Transcript Slides College 15

4051CALC1Y – Calculus 1
College 15
2 oktober 2014
Challenge the future
1
Programma
Vanmiddag
• Integraaltest (10.5)
Challenge the future
2
Herhaling
• Een integraal is oneigenlijk als het interval onbegrensd is of als 𝑓
een oneindige discontinuïteit heeft in punt 𝑐 in het interval [𝑎, 𝑏].
• Voor een positieve en continue functie 𝑓 op 𝑎, ∞ geldt
∞
𝑓
𝑎
𝑥 𝑑𝑥 =
𝑡
lim 𝑎 𝑓
𝑡→∞
𝑥 𝑑𝑥
• gegeven dat deze limiet bestaat, oftewel dat deze limiet gelijk is
aan een eindig getal.
• Als de limiet bestaat, dan convergeert de oneigenlijke integraal.
Anders divergeert de oneigenlijke integraal.
Challenge the future
3
Herhaling
• Een oneindige reeks wordt gegeven door
∞
𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 + ⋯
𝑛=1
• waarbij 𝑎𝑛 een oneindige rij is.
• Als lim 𝑎𝑛 ≠ 0 of als deze limiet niet bestaat, dan divergeert de
𝑛→∞
oneindige reeks ∑𝑎𝑛 .
Challenge the future
4
Integraal test
Stelling
Gegeven dat
• ∑𝑎𝑛 een positieve reeks is,
• 𝑓 een positieve, dalende, continue functie is voor 𝑥 ≥ 1 en
• 𝑓 𝑛 = 𝑎𝑛 voor gehele getallen 𝑛 ≥ 1 dan
convergeren of divergeren
∞
𝑎𝑛 en
𝑛=1
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥.
1
Challenge the future
5
Integraal test
Voorbeeld
∞
𝑛=1
1
1 1
=1+ + +⋯
𝑛
2 3
𝑆𝑛 >
𝑛+1 1
1
𝑥
2
𝑑𝑥 = ln(𝑛 + 1)
Dus lim 𝑆𝑛 = ∞.
𝑛→∞
2,5
1,5
1,1
1
2,
1
2
0,5
3,
1
3
4,
1
4
0
0
1
2
3
4
5
6
Challenge the future
7
8
6
Integraal test
Voorbeeld
∞
𝑛=1
1
1 1
=1+ + +⋯
𝑛
2 3
∞1
𝑥
1
𝑑𝑥 = lim
𝑡→∞
𝑡1
1
𝑥
𝑑𝑥
= lim ln 𝑡 = ∞
𝑡→∞
∞
Dus
𝑛=1
1
divergeert.
𝑛
2,5
2
1,5
1,1
1
2,
1
2
0,5
3,
1
3
4,
1
4
0
0
1
2
3
4
5
6
Challenge the future
7
8
7
𝑝-reeksen
Definitie
De 𝑝-reeks wordt gegeven door
∞
𝑛=1
1
1
1
1
= 1 + 𝑝 + 𝑝 + ⋯+ 𝑝 + ⋯
𝑝
𝑛
2
3
𝑛
De waarde van 𝑝 bepaalt of de 𝑝-reeks convergeert of divergeert.
Challenge the future
8
𝑝-reeksen
Bewijs
1
∞
∑𝑛=1 𝑝 .
𝑛
1
De 𝑝-reeks wordt gegeven door
De functie 𝑓 𝑥 = 𝑝
𝑥
voldoet aan de eisen van de integraal test. Voor 𝑝 ≠ 1 geldt
∞
1
1
𝑑𝑥 = lim
𝑝
𝑡→∞
𝑥
𝑡
1
−1
𝑑𝑥 = lim
𝑝
𝑡→∞ 𝑝 − 1 𝑥 𝑝−1
𝑥
1
−1
1
= lim
+
𝑝−1
𝑡→∞ 𝑝 − 1 𝑡
𝑝−1
Als 0 ≤ 𝑝 ≤ 1 dan divergeert
deze rij.
1
∞
∑𝑛=1 𝑝
𝑛
𝑡
1
en voor 𝑝 > 1 convergeert
Challenge the future
9
𝑝-reeksen
Voorbeeld
∞
𝑛=1
convergeert want 2 > 1.
∞
𝑛=1
divergeert want
1
2
1
𝑛2
1
𝑛
< 1.
Challenge the future
10
Integraal test
Gegeven dat ∑𝑎𝑛 een positieve reeks is, 𝑓 een positieve, dalende,
continue functie is voor 𝑥 ≥ 1 en 𝑓 𝑛 = 𝑎𝑛 voor gehele getallen
∞
∞
𝑛 ≥ 1 dan convergeren of divergeren ∑𝑛=1 𝑎𝑛 en 1 𝑓 𝑥 𝑑𝑥.
Voorbeeld
∞
𝑛=1
1
𝑛 𝑛+1
is een positieve reeks. De functie
1
𝑓 𝑥 =
𝑥 𝑥+1
is een positieve, dalende, continue functie voor 𝑥 ≥ 1.
Challenge the future
11
Integraal test
Gegeven dat ∑𝑎𝑛 een positieve reeks is, 𝑓 een positieve, dalende,
continue functie is voor 𝑥 ≥ 1 en 𝑓 𝑛 = 𝑎𝑛 voor gehele getallen
∞
∞
𝑛 ≥ 1 dan convergeren of divergeren ∑𝑛=1 𝑎𝑛 en 1 𝑓 𝑥 𝑑𝑥.
Voorbeeld
∞
1
1
𝑑𝑥 = lim
𝑡→∞
𝑥 𝑥+1
𝑡
1
1
𝑑𝑥 = lim
𝑡→∞
𝑥 𝑥+1
𝑡1
1
1
−
𝑑𝑥
𝑥 𝑥+1
1
𝐴
𝐵
𝐴𝑥 + 𝐴 + 𝐵𝑥
= +
=
→ 𝐴 = 1, 𝐵 = −1
𝑥 𝑥+1
𝑥 𝑥+1
𝑥 𝑥+1
Challenge the future
12
Integraal test
Gegeven dat ∑𝑎𝑛 een positieve reeks is, 𝑓 een positieve, dalende,
continue functie is voor 𝑥 ≥ 1 en 𝑓 𝑛 = 𝑎𝑛 voor gehele getallen
∞
∞
𝑛 ≥ 1 dan convergeren of divergeren ∑𝑛=1 𝑎𝑛 en 1 𝑓 𝑥 𝑑𝑥.
Voorbeeld
∞
1
1
𝑑𝑥 = lim
𝑡→∞
𝑥 𝑥+1
𝑡
1
1
𝑑𝑥 = lim
𝑡→∞
𝑥 𝑥+1
= lim ln 𝑥 − ln 𝑥 + 1
𝑡→∞
= ln lim
𝑡→∞
𝑡
1
1
1
1+
𝑡
𝑡1
1
1
−
𝑑𝑥
𝑥 𝑥+1
𝑡
= lim ln
+ ln 2
𝑡→∞
𝑡+1
+ ln 2 = ln 2
Challenge the future
13
Integraal test
Gegeven dat ∑𝑎𝑛 een positieve reeks is, 𝑓 een positieve, dalende,
continue functie is voor 𝑥 ≥ 1 en 𝑓 𝑛 = 𝑎𝑛 voor gehele getallen
∞
∞
𝑛 ≥ 1 dan convergeren of divergeren ∑𝑛=1 𝑎𝑛 en 1 𝑓 𝑥 𝑑𝑥.
Oefening
∞
𝑛=1
1
𝑛3 + 𝑛
is een positieve reeks. De functie
1
𝑓 𝑥 = 3
𝑥 +𝑥
is een positieve, dalende, continue functie voor 𝑥 ≥ 1.
Challenge the future
14
Integraal test
Gegeven dat ∑𝑎𝑛 een positieve reeks is, 𝑓 een positieve, dalende,
continue functie is voor 𝑥 ≥ 1 en 𝑓 𝑛 = 𝑎𝑛 voor gehele getallen
∞
∞
𝑛 ≥ 1 dan convergeren of divergeren ∑𝑛=1 𝑎𝑛 en 1 𝑓 𝑥 𝑑𝑥.
Oefening
∞
1
1
𝑑𝑥 = lim
3
𝑡→∞
𝑥 +𝑥
𝑡
1
1
𝑑𝑥 = lim
3
𝑡→∞
𝑥 +𝑥
𝑡1
1
𝑥
− 2
𝑑𝑥
𝑥 𝑥 +1
1
1
𝐴 𝐵𝑥 + 𝐶 𝐴𝑥 2 + 𝐴 + 𝐵𝑥 2 + 𝐶𝑥
=
= + 2
=
3
2
𝑥 +𝑥 𝑥 𝑥 +1
𝑥 𝑥 +1
𝑥 𝑥2 + 1
𝐴 = 1, 𝐵 = −1, 𝐶 = 0
Challenge the future
15
Integraal test
Gegeven dat ∑𝑎𝑛 een positieve reeks is, 𝑓 een positieve, dalende,
continue functie is voor 𝑥 ≥ 1 en 𝑓 𝑛 = 𝑎𝑛 voor gehele getallen
∞
∞
𝑛 ≥ 1 dan convergeren of divergeren ∑𝑛=1 𝑎𝑛 en 1 𝑓 𝑥 𝑑𝑥.
Oefening
∞
1
1
𝑑𝑥 = lim
3
𝑡→∞
𝑥 +𝑥
1
= lim ln 𝑥 − ln 𝑥 2 + 1
𝑡→∞
2
𝑡
1
𝑡
1
1
𝑑𝑥 = lim
3
𝑡→∞
𝑥 +𝑥
𝑡1
1
𝑥
− 2
𝑑𝑥
𝑥 𝑥 +1
1
1
1
2
2
= lim ln 𝑡 − ln 𝑡 + 1 + ln 2
𝑡→∞ 2
2
2
1
𝑡2
1
1
= lim ln 2
+ ln 2 = ln 2
𝑡→∞ 2
𝑡 +1
2
2
Challenge the future
16
Opgaven maken
Hoofdstuk 10.5
Opgaven: 1, 3, 7, 8, 10, 13, 14, 22, 28
Challenge the future
17