Transcript Document 6085879

4.3 Machtreeksen
Convergentiegebied
Indien (ck ) een rij complexe getallen is en a
is
∞
X
∈ C, dan
ck (x−a)k = c0 +c1(x−a)+c2(x−a)2 +· · ·
• Het convergentiegebied is de verzameling van alle
x ∈ C waarvoor de machtreeks convergent is.
• Op het convergentiegebied definieert de machtreeks
een functie:
k=0
een machtreeks rond a.
x 7→
• De partieelsommen zijn functies van x:
n
X
sn(x) =
ck (x − a)k
∞
X
k=0
ck (x − a)k
• Probleem: Wat is het convergentiegebied?
k=0
• De partieelsom sn is een veelterm van graad ≤ n.
• De convergentie van de machtreeks hangt af van de
waarde van x ∈ C.
37
36
Convergentiestraal
Gegeven is de machtreeks
∞
P
k=0
Er is een getal Rc
schappen:
Bewijs van convergentie voor |x − a| < Rc
ck (x − a)k .
∈ [0, +∞] met de volgende eigen-
• Als |x − a| < Rc dan is de machtreeks convergent.
• Als |x − a| > Rc dan is de machtreeks divergent.
Dit getal Rc heet de convergentiestraal van de machtreeks.
• Formule voor Rc:
Rc =
1
lim sup
k→∞
1√
• Neem r met |x − a| < r < Rc =
.
lim sup k |ck |
k→∞
p
1
• Dit betekent lim sup k |ck | < .
r
k→∞
p
• Voor k groot genoeg geldt dan k |ck | < r1 . zodat
k
|ck | < r1 , oftewel |ck |r k < 1.
|x − a|k
|x − a| k
k
k
• Dan is |ck (x−a) | = |ck |r ·
=O
r
rk
• Omdat |x − a| < r is de meetkundige reeks met
p
k
|ck |
|x−a|
r convergent. Uit de vergelijkingstest volgt
∞
X
ck (x − a)k convergent is.
dat de reeks
rede
k=0
38
39
Bewijs van divergentie voor |x − a| > Rc
• Neem nu |x − a| > Rc.
• Dan is
p
lim sup k |ck | >
k→∞
• Dus voor oneindig veel k geldt dat |ck | >
oftewel
|ck ||x − a|k > 1.
• Rc = 0 en Rc = +∞ is mogelijk.
• Rc = 0 betekent enkel convergentie voor x = a.
Het convergentiegebied is dan {a}.
1
.
|x − a|
• Voor oneindig veel k geldt dan dat
p
1
k
|ck | >
.
|x − a|
Convergentieschijf
• Rc = +∞ betekent dat de machtreeks convergent
is voor elke x ∈ C. Het convergentiegebied is C.
1 ,
|x−a|k
• De rij (ck (x−a)k ) convergeert dan zeker niet naar 0,
zodat de machtreeks divergent is voor |x−a| > Rc.
• In het geval 0 < Rc < +∞ is de reeks absoluut
convergent voor x in de open schijf rond a met
straal Rc en divergent voor x buiten de gesloten
schijf rond a met straal Rc.
• Het convergentiegebied is dan de open schijf plus
mogelijk nog een deel van de rand.
• We spreken over de convergentieschijf.
40
Worteltest (test van Cauchy)
Verhoudingstest (test van d’Alembert)
Als de limiet
Als de limiet
p
lim k |ck | = ∆
k→∞
dan is
41
bestaat
dan is
1
1
p .
Rc = =
∆
lim k |ck |
k→∞
ck+1 =∆
lim k→∞ ck bestaat
ck 1
Rc = = lim ∆ k→∞ ck+1 • Pas verhoudingstest toe op de reeks
• Als de limiet bestaat, dan geldt ook
p
lim sup k |ck | = ∆.
a)k |.
k→∞
∞
P
k=0
|ck (x −
• Uit het gegeven volgt
ck+1 |ck+1(x − a)k+1|
|x−a| = ∆|x−
lim
= lim k→∞ |ck (x − a)k |
k→∞ ck • Dus convergentie als ∆|x − a| < 1 en divergentie
1.
als ∆|x − a| > 1. Dus de convergentiestraal is ∆
42
43
Afgeleide machtreeks
Zij
∞
X
k=0
Dan is
∞
X
Afgeleide van een machtreeks
ck (x − a)k een machtreeks.
kck (x−a)k−1 =
∞
X
Zij
(k+1)ck+1(x−a)k
(∗)
lim
k→∞
√
k
k = 1.
• Merk op dat (∗) ontstaat door de machtreeks termsgewijs te differentieren.
¨
ck (x−a)k een machtreeks met convergenties-
k=0
traal Rc
k=1
k=0
een machtreeks met dezelfde convergentiestraal.
• Volgt in feite omdat
∞
X
> 0. Dan is de functie
∞
X
f (x) =
ck (x − a)k
k=0
afleidbaar voor |x − a| < Rc en de afgeleide is
∞
∞
X
X
0
k−1
f (x) =
kck (x−a)
=
kck (x−a)k−1.
k=0
k=1
• Geen bewijs.
• In het bijzonder is f ook continu in de open schijf
{x ∈ C | |x − a| < Rc}.
44
Hogere afgeleiden
45
4.4 Taylorveeltermen en Taylorreeksen
We kunnen de stelling herhaald toepassen:
∞
X
00
f (x) =
k(k − 1)ck (x − a)k−2
k=2
∞
X
f 000(x) =
k(k − 1)(k − 2)ck (x − a)k−3
k=3
enzovoorts.
• Een functie die voorgesteld wordt door een conver-
a ∈ domf , kunnen
we ck vinden zo dat voor |x − a| < Rc geldt
∞
X
f (x) =
ck (x − a)k ?
Vraag: Gegeven een functie f en
k=0
• Noodzakelijk is dat alle afgeleiden van f bestaan en
f 00(a)
0
c0 = f (a),
c1 = f (a),
c2 =
2
en algemeen
gente machtreeks is een heel nette functie.
• Alle afgeleiden bestaan en worden ook weer voorgesteld
door convergente machtreeksen.
ck =
• De reeks
f (k)(a)
k!
∞ (k)
X
f (a)
k!
(x − a)k
k=0
is de Taylorreeks van f in a.
46
47
• De nde partieelsom
Pn(x) =
n
X
f (k)(a)
k!
k=0
(x − a)k
is de Taylorveelterm van graad n van f in a.
Taylorveelterm
• Voor n = 0:
P0(x) = f (a)
• Voor n = 1:
P1(x) = f (a) + f 0(a)(x − a) de
grafiek van P1 is de raaklijn aan de grafiek van f .
• Voor n = 2:
f 00 (a)
P2(x) = f (a) + f 0(a)(x − a) + 2 (x − a)2
• Er geldt
P2(a) = f (a)
P20 (a) = f 0(a)
P200 (a) = f 00(a)
• De grafiek van P2 is een parabool die zo goed
mogelijk aansluit bij de grafiek van f in het punt a.
48
49
Eigenschap 4.15
Eigenschap 4.16
• Zij Pn de Taylorveelterm van f in a. Dan geldt
(k)
Pn (a) = f (k)(a),
Bovendien is
voor k
= 0, 1, . . . , n
• Als de eerste n + 1 afgeleiden van f in a bestaan,
dan geldt
f (x) − Pn(x) f (n+1)(a)
lim
=
x→a (x − a)n+1
(n + 1)!
Pn de enige veelterm van graad ≤ n
met deze eigenschap.
• Illustratie voor f (x) = ex
Bewijs:
• Pas de regel van de l’ Hopital
ˆ
n + 1 keer toe.
4
P_2(x) = 1+x+x^2/2
3
2
P_1(x) = 1+x
y
1
–4
–3
–2
–1
2
1
3
x
–1
–2
P_3(x) = 1+x+x^2/2+x^3/6 –3
50
51
Restterm
• Restterm
Formule van Taylor
• Neem aan dat de eerste n + 1 afgeleiden van f
in een interval I rond a bestaan en continu zijn.
Zij Pn de Taylorveelterm van f in a met restterm
Rn+1 = f − Pn. Voor elke x ∈ I is er dan een c
tussen a en x met
1
f (n+1)(c)(x − a)n+1.
Rn+1(x) =
(n + 1)!
Rn+1(x) = f (x) − Pn(x)
voldoet aan
Rn+1(x)
f (n+1)(a)
=
x→a (x − a)n+1
(n + 1)!
lim
en aan
Rn+1(x) = O (x − a)n+1
als x
→a
Gevolg
|x − a|n+1
max f (n+1)(t)
(n + 1)!
waarbij het maximum genomen wordt over alle t tussen
a en x.
|Rn+1(x)| ≤
52
Geval n = 0
53
Maclaurinveelterm
• Er geldt P0(x) = f (a) en R1(x) = f (x) − f (a).
• Formule van Taylor voor n = 0 zegt dat
• a = 0 dan spreekt men van Maclaurinveelterm,
Maclaurinreeks, formule van Maclaurin
f (x) − f (a) = f 0(c)(x − a)
voor zekere c tussen a en x.
• Dit is precies de middelwaardestelling.
• De formule van Taylor is een uitbreiding van de middelwaardestelling.
Bewijs
• Het bewijs van de formule van Taylor is gebaseerd op
een uitbreiding van de stelling van Rolle.
54
55
4.4.2 Convergentie van Taylorreeksen
• f is analytisch in a als
lim Pn(x) = f (x)
n→∞
voor alle x in een omgeving I van a.
• In dat geval convergeert de Taylorreeks voor elke
x ∈ I en
∞ (k)
X
f (a)
f (x) =
(x − a)k
k!
k=0
• Hiervoor is het nodig dat
lim |Rn(x)| = 0.
n→∞
• Vanwege de afschatting van de restterm is het voldoende dat
1
lim
|x − a|n max f (n)(t) = 0.
n→∞ n!
t
Voorbeeld ln(1 + x)
• Zij f (x) = ln(1 + x). Dan
1
= (1 + x)−1
f 0(x) =
1+x
00
f (x) = −(1 + x)−2
f 000(x) = 2(1 + x)−3
f (4)(x) = −6(1 + x)−4
• Algemeen
f (k)(x) = (−1)k−1(k−1)!(1+x)−k ,
• Dan f (0) = 0 en
f (k)(0) = (−1)k−1(k − 1)!,
zodat de Maclaurinreeks gelijk is aan
∞
X
(−1)k−1 k
k=0
56
ln(1 + x)
k
ln(1 + x)
2
y
x .
57
1
x
1
–1
≥ 1,
2
1
–2
voor k
voor k
2
–2
x
1
–1
0
0
–1
–1
–2
y
–2
–3
–3
–4
–4
• Maclaurinveeltermen van graad 1, 2 en 3 (stippellijnen)
58
2
• Maclaurinveelterm van graad 15
• Grafiek valt vrijwel samen met de grafiek van ln(1+x)
op het interval ] − 1, 1[.
59
≥ 1.
Afschatting restterm
Conclusie
• Uit |f (n)(t)| = (n−1)!(1+t)−n volgt dat |f (n)(t)|
een dalende functie is. Het maximum op een interval
• Bijgevolg is
ln(1 + x)
[a, b] wordt aangenomen in a.
=
∞
X
(−1)k−1
k=0
• Als x > 0, dan
max |f (n)(t)| = (n − 1)!
t∈[0,x]
en
|Rn(x)| ≤
1 n
1
|x| (n − 1)! = xn.
n!
n
• Als x ∈ [0, 1], dan geldt
lim Rn(x) = 0.
60
Andere voorbeelden
∈ [0, 1].
xk
• Speciaal geval x = 1:
∞
X
(−1)k−1
ln2 =
k
k=0
1 1 1
= 1 − + − + ···
2 3 4
• Dit is de alternerende harmonische reeks!
n→∞
als x
k
Lees zelf de rest van paragraaf 4.4 door.
62
61