupture..
ci-contre montre l’évolution de la déformation de l’éprouvette en fonction de la charge
IV
Traction
F(N) F r F e
2 Résultats de l’essai
Point de rupture Fe Charge limite élastique Fr : Charge limite à la rupture Zone de déformation plastique Allongement en mm Zone de déformation élastique
Graphe de l’allongement en fonction de la charge appliquée
IV
Traction
Résistance élastique Re R e
F S o e F avec R e S e o en MPa, en N, section de la pièce en mm 2 Résistance à la rupture Rr R r
F S o r avec R r en MPa, F r S o en N, section de la pièce en mm 2 .
IV
Traction
A Coefficient d’allongement A%
%
Lu
Lo
100
Lo avec Lu longueur ultime après rupture, Lo longueur initiale.
Allongement relatif
L
L o L avec
L L allongement total de la poutre; Lo longueur d’origine; allongement relatif suivant l’axe
IV
Traction
Coefficient de Poisson Pour les matériaux élastiques, la diminution des sections droites est
proportionnelle à l’allongement relatif
, ce
en notant
d do
d
L Lo
d do
on obtient
d
L
Ce coefficient caractérise la déformation transversale.
V
Contrainte
1 Définition contrainte : du vecteur Une coupure est effectuée au niveau de la surface plan de coupe peut ne pas être perpendiculaire à la ligne moyenne).
Considérons un point M de cette surface et d élément de section droite aussi petit que possible entourant le point M.
Soit l’effort élémentaire transmis par d matière de la partie droite sur la partie gauche de la poutre.
coupure de normale le vecteur :
S S S
(le un exercé par la On appelle vecteur contrainte au point M pour la C
(
M
,
n
)
d
F E
2
d
S
E
1
Unités :
en MPa ou N/mm 2 . La contrainte est homogène à une pression.
V
Contrainte
2 Contrainte normale et contrainte tangentielle : Soit le repère local affecté à la coupure suivant la section droite normale .
Projetons le vecteur contrainte Cm dans le repère (G x y z) : C
(
M
,
x
)
M
M
M : Contrainte
normale
(projection du vecteur contrainte sur la normale à la coupure).
S
de
M : Contrainte (projection du vecteur contrainte dans le plan YZ).
tangentielle
V
Contrainte
3 Contrainte en traction:
Lorsqu’une poutre est sollicitée en traction la contrainte tangentielle
M est nulle et la contrainte normale
M vaux :
F S L’expérience montre qu’il y a proportionnalité dans la zone élastique entre la contrainte
Loi de Hooke :
avec
en N/mm²(MPa), F en N, S en mm².
E et l’allongement relatif
.
avec E module de Young en N/mm². (aciers E = 210000Mpa)
V
Contrainte
4 Condition de résistance
Pendant toute la durée de son service, une pièce doit conserver un comportement élastique. Cette condition s'exprime par l'inégalité suivante :
max
i
R e Les problèmes d'incertitude sur la valeur de Re, de la contrainte, de la modélisation de l'étude…, nous amènent donc à exprimer la condition de résistance par :
max
i
R s e
R pe avec Re: résistance limite élastique en MPa s: coefficient de sécurité (s>1) Rpe: résistance pratique de limite élastique en Mpa
V
Contrainte
5 Coefficient de concentration de contraintes : Kt
La plupart des pièces industrielles ne sont pas cylindriques, elles possèdent des singularités de formes (perçages, gorges, rainures, filetages…). On définit un coefficient de concentration de contrainte appelé Kt tel que : La contrainte maximale a pour valeur :
max
i
K t
.
nom Avec :
max
singularité
nom i = contrainte atteinte au voisinage de la = contrainte moyenne nominale calculée
V
Contrainte
5 Coefficient de concentration de contraintes : Kt
V
Contrainte
5 Coefficient de concentration de contraintes : Kt
Les valeurs de K t sont expérimentales.
Exemple 1 : Pour un filetage triangulaire ISO : K t Exemple 2 : Arbre de section circulaire épaulé.
= 2.5
V
Cisaillement
1 Relation sollicitation - Contrainte
T S
T S : effort tranchant en N : surface de la section en m 2 La contrainte tangentielle engendrée est identique dans toute la section
2 Loi de comportement élastique
G
.
G
: module de Coulomb en Pa
y x
: glissement transversal relatif (sans unité)
V
Torsion
1 Relation sollicitation - Contrainte
Mt
I G
M t I G : moment de torsion en Nm : moment quadratique polaire de la section en m 4 : distance au centre de la section en m
2 Moment quadratique polaire
O y S M z (S) x
Le moment quadratique polaire
de la surface (S) par rapport au point O est : I o = ( ) 2 . S
V
Torsion
Quelques expressions usuelles 3 Loi de comportement élastique
Mt
G
I G
G : module de Coulomb en Pa I G angle de torsion unitaire en rad/m
x
: moment quadratique polaire de la section en m 4
V
Flexion
1 Relation sollicitation - Contrainte
Mf z I Gz
y
Mf I Gz y z : moment de flexion en Nm : moment quadratique de la section par rapport à l’axe (Gz) en m 4 : distance par rapport à l’axe (Gz) en m
La contrainte normale engendrée est nulle le long de l’axe (Gz) (fibre neutre) et est de plus en plus élevée lorsqu’on s’en éloigne.
2 Moment quadratique par rapport à un axe
y O S y M (S) x
V
Flexion
Quelques expressions usuelles 3 Loi de comportement élastique
Mf z
E
I Gz
f
'' I f Mf E f’’ Gz z : moment de flexion en Nm : module de Young en Pa : moment quadratique par rapport à l’axe z de la section en m 4 : flèche (écart verticale par rapport à la position sans sollicitation) en m : dérivée seconde de la flèche par rapport à l’abscisse x