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DYN Dynamique
DYN-4
PFD
Cours DYN-4 : Principe fondamental de la dynamique
Com pétences nécessaires (Prérequis):
B2
B2
B2
B2
C2
C2
C2
C2
Associer un modèle à une action mécanique,
Associer aux liaisons un torseur cinématique,
Paramétrer les mouvements d’un solide indéformable,
Déterminer les caractéristiques d’un solide indéformable (torseur cinétique),
Procéder à la mise en œuvre d'une démarche de résolution analytique
Déterminer la loi entrée-sortie d’une chaîne cinématique simple
Déterminer le vecteur vitesse d’un point d’un solide par rapport à un autre,
Déterminer le vecteur accélération d’un point d’un solide par rapport à un autre
Com pétences nouvelles:
C1 Proposer une démarche permettant de déterminer une loi de mouvement,
C1 Proposer une méthode permettant la détermination des inconnues de liaison
Un cahier des charges ou un descriptif du système étant défini, les problèmes de dynamique sont de 3
types :
- dimensionner un actionneur permettant d'assurer les performances attendues,
- établir ou valider la loi de commande d'un actionneur,
- déterminer les actions de liaisons afin de valider la tenue des guidages (éventuellement la tenue
des pièces aux actions dynamiques).
1 Torseur dynamique
Le torseur dynamique traduit les quantités d'accélération d'un système S (ensemble de solides) en
mouvement par rapport à un référentiel R.
D
où
•
/
=
/
•
•
, /
=
=
, /
˄
.
, /
.
: résultante dynamique du système S par rapport au référentiel R (en N) avec pour des
systèmes à masse conservative :
•
/
/
=m .
, /
(où m S est la masse de S et G son centre de
gravité). La résultante dynamique / n'est en général pas écrite (remplacée par son expression
en fonction des autres grandeurs) pour éviter les confusions avec l'accélération
, / .
, /
: accélération du point M de S par rapport à R (en m/s²),
dm : masse élémentaire de S centrée sur le point M (en Kg),
, / : moment dynamique en A du système S par rapport au référentiel R (en N.m).
1.1 Résultante dynamique
La résultante dynamique s'obtient par dérivation du vecteur vitesse (ou/et du vecteur position) du centre de
gravité G du système.
! . "#,!/$
=
&'#,!/$
.
%
) =
!
&(
$
&+ ,#
!. *
&(+ $
où O est un point fixe dans le repère R (cas d'un système à masse conservative).
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1.2 Moment dynamique
Le moment dynamique peut s'obtenir par la formule du changement de point de Varignon :
. ,/
, / = ., / + 0˄
Il est en général plus simple de déterminer ce moment dynamique à partir du torseur cinétique (il est plus
simple de déterminer des champs de vitesses que des champs d'accélérations).
m .3 , /
5
Rappel : le torseur cinétique a pour expression : C /
=2
4,/
67,!/$ = 8
&97,!/$
: + ;< . '7/$ ˄'#,!/$
Moment dynamique à partir du torseur cinétique :
&(
avec 3 / = 8
$
Cas particuliers courants:
Si le point A est fixe (sur l'axe de rotation de S/R) : 67,!/$
67,!/$ = @
avec la formule de Varignon :
&(
:
&A7,! BC !/$ D
E
=@
$
&A#,!BC!/$D
&(
=?
&(
&A#,!BC!/$D
: =@
&9#,!/$
6#,!/$ = 8
Si on connait la matrice d'inertie en G :
=>
&(
$
E
$
E + 7#˄;< . "#,!/$
$
2 Enoncé du principe fondamental de la dynamique (PFD)
Soit un système S (ensemble de solides) en mouvement par rapport à un référentiel R galiléen, alors le
torseur dynamique de S est égale au torseur des actions mécaniques extérieures agissant sur le système:
G!/$
H
= IJ<K→< MH ou encore 2
! . "#,!/$
67,!/$
$
5 = 2 <K→< 5
N7,<K→< 7
7
Les éléments de réduction des différents torseurs doivent être exprimés au même point.
Le principe fondamental de la dynamique se décline en 2 théorèmes lorsqu'on l'écrit pour chaque élément
de réduction des torseurs:
- théorème de la résultante dynamique,
- théorème du moment dynamique.
2.1 Théorème de la résultante dynamique
Soit un système S (ensemble de solides) en mouvement par rapport à un référentiel R galiléen, alors la
résultante dynamique de S est égale à la résultante des actions mécaniques extérieures agissant sur le
système:
! . "#,!/$
= $<K→<
avec
m :
O
, /
̅→
masse du système S en kg
: accélération du centre de masse du système S (en m.s -2),
: résultante des actions mécaniques extérieures à S (en N).
2.2 Théorème du moment dynamique
Soit un système S (ensemble de solides) en mouvement par rapport à un référentiel R galiléen, alors le
moment dynamique de S est égale au moment des actions mécaniques extérieures agissant sur le
système:
67,!/$ = N7,<K→<
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avec
, /
, ̅→
: moment dynamique en A (en N.m),
: moment des actions mécaniques extérieures à S en A (en N.m).
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2.3 Applications du principe fondamental de la dynamique
2.3.1 Dimensionnement et loi de commande de l'actionneur:
La relation permettant le dimensionnement du moteur s'obtient par projection des équations vectorielles du
PFD sur l'axe de mobilité de l'actionneur.
D'autres projections peuvent être nécessaire pour éliminer des inconnues de liaisons éventuelles (cas
notamment de liaisons avec frottement de Coulomb).
Cela conduit à l'équation directement obtenue par le théorème de l'énergie cinétique.
2.3.2 Actions de liaisons.
Les inconnues de liaisons s'obtiennent par projection judicieuse des équations vectorielles du PFD, en
général selon les directions des inconnues cherchées.
3 Equilibrage
3.1 Observation du déséquilibre et solutions
Le non équilibrage d'une pièce tournant autour d'un axe est générateur de vibrations:
-
en général les rotors sont équilibrés (formes symétriques axialement,
ajout ou enlèvement de matière pour les pièces non symétriques),
Figure 1 : Usinage pour équilibrer des rotors bobinés
-
rotor non équilibré lorsque l'on souhaite générer des vibrations
(IHM par vibreur, béton vibré, …).
Figure 2 : Rotor déséquilibré utilisé comme vibreur
L'équilibrage d'un solide S en rotation autour d'un axe nécessite :
-
l'équilibrage statique : le centre de gravité G du solide S doit être sur l'axe de rotation
(suppression du balourd). Le rotor est alors en équilibre sous l'action du poids quel que soit sa
position.
-
l'équilibrage dynamique : les produits d'inertie faisant intervenir la direction de l'axe de
rotation doivent être nuls (suppression des composantes du moment dynamique autour des axes
perpendiculaires à la rotation). Cas courants : la répartition des masses est symétrique par rapport
à l'axe ou le plan de normal l'axe de rotation est un plan de symétrie.
Exemple :
-
S
A
[\
0
Q G
R
de centre de gravité G BRU , QU , SU D et de matrice d'inertie VWH,X Y = Z−^\_
−^\`
Solide 1 en rotation d'axe (A,x)
l'équilibrage statique est assurée si bc
1
= dc = e,
l'équilibrage dynamique est assuré si fgb = fgd = e.
−^\_
[_
−^_`
−^\`
−^_` a
[` $
L’équilibrage dynamique concerne les pièces en mouvement de rotation autour d’un axe. C’est donc
le cas de la plupart des machines tournantes (moteurs électriques par exemple) mais également des
roues de véhicule.
Si le système n’est pas équilibré dynamiquement, les vibrations seront génératrices de bruit et
éventuellement d'une usure plus rapide des organes de guidage.
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3.2 Equilibrage en pratique
L'équilibrage dynamique se fait à partir de :
-
la matrice d'inertie pour une pièce de forme connue,
la mesure des efforts sur les paliers d'une équilibreuse pour une pièce de forme non définie
(rotor bobiné de moteur, pneu et sa valve pour une roue équipée de pneumatique,…).
Equilibreuse
Masselotte extérieure clipsée
Masselotte collée sur la jante
Figure 3 : Equilibrage pratique des pneumatiques
Pour réaliser l’équilibrage, une solution classique est d'ajouter des masses ponctuelles.
Exemple (suite de l'exemple précédant):
On appelle 2 et 3 les deux masses ponctuelles, que l’on va fixer sur le solide 1 afin de réaliser son
équilibrage. On appelle M2 et M3 les points où sont placées ces deux masses m 2 et m 3 (les masses
pourraient être négatives dans le cas d'un enlèvement de matière).
• Equilibrage statique
h . QU + i . Qi + j .Qj = 0 (1)
h . SU +
i .Si + j . Sj = 0 (2)
• Equilibrage dynamique (théorème de Huygens):
lRQ + i . Ri . Qi + j .R j .Qj = 0
(3)
lRS + i . Ri .Si + j . R j. Sj = 0
(4)
On dispose de 4 équations et de 8 inconnues :
et S3). On a donc une infinité de solution.
i ,R i ,Qi , Si ,
j ,R j ,Qj , Sj
(2 masses + 6 coordonnées de S2
Conditions supplémentaires : dans le cas de l’équilibrage d’une roue équipée de pneumatique, les
masses sont fixées sur le bord de la jante.
Le changement de variable en coordonnées polaires, dans la base Oh = (O, xo , yh , zh ) donne:
Qi = si . cos wi Si = si . sin wi Qj = sj . cos wj Sj = sj . sin wj - 4 inconnues sont imposées (fonctions du rayon de la jante r et de son épaisseur e) :
z
z
R i = R j = − si = ssj = s
-
i
i
4 inconnues sont solutions des 4 équations :
m 1 et m 2 : valeurs des masses
θ1 et θ2 : positions angulaires des masses m 1 et m 2
Références :
"Mécanique du solide: Application industrielles" de P.Agati, Y.Bremont, G.Delville. Edition Dunod.
"Sciences industrielles pour l'ingénieur : mécanique et automatique PSI" de R.Papanicola. Edition Ellipses.
"Mécanique des systèmes et des milieux indéformables" de L.Chevalier. Edition Ellipses
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