Transcript Torseur cinétique et torseur dynamique

14 Cours - Torseur cinétique et torseur dynamique
CPGE MP
Torseur cinétique et torseur dynamique
Sommaire
Torseur cinétique et torseur dynamique................................................................................1
1
Torseur cinétique ...............................................................................................................................3
1.1
1.2
1.3
2
Torseur cinétique d’un solide .............................................................................................................................. 3
Torseur cinétique d’un système de solide ............................................................................................................ 3
Démarche de calcul pour déterminer le moment cinétique en un point A d’un solide .......................................... 4
Torseur dynamique ............................................................................................................................6
2.1
2.2
2.3
Torseur dynamique d’un solide ........................................................................................................................... 6
Torseur dynamique d’un système de solide ......................................................................................................... 6
Démarche de calcul pour déterminer le moment dynamique en un point A d’un solide ....................................... 7
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Exemple de système : Manège pieuvre
Système réel
Modèle
Bras 1

y1
x
O
0

y2
x

y0
x

x1
x
θ1
1

x0
x
2

x2
x
M
θ2
O1
Croisillon 2
Nacelle
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1 Torseur cinétique
1.1 Torseur cinétique d’un solide
Les éléments de réduction du torseur cinétique correspondent à la somme de toutes les
quantités de mouvement (quantité de vitesse des points d’un solide)
Résultante cinétique
(Quantité de mouvement


R

Par définition on a : CS / R    C S / R 


A  A, S / R 
de translation)
 RC S / R  VP , S / R .dm 
S


 

 A, S / R   AP  VP , S / R .dm
S

A
Moment cinétique en A
(Quantité de mouvement de rotation)
On démontre que :
RC S / R  m.VG,S / R
A, S / R  m.AG  VA, S / R  I A (S ).S / R
Cas pour 2 points particuliers :
 Si A = G, centre de gravité de S : G, S / R  IG (S ).S / R

Si A = O, point fixe de R : O, S / R  IO (S ).S / R
est un vecteur obtenu par multiplication de la matrice d’inertie du
solide S en A et du vecteur rotation → Ces deux grandeurs doivent donc être
exprimées dans la même base.
I A (S ).S / R
Notion de torseur :  A, S / R   B, S / R  AB  RC S / R
1.2 Torseur cinétique d’un système de solide
On remarque qu’en dérivant la formule du barycentre m.OG   mi .OG i
i
On obtient RC  / R  m.VG , / R   mi .VGi ,Si / R   RC Si / R
i
i
On démontre également que le moment cinétique :  A,  / R    A,Si / R
i
Ainsi, on décompose le système de solides Σ en solides élémentaires Si
 C / R   i  CSi / R 
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On décompose le système de solides Σ en solides élémentaires S i
1.3 Démarche de calcul pour déterminer
cinétique en un point A d’un
 C / R   ile Cmoment
Si / R 
solide
Élémentaire
Quelle est la nature du mouvement de S/R ?
Mouvement de S/R :

rotation autour d’un axe fixe (O, x )
 CS /R  
 RC S / R  mV
. G, S / R 






I
(
S
).



O
,
S
/
R
O
S
/
R

O

 Si en plus G ϵ (O, x ) : Equilibrage statique
 CS /R  


0




IG (S ).S / R 

P(O,x ) 

 Si en plus (O, x ) est axe principal d’inertie :
Equilibrage dynamique
 CS / R  
En A
Mouvement de S/R :
translation
 CS /R  
A
 RC S / R  mV
. G, S / R 



 A, S / R  m.AG  VA, S / R 
Le torseur cinétique est un glisseur :
au centre de gravité le moment est nul
 CS / R  

m.VG,S / R 



0




G
Attention il n’est pas nul
en tout point


 0



J
.

.x
 O,x


P(O,x ) 
Où est donnée la matrice d’inertie ?
Le calcul direct est privilégié
A, S / R  m.AG  VA, S / R  I A (S ).S / R
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Quelconque
En G
G, S / R  IG (S ).S / R
 A, S / R  G, S / R  AG  RC S / R
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

Application au manège pieuvre – Objectif : Calculer C / 0 en O avec   1  2

y1
x
O
0

y2
x

y0
x

x1
x
θ1
1

x0
x
2
Hypothèses et données :
8 passagers sont embarqués dans les 4
nacelles du solide 2 (ayant pour masse m2 et
centre de gravité G2 ≡ O1). Le solide 1 a pour
masse m1 et pour centre de gravité G1 ≡ O.

x2
x
M
θ2
10  1 .z0
20  21  10  1  2  .z0
O1
OM  OO1  O1M  L1 .x1  L2 .x2

y0
x


x2
y1

x
θ2 x1
 x
y2
x
θ1
x
  

z0  z1  z2
x0
x
IG1 (S1 ) 
G1
 A1

 F1
 0

IG2 (S2 ) 
G2
 A2

 0
 0

F1
B1
0
0
B2
0
0 

0 
C1 ( b )
1
0 

0 
C2 ( b )
2
 C / 0    C1/ 0    C2 / 0 
Nature du mouvement de 1/0 ?
Nature du mouvement de 2/0 ?
Rotation autour de l’axe (O, z0 )
et G1 est sur l’axe de rotation (O, z0 )
et l’axe de rotation (O, z0 ) est axe principale
d’inertie
 on a le résultat immédiat
Mouvement quelconque
et matrice donnée en G
 on calcule G2 , 2 / 0 puis O, 2 / 0
 C2 / 0  
G2
 C1/ 0  
G1


RC 1/ 0  0




 G1 , 1/ 0  C1 .1 .z0 


 RC 2 / 0  m2 .VG ,2 / 0 


2



 G2 , 2 / 0  IG2 (S2 ).2 / 0 

RC
2/ 0
 m2 .VG2 ,2 / 0  m2 .VO1 ,2 / 0  m2 .VO1 ,1/ 0
RC
2/ 0
 m2 .( VO,1/ 0  O1O   1/ 0 )  m2 .L1 .1 .y1
 G2 , 2 / 0  IG2 (S2 ).2 / 0 
G2
 A2

 0
 0

0
B2
0
avec :
0 

0 
.( 1  2 ).z2

C2 ( b )
2
 G2 , 2 / 0  C2 .( 1  2 ).z2
On
déplace
le
torseur
cinétique
en
O:
O, 2 / 0  G2 , 2 / 0  OG2  RC 2 / 0  G2 , 2 / 0  L1 .x1  m2 .L1 .1 .y1
O, 2 / 0  C2 .(1  2 ).z2  m2 .L12 .1 .z1
D’où :  C / 0    C1/ 0    C2 / 0  
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

m2 .L1 .1 .y1




2
(C1 .1  C2 .( 1  2 )  m2 .L1 .1 ).z0 

O
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2 Torseur dynamique
2.1 Torseur dynamique d’un solide
Les éléments de réduction du torseur dynamique correspondent à la somme de toutes les
quantités d’accélération des points d’un solide
Résultante dynamique
Par définition on a :


Rd S / R 

DS / R  
 



A,
S
/
R


A

 Rd S / R    P,S / R .dm 




S


 A, S / R   AP   P,S / R .dm 

S


A
Moment dynamique en A
On démontre que :
Rd
S/ R
 m. G,S / R
 A, S / R  m.VA / R  VG,S / R 
d
 A,S / R
dt
R
Cas pour 2 points particuliers :

Si A = G, centre de gravité de S : G, S / R 

Si A = O, point fixe de R : O, S / R 
d
G,S / R
dt
R
d
O,S / R
dt
R
Le calcul du moment dynamique fait intervenir le vecteur vitesse du point A
par rapport à R VA / R et non le vecteur vitesse du point A ϵ S par rapport à R
VAS / R (voir la notion de point coïncident)
Notion de torseur :  A, S / R  B, S / R  AB  Rd S / R
2.2 Torseur dynamique d’un système de solide
On remarque qu’en dérivant deux fois la formule du barycentre m.OG   mi .OG i
i
On obtient RD  / R  m. G , / R   mi . Gi ,Si / R   RD Si / R
i
i
On démontre également que le moment dynamique :  A,  / R    A,Si / R
i
Ainsi, on décompose le système de solides Σ en solides élémentaires Si
 D / R    DSi / R 
i
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On décompose le système de solides Σ en solides élémentaires S i
  / R  leSimoment
/ R
2.3 Démarche de calcul pour déterminer
dynamique en un point A d’un
i
solide

D
Élémentaire
D
Mouvement de S/R :

rotation autour d’un axe fixe (O, x )
 DS / R 
Mouvement de S/R :
translation
 Rd S / R  m. G,S / R 


 

d
O, S / R  O,S / R 
dt
R
O
 DS / R  

 Si en plus G ϵ (O, x ) : Equilibrage statique


DS / R 

0

d
 dt  G,S / R
P(O,x ) 


Rd S / R  m. G,S / R






m.V

V


A,
S
/
R
A
/
R
G,S
/
R


A
Le torseur dynamique est un glisseur :
au centre de gravité le moment est nul




R
 DS / R  

m. G,S / R 



0



G
Attention il n’est pas nul
en tout point

 Si en plus (O, x ) est axe principal d’inertie :
Equilibrage dynamique
 DS / R  
Quelconque
Quelle est la nature du mouvement de S/R ?


 0



J
.

.x
 O,x


P(O,x ) 
En A
En G
Où est donnée la matrice d’inertie ?
G, S / R  IG (S ).S / R
Le calcul direct est privilégié
A, S / R  m.AG  VA, S / R  I A (S ).S / R
Non
G, S / R 
 A, S / R  m.VA / R  VG,S / R 
A point fixe dans R ?
d
G,S / R
dt
R
 A, S / R  G, S / R  AG  RC S / R
d
 A,S / R
dt
R
 A, S / R  G, S / R  AG  Rd S / R
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Oui
 A, S / R 
d
 A,S / R
dt
R
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Application au manège pieuvre – Objectif : Calculer  D / 0  en O avec   1  2

y1
x
O

y2
x

y0
x

x1
x
0
θ1

x0
x
1

x2
x
M
2
Hypothèses et données :
8 passagers sont embarqués dans les 4
nacelles du solide 2 (ayant pour masse m2 et
centre de gravité G2 ≡ O1). Le solide 1 a pour
masse m1 et pour centre de gravité G1 ≡ O.
θ2
10  1 .z0
20  21  10  1  2  .z0
O1
OM  OO1  O1M  L1 .x1  L2 .x2

y0
x

y1
 x
y2
x
  
z0  z1  z2

x2
x
θ2
θ1
 A1

IG1 (S1 )   F1
 0
G1 

x1
x
IG2 (S2 ) 

x0
x
G2
 A2

 0
 0

F1
B1
0
0
B2
0
0 

0 
C1 ( b )
1
0 

0 
C2 ( b )
2
 D / 0    D1/ 0    D2 / 0 
Nature du mouvement de 1/0 ?
Nature du mouvement de 2/0 ?
Rotation autour de l’axe (O, z0 )
et G1 est sur l’axe de rotation (O, z0 )
et l’axe de rotation (O, z0 ) est axe
principale d’inertie
 on a le résultat immédiat
Mouvement quelconque
et matrice donnée en G
et O point fixe dans R0
 on calcule G2 , 2 / 0 puis O, 2 / 0 puis O, 2 / 0
 D1/ 0  
G1



Rd 1/ 0  0





G1 , 1/ 0  C1 .1 .z0 

 Rd 2 / 0  m2 . G ,2 / 0 
2


D2 / 0 


d
G2 , 2 / 0  G2 , 2 / 0 
dt
0
G2 
Rd 2 / 0  m2 .

avec :
d
VG , 2 / 0  m2 .L1 .1 .y1  m2 .L1 .12 .x1
dt 2
0
car
d
y1  1/ 0  y1  1 .z1  y1  1 .x1
dt 0
G2 , 2 / 0 et O, 2 / 0 ont déjà été déterminés page précédente
O point fixe dans R0 donc O, 2 / 0 
d
O, 2 / 0
dt
0
O, 2 / 0  C2 .(1  2 ).z2  m2 .L12 .1 .z1
D’où :
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


m2 .L1 .1 .y1  m2 .L1 .12 .x1


D / 0  D1/ 0  D2 / 0  

2
(C1 .1  C2 .(1  2 )  m2 .L1 .1 ).z0 

O
 
 

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