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Résistance des matériaux
Mécanique
1. Hypothèses de la R.d.M (§GDC 45).
Elle concernent :
 Le matériau (homogène et isotrope)
 La géométrie du solide - le modèle poutre (grande longueur par rapport aux dimensions transversales,
grand rayon courbure de la ligne moyenne, variations de section progressives )



Les forces appliquées
Les déformations (faibles par rapport aux dimensions de la poutre)
Les contraintes (calculées en des points éloignés des zones d’application des charges)
2. Torseur des efforts de cohésion (§GDC 46).
Ce torseur exprime les efforts à l’intérieur
de la matière :
 N Mt 
 R  
Coh2  1   Ty Mfy 
MG  
G
Tz Mfz 
G
z
{Coh21} + {AMext1} = {0}
{AMext1} + {AMext2} = {0}
y
Partie droite (2)
Partie gauche (1)
AM ext. gauche
AM ext. droite
x
Section droite (S)
(Application du PFS sur la partie 1 de la poutre)
(Application du PFS sur la poutre en entier)
d’où,
R   forces extérieures à droite de S =   forces extérieures à gauche de la section S
MG   moments extérieurs à droite de la section S =   moments extérieurs à gauche de S
R
y
T
Les composantes de ce torseur sont :
 N : effort normal (en proj. sur x)
 T : effort tranchant (en proj. sur y et z)
N
 Mf : moment de flexion (en proj. sur y et z)
x G
Mt
z
 Mt : moment de torsion (en proj. sur x)
Mf
MG
3. Sollicitations (§GDC 46-5).
Sollicitations
Traction simple
Ou
Compression
simple
Efforts extérieurs
Torseur de cohésion
RN
Coh2  1 

MG  0
G
Coh2  1
Cisaillement
simple
Torsion simple
Coh2  1
Flexion simple
Coh2  1
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 R T 


MG  0
G
 R 0 


MG  Mt 
G
 R T 


MG  Mf 
G
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Mécanique
4. Contrainte – Vecteur contrainte (§GDC 46-7).
t
Le vecteur contrainte est défini par :
f
C(M, n)  lim
s 0 s
f
y
2
unité : MPa (ou N/mm )
M
s : élément de surface de la facette
f : effort de cohésion élémentaire appliqué
sur la facette.
n
x
z
Facette de
surface S
La contrainte C, bien que homogène à une pression, dépend de l’orientation de la facette s.
C’est pourquoi en R.d.M. nous choisissons toujours une direction particulière à s,
perpendiculaire à la fibre moyenne de la poutre.
On peut projeter le vecteur contrainte dans le système d’axes :
t
y
C(G, x)   .x  

 : contrainte normale
 : contrainte tangentielle
x
C
n
G

z

5. Essai de traction (§GDC 48-4).

F
(MPa)
So
D
Rm
F
F
Re
L



L
(sansunité )
Lo
Cet essai permet de déterminer :


L
 100
Lo
Re : résistance élastique ou limite d’élasticité du matériau en MPa.
Rm : résistance à la rupture en MPa.
A % : allongement après rupture, A% 
6. Relation contrainte – déformations.
Le comportement est élastique si, lors de la suppression de l’effort F, l’éprouvette revient dans sa
situation initiale. Dans la zone élastique linéaire l’éprouvette se comporte comme un ressort de
raideur k, l’allongement L est proportionnel à la force F : F = k . L
On en déduit la relation contrainte-déformation (loi de Hooke) :
=E.
 E module d’élasticité longitudinal ou module d’Young en MPa
  allongement unitaire (=ΔL/Lo)
 σ contrainte normale en MPa (σ = N / S)
La loi de Hooke peut aussi s’écrire :
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L 
N.Lo
E.So
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Dans le même temps les dimensions transversales de l’éprouvette diminue :

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D
 .
Do
 : coefficient de Poisson
Dans le cas du cisaillement la relation contrainte-déformation s’écrit :
 G : module d’élasticité transversale ou module de Coulomb en MPa
  : angle de glissement
Toutes ces caractéristiques du matériau sont liées par : G 
 = G. 
E
2.(1   )
7. Condition de résistance (§GDC 48-5).
7.1 Sollicitations simples.
Généralement, il ne faudra pas aller au delà du domaine élastique du matériau sous peine de
conserver des déformations permanentes (domaine plastique du matériau). Cette condition peut
s’écrire :
Dans le cas de l’essai de traction :
 < Rpe = Re / s
 Re : limite d’élasticité longitudinale.
 Rpe : résistance pratique à l’extension.
 s : coefficient de sécurité.
Dans le cas du cisaillement simple :
 < Rpg = Reg / s
 Reg : limite d’élasticité transversale.
 Rpg : résistance pratique au glissement.
 s : coefficient de sécurité.
Dans certains cas, on veut aller jusqu’à la rupture du matériau. Cette condition peut s’écrire :
La contrainte  ou  > Rm . C’est le cas des fusibles mécaniques ou du découpage des tôles.
7.2 Accidents de surface ( §GDC 48-8, 51-11, 52-7).
Dans la réalité les pièces mécaniques ne correspondent pas au modèle poutre et présente des
variations brusques de section : perçage, épaulement, gorge …
Dans ce cas la répartition des contraintes dans la section droite n’est plus uniforme, il y a
concentration de contraintes. Pour tenir compte de ce phénomène on majore la contrainte
nominale d’un coefficient Kt déterminé expérimentalement : réel = nom . Kt
Concentration de
contrainte
7.3 Sollicitation complexes.
Dans les cas de sollicitations plus complexes, on calcul une contrainte équivalente à partir des
contraintes normales et tangentielles :
Critère de VON-MISES :
équi   2  3. 2
Critère de TRESCA :
équi   2  4. 2
On retrouve notamment ces critères dans l’utilisation des logiciels de calculs par éléments finis.
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8. Formulaire – sollicitations simples.
Flexion simple
Torsion simple
Cisaillement
Traction
Compression
Solli
citati
ons
Torseur de cohésion
Coh2  1
R  N 


MG  0
G
Déformation
 R T 


MG  0
G
 R0 


MG  Mt 
G
Coh2  1
Coh2  1
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 R T 


MG  Mf 
G

  LL

Coh2  1
Contrainte


Y
X
 
L
d 2 y  Mf
y" 

dx 2 E.IGz

moy

max 
Relation
Contraintedéformation
Condition de
résistance
  E.
  Rpe
  G.

N
S

T
S
. .I
Mt .R
et Mt  G
I0
0


max

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Mf max
 IGz 
 
 v 
 Rpg
moy
max

 G.R.
  E.I
GZ .y "

max
 Rpg
  Rpe
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