Bruchrechnung Bruchrechnung in der Schule Nach Thüringer Lehrplan für Mathematik In Klasse 6 drei Themenabschnitte: Teilbarkeit, natürliche Zahlen: 5 Wochen Rechnen mit.
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Transcript Bruchrechnung Bruchrechnung in der Schule Nach Thüringer Lehrplan für Mathematik In Klasse 6 drei Themenabschnitte: Teilbarkeit, natürliche Zahlen: 5 Wochen Rechnen mit.
Bruchrechnung
Bruchrechnung in der Schule
Nach Thüringer Lehrplan für Mathematik
In Klasse 6 drei Themenabschnitte:
Teilbarkeit, natürliche Zahlen: 5 Wochen
Rechnen mit gebrochenen Zahlen: 14
Wochen
Symmetrien und Abbildungen: 9 Wochen
Vier Konzepte zur Behandlung
Größenkonzept
Äquivalenzklassenkonzept
Gleichungskonzept
Operatorenkonzept
Größenkonzept
ausgehend von
konkreten Brüchen
m
e (e… Einheit)
n
gelangt durch
Abstraktion zu fester
Bezugsgröße „Das
Ganze“
m
m
e
n
n
Größenkonzept
Vorteile
Nachteile
- Nähe zur Anwendung
Motivation
- Rückgriff auf
Vorkenntnisse
- geeignet für Erweitern,
Kürzen, Anordnung,
Addition, Subtraktion
- Grenzen bei der
Multiplikation und
Division
Methodenreinheit
Operatorkonzept
Bruchzahl als Operator bzw. Funktion
ausgehend vom alltäglichen Sprechen
„3/4 von 4 kg“
Anschaulichkeit: Operatoren als
„Maschinen“
Einstieg mit Multiplikation und Division
Operatorkonzept
Vorteile
- Einführung der
Multiplikation und
Division
Nachteile
- typische Fehler bei
Addition
- keine anschauliche
Vorstellung für Kürzen
und Erweitern
- Herleitung der
Anordnung der
Bruchzahlen aufwändig
Äquivalenzklassenkonzept
Bruchzahl als Äquivalenzklasse von
quotientengleichen Paaren von natürlichen
Zahlen
Rechenoperationen (Addition,
Multiplikation, etc.) werden definiert
Äquivalenzklassenkonzept
Vorteile
- mathematisch
einwandfreie Definition
Nachteile
- keine Anwendungsorientierung, zu formal
- knüpft nicht an Vorwissen der Schüler an
Gleichungskonzept
Bruchzahl als Lösung einer linearen
Gleichung
Gleichungskonzept
Vorteile
- einfache, mathematisch
einwandfreie Einführung
der Rechenoperationen
Nachteile
- Lösbarkeit der Gleichung
wird vorausgesetzt
- erforderliche Vorkenntnisse
über Gleichungssysteme
nicht vorhanden
- sehr formal
- Probleme bei Einführung
der Division
Anwendungsaspekte von
Bruchzahlen
Maßzahlaspekt
Relationsaspekt
Operatoraspekt
Skalenwertaspekt
Quotientenaspekt
Zwei Grundvorstellungen
Bruch als Teil eines Ganzen
Bruch als Teil mehrerer Ganzen
Bruch als Teil eines Ganzen
Bruch als Teil eines Ganzen
Gleichheit beider Vorstellungen
Unterschied zu natürlichen Zahlen
Möglichkeit der Zuordnung mehrerer
Bruchzahlen zu einem Repräsentanten
Bruchdomino
Addition von Bruchzahlen
Addition zweier gleichnamiger Brüche:
• Veranschaulichung über (z. B.) Flächen
2
dm ²
5
=
+
3
dm ²
5
1
dm ²
5
• weitere Variationen / Beispiele
(intuitives) Erkennen der Regel für Addition gleichnamiger Brüche:
a
b
ab
e e
e
c
c
c
bzw. (ohne Größeneinheit e)
a b ab
c c
c
Addition zweier ungleichnamiger Brüche:
1
dm ²
4
+
2
dm ²
3
Addition zweier ungleichnamiger Brüche:
passende Unterteilung des Rechtecks in gleich große
Teilflächen
1
dm ²
4
2
dm ²
3
Addition zweier ungleichnamiger Brüche:
• gröbste gemeinsame Unterteilung wird rechnerisch
durch das Finden des Hauptnenners (kgV der beiden
Nenner) realisiert
• beide Brüche werden entsprechend erweitert und
gemäß der Additionsregel für gleichnamige Brüche
addiert
• allgemeine Regel:
a
c
ad bc
e e
e
b
d
bd
bzw.
a c ad bc
b d
bd
Addition von Bruch und natürlicher Zahl:
• Einbettung der natürlichen Zahlen in die Bruchzahlen:
n
n
1
• entsprechende Anwendung der Rechenregeln
Einführung gemischter Zahlen
• Kurzschreibweise, z. B.:
1
1
7 7
3
3
• erleichtert Addition, z. B.:
35 61
2
1
13
10 3
11 12 (11 12) 23
3
5
3
5
15
15 15
statt:
35 61 175 183 358
3
5
15
15
15
Typische Schülerfehler bei der
Addition
Addition zweier ungleichnamiger Brüche:
a c ac
b d bd
Ursachen:
• Übertragung der Multiplikationsregel
• fehlendes Verständnis
• Übertragung von Alltagssituationen
Typische Schülerfehler bei der
Addition
Addition zweier ungleichnamiger Brüche:
• Fehler beim Erweitern der Brüche auf einen
Hauptnenner
• z. B.:
a c ac
b d
bd
Typische Schülerfehler bei der
Addition
Addition von Bruch und natürlicher Zahl:
a
an
n
•
b
b
bzw.
a na
n
b
b
• falsche Einbettung der natürlichen Zahlen in die
Bruchzahlen:
n
n
n
Gruppenarbeit
Aufgabe:
Erarbeiten Sie einen schülergerechten Weg
zur Erarbeitung bzw. Einführung der
Rechenregel für die Division zweier
Bruchzahlen!
a c a d ad
:
b d b c bc
„Wenn man die gemeinen Brüche
eingeführt hat, muss man dann
überhaupt noch die Dezimalbrüche
einführen?
Oder reicht es nur eines von beiden zu
behandeln?“
Quellen
Padberg, F. (1995): Didaktik der Bruchrechnung.
Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin,
Oxford
Pietzsch, G. (1985): Zur Behandlung der gebrochenen
Zahlen im Unterricht. Volk und Wissen, Berlin
http://www.fachmoderator-mathematik.de/54.1.html
(Stand: 23.06.2007)
http://www.hattendoerfer.de/friedrich/bruchrechnung/bruc
-0.html (Stand: 23.06.2007)
http://www.math.uniaugsburg.de/prof/dida/Lehre/AlgebraAlt/Algebra.html
(Stand: 23.06.2007)