Transcript Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek

Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en
semantiek
L. Storme
Toepassingsgerichte formele logica II
Academiejaar 2006-2007
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Taal
1. Alfabet: welke symbolen
2. Syntaxis: grammatica (regels om uitdrukkingen te vormen)
3. Semantiek: wat betekenen syntactisch correcte uitdrukkingen?
Alfabet van propositielogica bestaat uit:
1. Propositieletters: p, q, r , . . . , p1 , p2 , p3 , . . .
p betekent bijvoorbeeld: Het regent
2. Logische symbolen (connectieven):
3. Hulpsymbolen: ( en )
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Logische symbolen (connectieven):
1. ¬ niet
2. ∧ en
3. ∨ of
4. → als ..., dan ...
5. ↔ als en slechts (dan) als
(h ∧ l): Jan huilt en Jan loopt
¬h: Jan huilt niet
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Syntaxis
Formule in propositielogica:
1. elke propositieletter is een formule,
2. als ϕ en ψ formules zijn, dan ook
¬ϕ, (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ → ψ) en (ϕ ↔ ψ) formules,
3. niets anders is een formule.
Inductieve definitie:
1. Basisstap,
2. Opbouwstappen,
3. Afsluitende stap.
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Inductieprincipe
Inductieprincipe: Zij A een eigenschap. Stel dat
1. A(p) geldt voor elke propositieletter p, en
2. voor elke twee formules ϕ en ψ geldt dat als A(ϕ) en A(ψ)
gelden, dan gelden ook
A(¬ϕ), A((ϕ ∧ ψ)), A((ϕ ∨ ψ)), A((ϕ → ψ)), en A((ϕ ↔ ψ)).
3. Dan geldt A(ϕ) voor elke ϕ uit propositielogica.
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Atomaire formules
Propositieletters: ook atomaire formules of atomen genoemd.
Samengestelde formules:
vorm
¬ϕ
(ϕ ∧ ψ)
(ϕ ∨ ψ)
(ϕ → ψ)
(ϕ ↔ ψ)
uitspraak
niet ϕ
ϕ en ψ
ϕ of ψ
als ϕ, dan ψ
ϕ als en slechts (dan) als ψ
L. Storme
vormnaam
negatie
conjunctie
disjunctie
implicatie
equivalentie
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Formuleschema’s en instanties
Formuleschema’s en instanties:
Vorm zoals (ϕ ∧ ψ) = abstracte vorm van formule =
formuleschema
Concrete formule: als ϕ en ψ door concrete formules worden
ingevuld = instantie van formuleschema
Voorbeelden: instanties van (ϕ ↔ ¬ψ) zijn
1. (p ↔ ¬q)
2. (q ↔ ¬q)
3. ((p ∧ q) ↔ (r ↔ ¬(s → q)))
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Substitutie
Substitutie:
Zij ϕ formule waar (mogelijk) propositieletter p in voorkomt. Door
elk voorkomen van p in ϕ te vervangen door formule ψ, ontstaat
nieuwe formule:
Notatie uitspraak
[ψ/p]ϕ formule die resulteert door ψ te substitueren
voor p in ϕ
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Substitutie: definitie met inductie op formule ϕ
Substitutie: definitie met inductie op formule ϕ
1. [ψ/p]ϕ = ψ als ϕ = propositieletter p,
[ψ/p]ϕ = ϕ als ϕ propositieletter verschillend van p.
2. [ψ/p]¬ϕ = ¬[ψ/p]ϕ
[ψ/p](ϕ ∧ χ) = ([ψ/p]ϕ ∧ [ψ/p]χ)
[ψ/p](ϕ ∨ χ) = ([ψ/p]ϕ ∨ [ψ/p]χ)
[ψ/p](ϕ → χ) = ([ψ/p]ϕ → [ψ/p]χ)
[ψ/p](ϕ ↔ χ) = ([ψ/p]ϕ ↔ [ψ/p]χ)
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Constructieboom
(((s ↔ q) ∨ r ) → (¬t ∧ (q → p))) heeft constructieboom:
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Haakjes belangrijk!
Zin kan op verschillende manieren gelezen worden.
Wat betekent de zin: Als de baby niet huilt en trappelt, dan is ze
gelukkig
I
Als de baby niet zowel huilt als trappelt, dan is ze gelukkig
I
Als de baby niet huilt en (wel!) trappelt, dan is ze gelukkig
I
Als de baby niet huilt en niet trappelt, dan is ze gelukkig
I
(¬(h ∧ t) → g )
I
((¬h ∧ t) → g )
I
((¬h ∧ ¬t) → g )
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Haakjes
Haakjes: geven bereik van connectief aan
bereik connectief = formule(s) die in de constructieboom
onmiddellijk verbonden worden met dit connectief
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Betekenis en waarheidswaarde
formule = volgens regels opgebouwd rijtje symbolen
Wat betekenis formule?
betekenis formule = wanneer formule waar of niet waar
Semantiek
1. waarheidswaarden: waar en niet waar, 1 en 0.
2. waarheidswaarden atomen: aannemen dat ze waar of onwaar
zijn
3. waarheidswaarden voor samengestelde formules: volgen uit
waarheidswaarden van samenstellende delen, en uiteindelijk uit
waarheidswaarden van propositieletters.
4. waarheidstabel: alle combinaties van waarheidswaarden
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Voorbeeld waarheidstabel
p
1
1
0
0
q (p ∧ q)
1
1
0
0
1
0
0
0
p: Jan huilt
q: Piet lacht
p ∧ q: Jan huilt en Piet lacht
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Waardering
situatie = rij in waarheidstabel
situatie = waardering V (valuation)
Waardering = functie van propositieletter naar waarheidswaarden
Voorbeeld: V (p) = 1 en V (q) = 1 betekent: waardering van p
onder/bij waardering V is 1 en idem voor q
Deze waardering correspondeert met eerste rij uit de
waarheidstabel. De andere rijen corresponderen met andere
waarderingen: V1 , V2 , . . ..
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Waarderingen 2
p ¬p p q (p ∨ q)
1 0 1 1
1
0 1 1 0
1
0 1
1
0 0
0
p
1
1
0
0
q (p → q)
1
1
0
0
1
1
0
1
I
(p ∨ q) ≡ ¬(¬p ∧ ¬q)
I
(p → q) ≡ (¬p ∨ q)
I
(p ↔ q) ≡ ((p → q) ∧ (q → p))
L. Storme
p
1
1
0
0
q (p ↔ q)
1
1
0
0
1
0
0
1
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Waardering 2
Waardering voor willekeurige formule ϕ volgt met inductie op
formule ϕ uit waarheidstabellen uit samenstellende formules.
Waarheidstabel voor formule: tabel met waarheidswaarden voor
alle mogelijke waarderingen van voorkomende propositieletters.
Als n verschillende propositieletters in formule voorkomen, heeft
waarheidstabel 2n rijen.
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Voorbeeld waarheidstabel
Waarheidstabel
((h ∧ s) → ¬u)
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7
V8
h
1
1
1
1
0
0
0
0
s
1
1
0
0
1
1
0
0
u (h ∧ s) ¬u ((h ∧ s) → ¬u)
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Model
Waardering V is model voor formule ϕ als V (ϕ) = 1.
Notatie:
MOD(ϕ) = {V |V (ϕ) = 1}
is verzameling van alle modellen van ϕ.
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Modeleliminatie
Modeleliminatie: gebaseerd op
als Σ1 ⊆ Σ2 , dan MOD(Σ2 ) ⊆ MOD(Σ1 ).
Toepassing: begin met alle rijen in waarheidstabel voor de
voorkomende propositieletters in verzameling formules, en streep
rijen weg die geen model zijn van eerste formule, vervolgens
hetzelfde voor tweede formule, tot dit voor alle formules gedaan is.
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Voorbeeld modeleliminatie 1
Voorbeeld modeleliminatie:
Over het weer in London weten we:
1. Het waait of het regent
2. Als het waait en regent, dan is het koud
3. Als het regent, dan is het niet koud
4. Als het niet waait, dan is het koud
Welke conclusies over het weer in London?
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Voorbeeld modeleliminatie 2
Vertaling:
1. w : het waait
2. r : het regent
3. k: het is koud
4. Σ = {(w ∨ r ), ((w ∧ r ) → k), (r → ¬k), (¬w → k)}
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Voorbeeld modeleliminatie 3
V1
V2
→ V3
→ V4
V5
V6
V7
V8
w
1
1
1
1
0
0
0
0
r
1
1
0
0
1
1
0
0
k (w ∨ r ) ((w ∧ r ) → k) (r → ¬k) (¬w → k)
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
Conclusie: twee modellen V3 en V4 . Voor beide geldt: het waait,
en het regent niet.
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Tautologie, logisch equivalent
Formule ϕ is tautologie als elke waardering een model is van ϕ.
Voorbeelden van tautologie¨en: (p → (q → p)), alle instanties van
(ϕ ∨ ¬ϕ) en ¬(ϕ ∧ ¬ϕ).
Twee formules ϕ en ψ heten logisch equivalent als en slechts als
(ϕ ↔ ψ) een tautologie is.
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Voorbeelden tautologie, logisch equivalent
Voorbeelden logische equivalenties en tautologie¨en:
1. ϕ en ¬¬ϕ,
(ϕ ∧ (ψ ∧ χ)) en ((ϕ ∧ ψ) ∧ χ)
2. Wetten van De Morgan:
(¬(ϕ ∧ ψ) ↔ (¬ϕ ∨ ¬ψ))
(¬(ϕ ∨ ψ) ↔ (¬ϕ ∧ ¬ψ))
3. Principes van distributiviteit:
((ϕ ∧ (ψ ∨ χ)) ↔ ((ϕ ∧ ψ) ∨ (ϕ ∧ χ)))
((ϕ ∨ (ψ ∧ χ)) ↔ ((ϕ ∨ ψ) ∧ (ϕ ∨ χ)))
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Gevolgen
Gevolgen:
Lossere notaties: ϕ ∧ ψ ∧ χ i.p.v. (ϕ ∧ (ψ ∧ χ)) of ((ϕ ∧ ψ) ∧ χ)
(associativiteit connectief ∧)
Regel: haakjes mogen weggelaten worden, mits de semantiek
duidelijk is.
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Disjunctieve normaalvorm
Uit waarheidstabel slide 23,
((w ∨ r ) ∧ ((w ∧ r ) → k) ∧ (r → ¬k) ∧ (¬w → k)
is wegens de twee modellen V3 en V4 logisch equivalent met
formule
(w ∧ ¬r ∧ k) ∨ (w ∧ ¬r ∧ ¬k)
en met formule
(w ∧ ¬r )
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Disjunctieve normaalvorm 2
Twee formules in disjunctieve normaalvorm.
Formule is in disjunctieve normaalvorm: syntactische vorm is
disjunctie van conjuncties, bestaande uit atomen of negaties van
atomen.
(ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn1 ) ∨ · · · ∨ (χ1 ∧ · · · ∧ χnk )
met ϕ1 , . . . , χnk atomen of negaties van atomen.
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Disjunctieve normaalvorm, functioneel volledig
Iedere formule ϕ met minstens ´e´en model heeft logisch equivalente
formule ϕ∗ in disjunctieve normaalvorm.
Disjunctieve normaalvorm gebruikt enkel ¬, ∧ en ∨.
Formule (p ∧ ¬p) heeft geen model (contradictie); gebruikt enkel
∧.
Conclusie: elke formule heeft equivalente formule waarin enkel
connectieven ¬, ∧ en ∨ optreden.
Verzameling connectieven {¬, ∧, ∨} is functioneel volledig.
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
Functioneel volledig
Verzameling connectieven C heet functioneel volledig als elke
formule logisch equivalent is met een formule waarin enkel
connectieven uit C voorkomen.
{¬, ∧}, {¬, ∨} en {NOR} zijn functioneel volledig.
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek
Inleiding
Syntaxis van propositielogica
Constructieboom
Semantiek van de propositielogica
Modellen
NOR
ϕ ψ (ϕ NOR ψ)
1 1
0
1 0
0
0 1
0
0 0
1
L. Storme
Hoofdstuk 2: Propositielogica: syntaxis en semantiek