Transcript Tema 6. Cálculo deductivo en lógica de primer orden a. Conceptos básicos.

Tema 6. Cálculo deductivo en
lógica de primer orden
a. Conceptos básicos
En un tribunal inglés, un hombre llamado Home, que
acusaba a un vecino de asesinato, fue procesado por
calumnias. Sus palabras exactas fueron: "Sir Thomas
Holt tomó un hacha y golpeó a su cocinero en la cabeza,
de modo que una parte de la cabeza cayó sobre un
hombro, y la otra parte sobre el otro hombro".
Home fue absuelto, a indicación del tribunal; los doctos
jueces declararon que sus palabras no constituían una
acusación de asesinato, ya que no afirmaban que el
cocinero hubiese muerto: esto era una simple inferencia.
(Ambrose Bierce, Diccionario del diablo)
La deducción de primer orden
• Las nociones básicas de deducción en L1 son
idénticas a las de L0: la idea es progresar desde
ciertas premisas (o, a veces, ninguna) hasta
cierta conclusión aplicando determinadas reglas
de inferencia.
• La diferencia es que, al tener fórmulas más
complejas, con nuevos símbolos, necesitaremos
nuevas reglas que los involucren: esto se aplica
especialmente a los cuantificadores y la
identidad.
La deducción de primer orden
• Es decir, el cálculo de predicados hereda todas
las reglas de inferencia que empleábamos en el
proposicional, y añade unas cuantas más.
• Al igual que teníamos reglas de introducción y
eliminación para cada conectiva, necesitaremos
reglas de introducción y eliminación de los dos
tipos de cuantificador.
• La eliminación del cuantificador consiste en
una ejemplificación.
• La introducción del cuantificador es la inversa:
consiste en “generalizar” desde un ejemplar
Ejemplificación (o particularización)
• Una idea crucial en la deducción de primer orden es la
de ejemplificación.
• Ejemplificar es presentar un caso particular de una
expresión cuantificada:
Universal: 1. Todo el mundo es culpable
 1’. Gutiérrez es culpable
Existencial: 2. Alguno es culpable
 2’. Gutiérrez es culpable
• Nótese la diferencia: Si 1 es verdad, 1’ también lo es,
pero si 2 es verdad, 2’ no tiene por qué serlo.
Ejemplificación
• En términos formales, ejemplificar un cuantificador
consiste en eliminar dicho cuantificador, sustituyendo
todas las ocurrencias de la variable que liga, por una
determinada constante individual:
xPx
=> Pa
x(Px  Qx) => Pa  Qa
x¬(Px  Qx) => ¬(Pa  Qa)
OJO! xy(Px  Qy) => y(Pa  Qy)
x¬Px
=> ¬Pa
xRxx
=> Raa
OJO! xyRxy => yRay
Ejemplificación
• Un universal es como una conyunción gigante (tal vez
infinita). Si afirmo:
Todo número par es divisible por 2
es equivalente a afirmar:
2 es divisible por 2 y 4 es divisible por 2 y 6 es divisible
por 2 y ... y 234738 es divisible por 2 y ...
• Un existencial es como una disyunción gigante:
Algún número par es primo
equivale a:
2 es primo o 4 es primo o 6 es primo o... o 76 es primo o
Ejemplificación
• Esto muestra por qué la ejemplificación de un
enunciado universal se sigue siempre de dicho
enunciado, mientras que la ejemplificación de un
enunciado existencial no se sigue de él, es decir, no es
su consecuencia lógica:
De (    ) se siguen tanto  como  como 
De (    ) no podemos decir que se sigue  ni
tampoco que se sigue  ni , lo único que sabemos es
que si aquella disyunción es verdadera, debe darse al
menos uno de los tres, pero no sabemos cuál.
Por tanto: debemos tener mucho cuidado al
ejemplificar un existencial
Introducir un cuantificador
• Introducir un cuantificador es la operación inversa de
la ejemplificación: desde un enunciado particular
obtenemos uno más general, bien porque lo
extendemos a la totalidad (universal), a una parte
indeterminada de ella (existencial):
1. Gutiérrez es panameño
 1’ Todo el mundo es panameño
2. Gutiérrez es panameño
 2’ Alguien es panameño
Ahora es 2’ la que se sigue de 2, mientras que 1’ no se
sigue de 1.
Introducir un cuantificador
• Podemos verlo de nuevo en términos de conyunciones
y disyunciones:
De  se sigue (  ) y por tanto también se sigue
(      ...), que viene a equivaler a un .
De  no se sigue (      ...), que viene a equivaler a
un .
Por tanto: en este caso hay que tener cuidado con
la introducción del universal
Resumen
•
Tendremos 4 casos:
1.
2.
3.
4.
ELIMINACIÓN DEL UNIVERSAL
INTRODUCCIÓN DEL EXISTENCIAL
INTRODUCCIÓN DEL UNIVERSAL
ELIMINACIÓN DEL EXISTENCIAL
Los casos problemáticos son 3 y 4, de manera que
comenzaremos por los menos problemáticos.
Lo haremos primero de manera informal y luego formal.
1. Eliminación del universal
• Consideremos esta deducción:
A. Todo mayordomo es un criminal
B. Adams es mayordomo
Por tanto: C. Adams es un criminal
¿cómo llegamos de A a C?
• Un modo informal de verlo es:
(A) nos dice que si uno es mayordomo, es un criminal,
así que si Adams es mayordomo, Adams es criminal
(B) nos da el antecedente del condicional anterior
Por tanto, (C) resulta de aplicar un modus ponens sobre
ese condicional.
1. Eliminación del universal
•
Lo que hemos hecho es ejemplificar (A), eliminando
el universal, para aplicar aquello que afirma (A) a un
individuo cualquiera (dentro del dominio sobre el
que hablamos)
• En términos formales:
1. x(Mx  Cx)
Premisa
2. Ma
Premisa
3. Ma  Ca
Eliminación del Universal 1
4. Ca
MP 2, 3
1. Eliminación del universal
• Consideremos otro ejemplo:
A. Todo mayordomo odia a los cocineros
B. Bert es mayordomo
C. Carl es cocinero
Por tanto, D. Bert odia a Carl
•
En este razonamiento seguimos la misma pauta que
en el anterior, pero teniendo en cuenta que, como
estamos relacionando dos grupos, necesitamos
particularizar en un individuo para cada grupo. Lo
que (A) dice es: si uno es mayordomo y otro es
cocinero, el primero odia al segundo.
1. Eliminación del universal
•
Veámoslo de manera formal:
1. xy((Mx  Cy) Oxy) Premisa
2. Mb
Premisa
3. Cc
Premisa
4. y((Mb  Cy) Oby) EU 1
5. (Mb  Cc) Obc
EU 4
6. Mb  Cc
IC 2, 3
7. Obc
MP 5, 6
1. Eliminación del universal
•
•
Todo cuantificador lleva una variable. Al eliminar el
cuantificador universal, miramos la fórmula que cae bajo su
alcance y sustituimos las ocurrencias de la variable por una
constante individual cualquiera.
Sólo es factible eliminar el universal cuando el cuantificador
es el “símbolo dominante” de la fórmula, i.e., cuando el
cuantificador no se aplica sólo a una parte de la fórmula.
x(Px  Qx)
=>
x(Px  yQy) =>
xPx  xQx
=>
=>
y(Pb  Qy)
=>
y(Pb  Qy)
=>
Pa  Qa
Pa  yQy
Pa  xQx INCORRECTO
Pa  Qa INCORRECTO
Pb  Qa
Pb  Qb
2. Introducción del existencial
• Consideremos esta deducción:
A. Adams es mayordomo
Por tanto, B. Alguien es mayordomo
•
Es decir, si decimos de un individuo particular que
tiene cierta propiedad P, podemos decir que hay al
menos un individuo que tiene dicha propiedad:
1. Ma
Premisa
2. xMx Introducción del Existencial 1
2. Introducción del existencial
•
Para introducir el existencial en una fórmula, hay
que sustituir cada ocurrencia de la misma constante
en dicha fórmula por una misma variable, y colocar
la fórmula bajo el alcance del existencial, con la
variable en cuestión:
A. Bert envenena a Claire
Por tanto, B. Alguien envenena a alguien
1. Ebc
Premisa
2. xExc IE 1
3. xyExy IE 2
Podemos hacerlo en otro orden:
1 Ebc
Premisa
2’ xEbx
IE 1
3’ yxEyx IE 2
3 y 3’ expresan lo mismo
2. Introducción del existencial
•
Al introducir cuantificador existencial, sustituimos
por una variable cada aparición de la misma
constante. Para constante diferente, introducimos un
nuevo existencial, con una nueva variable:
Pa  Qa => xPx  Qx
INCORRECTO
Pa  xQx => y(Py  xQx)
Pa  xQx => yPy  xQx
INCORRECTO
Pa  Qb => x(Px  Qb)
Pa  Qb => x(Pa  Qx)
Pa  Qb => x(Px  Qx)
INCORRECTO
x(Px  Qb) => yx(Px  Qy)
x(Px  Qb) => xx(Px  Qx) INCORRECTO
3. Introducción del universal
• Consideremos esta deducción:
A. Las amas de llaves son psicópatas
B. Los psicópatas juegan bien al mus
Llamemos Ann al ama de llaves:
Por (A) sabemos que Si Ann es ama de llaves, Ann es
psicópata. Concluimos que nuestra Ann es psicópata.
Por (B) sabemos que si Ann es psicópata, juega bien al
mus. Concluimos que Ann juega bien al mus.
Por tanto, Si Ann es ama de llaves, Ann juega bien al
mus. Pero lo que vale para Ann, vale para cualquier
otro nombre que le hubiésemos dado. Por tanto:
C. Las amas de llaves juegan bien al mus
3. Introducción del universal
•
1.
2.





8.
9.
En términos formales:
x (Ax  Px)
premisa
x (Px  Jx)
premisa
3. Aa
hipótesis
4. Aa  Pa
EU 1
5. Pa  Ja
EU 2
6. Pa
MP 3, 4
7. Ja
MP 5, 6
Aa  Ja
ICd 3-7
x (Ax  Jx)
IU 8
Nótese que esta
deducción funciona
igual sea cual sea la
constante individual
por la que sustituimos
la x. Si en vez de a,
usamos b o c nuestra
conclusión no varía.
Es decir, la conclusión
se cumple para todo
individuo del dominio.
3. Introducción del universal
• Consideremos esta otra deducción:
A. Antonoff es un estrangulador búlgaro
Por tanto,
B. Todo el mundo es un estrangulador búlgaro ???
(B) es a todas luces una conclusión absurda. Sin embargo,
puede ocurrir que lleguemos a ella si aplicamos mal la
Introducción del Universal:
1. Ea  Ba
Premisa
2. x(Ex  Bx) Introd. del Universal 1 ???
3. Introducción del universal
•
El problema es que hemos generalizado desde un caso
particular. Esto nos muestra una restricción en la
aplicación de la Introducción del Universal:
NO DEBEMOS INTRODUCIR EL
UNIVERSAL SOBRE CONSTANTES QUE
APARECEN EN LAS PREMISAS
•
De otro modo podríamos llegar a conclusiones
que no se siguen de las premisas
3. Introducción del universal
• Veamos otro ejemplo:
A. Los búlgaros son inquietantes
Llamemos B. Antonoff a un búlgaro.
Por (A) sabemos que si Antonoff es búlgaro, es
inquietante. Así que Antonoff es inquietante.
Y lo que vale para Antonoff, vale para cualquier otro
individuo, por ejemplo, Bertoff. Así que:
• Si Antonoff es búlgaro, Bertoff es inquietante???
• De nuevo hemos llegado a una conclusión absurda:
que Bertoff sea o no inquietante no parece tener que
ver con el que Antonoff sea búlgaro
3. Introducción del universal
Veamos cómo llegar formalmente
a ese absurdo:
El problema reside
1. x(Bx  Ix) premisa
únicamente en el paso
 2. Ba
hipótesis
5, donde hemos
 3. Ba  Ia EU 1
universalizado sobre un
 4. Ia
MP 2, 3
individuo que habíamos
 5. xIx
IU ??? introducido en un
supuesto (línea 2), y
 6. Ib
EU 5
dicho supuesto aún no
7. Ba  Ib
ICd 2-7
se ha cerrado.
3. Introducción del universal
•
Esto nos muestra una segunda restricción en la
aplicación de la Introducción del Universal:
NO DEBEMOS INTRODUCIR EL
UNIVERSAL SOBRE CONSTANTES QUE
APARECEN EN SUPUESTOS QUE AÚN
NO HAYAMOS CERRADO
•
Recuérdese que un supuesto sólo se puede cerrar por
una Reducción al Absurdo o una Introducción del
Condicional.
3. Introducción del universal
•
Si no podemos introducir el universal sobre
constantes procedentes de premisas o de supuestos
no cancelados:
¿de dónde proceden las constantes sobre las que lo
introducimos?
•
De universales anteriores que hemos particularizado
por la regla de Eliminación del Universal.
•
La idea general es: las conclusiones
universales se obtienen desde enunciados
universales
3. Introducción del universal
Veamos otro ejemplo de una deducción bien hecha:
A. Los mayordomos son lacónicos
B. Ningún lacónico es de fiar
Por tanto: C. Ningún mayordomo es de fiar
1. x(Mx  Lx) prem.
2. x(Lx  ¬Fx) prem.
 3. Ma
hip.
 4. Ma  La EU 1
 5. La
MP 3, 4
...
6. La  ¬Fa
7. ¬Fa
8. Ma  ¬Fa
9. x(Mx  ¬Fx)
EU 2
MP 5, 6
ICd 3-7
IU 8
4. Eliminación del existencial
Consideremos esta deducción:
A. Hay un matemático psicópata
B. Los psicópatas son buenos bailarines
Por tanto: C. Hay un matemático que es buen bailarín
Un modo de razonar es el siguiente:
Por (A) sabemos de la existencia de un cierto individuo
que es matemático y psicópata. Llamémosle Archie.
Por (B) sabemos que si Archie es psicópata, es buen
bailarín. Así que Archie es un matemático buen
bailarín. Es decir, concluimos la existencia de un
cierto individuo con estas dos propiedades.
4. Eliminación del existencial
Formalmente:
1. x(Mx  Px)
2. x(Px  Bx)
3. Ma  Pa
4. Pa  Ba
5. Pa
6. Ba
7. Ma
8. Ma  Ba
9. x(Mx  Bx)
10. x(Mx  Bx)
(EE 1)
EU 2
EC 3
MP 4, 5
EC 3
IC 6, 7
IE 8
EE 1, 3-9
4. Eliminación del existencial
•
La idea general de la eliminación del  es:
Ejemplificamos el  en un individuo: esto es muy
similar a introducir un supuesto o a los casos en
que damos un nombre arbitrario a alguien que
desconocemos: “llamemos Smith al asesino...”
ii) Derivamos usando nuestras reglas de inferencia.
iii) Llegamos a cierta conclusión: podemos ahora
sacarla fuera del supuesto (fuera de la barra),
i)
siempre y cuando no dependa de la elección
de individuo que hagamos en el paso (i)
4. Eliminación del existencial
•
I.
II.
Hay 4 casos generales en los que la elección de
individuo para ejemplificar es incorrecta:
Aparece en las premisas
Aparece en la conclusión a la que hemos
llegado tras ejemplificar el 
III. Aparece en el enunciado cuyo  eliminamos
IV. Aparece en un supuesto, o una eliminación
de  que hemos iniciado, y que no hemos
cancelado
4. Eliminación del existencial
I.
Aparece en las premisas:
A. Alguien odia a Adams
Supongamos que B. es Adams quien odia a Adams 
Por tanto, C. Alguien se odia a sí mismo
1. xOxa premisa
 2. Oaa (EE1) ???
 3. xOxxIE 2
4. xOxx EE 1, 2-3
4. Eliminación del existencial
II.
Aparece en la conclusión a la que hemos llegado tras
ejemplificar el 
A. Alguien es un asesino
Supongamos que B. Adams es un asesino
Por tanto, C. Adams es un asesino 
1. xAx
premisa
 2. Aa
(EE1)
 3. Aa
rep 2
4. Aa
EE 1, 2-3 ???
Y podríamos continuar: 5. xAx ¡Todos somos asesinos!
4. Eliminación del existencial
Aparece en el enunciado cuyo  eliminamos
A. Alguien envenena a alguien
Supongamos que B. Adams es el envenenador
Supongamos que C. Adams es el envenenado 
Por tanto, D. Alguien se envenena a sí mismo
1. xyExy premisa
 2. yEay (EE1)
 3. Eaa
(EE2) ???
 4. xExx IE 3
 5. xExx EE 2, 3-4
6. xExx EE 1, 2-5
III.
4. Eliminación del existencial
IV. Aparece en un supuesto no cancelado:
a) una eliminación de  que hemos iniciado, y que
no hemos cancelado
A. Alguien es presidente de EEUU
B. Alguien es presidente de Rusia
Sea C. Adams es presidente de EEUU
Sea D. Adams es presidente de Rusia 
Entonces, E. Adams es presid. de EEUU y Rusia
Por tanto, F. Alguien es presid. de EEUU y Rusia
4. Eliminación del existencial
IV. Aparece en una eliminación de  que hemos
iniciado, y que no hemos cancelado
1. xPx premisa
2. xRx premisa
3. Pa
(EE1)
 4. Ra (EE2) ???
 5. Pa  Ra
IC 3, 4
 6. x(Px  Rx)
IE 5
7. x(Px  Rx)
EE 2, 4-6
8. x(Px  Rx)
EE 1, 3-7
4. Eliminación del existencial
IV. Aparece en un supuesto no cancelado:
b) otro supuesto sin cancelar:
A. Alguien es presidente de EEUU
B. Todo búlgaro es europeo
Supongamos que C. Adams es búlgaro
Supongamos que D. Adams es presid. de EEUU 
Por B y C sabemos, E. Adams es europeo
Por tanto, obtenemos F. Adams es presid. de EEUU y
europeo
Por tanto, G. Si Adams es búlgaro, alguien es presid. de
EEUU y europeo
4. Eliminación del existencial
IV.
Aparece en otro supuesto no cancelado:
1. xPx
premisa
2. x(Bx  Ex) premisa
3. Ba
hipótesis
 4. Pa
(EE1) ???
 5. Ba  Ea
EU 2
 6. Ea
MP 3, 5
 7. Pa  Ea
IC 4, 6
 6. x(Px  Ex) IE 5
7. x(Px  Ex) EE 1, 4-6
8. Ba  x(Ex  Rx) ICd 3-7
Elección de individuo
•
La idea fundamental, tanto en la Introducción del
Universal, como en la Eliminación del Existencial
es QUE LA DEDUCCIÓN NO DEPENDA DE LA
ELECCIÓN PARTICULAR DE INDIVIDUO
QUE HEMOS EFECTUADO.
•
El problema no es que generalicemos desde
ejemplares individuales, sino que lo hagamos
desde propiedades circunstanciales de tales
ejemplares.
Reglas de la identidad
•
•
Introducción de la Identidad (reflexividad)
En cualquier momento de una deducción podemos
añadir como premisa que un individuo es igual a sí
mismo:
A. Quien sea Jack el Destripador, es cruel
Por tanto, B. Jack el Destripador es cruel
1. x(x = a  Cx)
2. a = a  Ca
3. a = a
4. Ca
premisa
EU 1
II
MP 2, 3
Reglas de la identidad
•
•
Sustitución de la Identidad
Si dos individuos resultan ser el mismo, las
propiedades de uno se extienden al otro
A. Jack el Destripador es malvado
B. Jack el Destripador es el médico del rey
Por tanto, C. El médico del rey es malvado
1. Ma
2. a = b
3. Mb
premisa
premisa
SI 1, 2
Reglas de inferencia primitivas
Eliminación del universal EU
x 
______
 [x, c]
para cualquier constante individual c
Introducción del existencial IE
 (c)
_____
x [c, x] siempre que x no ocurra en la fórmula  (c)
Reglas de inferencia primitivas
Introducción del universal IU
 (c)
_____
siempre que c no esté en las premisas o en un
x [c, x] supuesto no cancelado
Eliminación del existencial EE
x 
  [x, c]
 ...

________ siempre que c no esté en , ni en , ni en

las premisas, ni en un supuesto no cancelado
Reglas de inferencia primitivas
Introducción de la identidad II
_____
t=t
para cualquier término individual
Sustitución de la identidad SI
c1 = c2
c2 = c1
 (c1)
 (c1)
_______
_______
 [c1, c2]
 [c1, c2]
para cualquier ocurrencia de c1
Reglas de inferencia derivadas
•
•
•
Tenemos ya las 6 reglas de inferencia primitivas
para el cálculo deductivo de primer orden. Es
decir, podemos realizar cualquier deducción con
estas reglas, más todas las reglas heredadas del
cálculo proposicional.
Pero, como ocurría en aquel cálculo, hay una serie
de reglas derivadas,que podemos obtener
aplicando una secuencia de reglas primitivas y que
nos permiten abreviar dicha secuencia.
Veremos un ejemplo de demostración de cada regla
derivada.
Eliminación del universal generalizada
x1 ... xn (x1 ... xn)
_________________
[x1 ... xn , c1 ... cn]
la constante puede ser la misma
1. xyz((Rxy  Ryz)  Rxz) premisa
2. yz((Ray  Ryz)  Raz) EU 1 [x, a]
3. z((Rab  Rbz)  Raz) EU 2 [y, b]
4. (Rab  Rbb)  Rab
EU 3 [z, b]
1. xyz((Rxy  Ryz)  Rxz) premisa
2. (Rab  Rbb)  Rab
EUG 1 [x, a; y/z, b]
Introducción del existencial generalizada
 (c1 ... cn)
_________________
x1 ... xn (x1 ... xn)
una variable distinta para cada
constante distinta
1. (Pa  Pb)  Rab
premisa
2. x((Px  Pb)  Rxb) IE 1[a, x]
3. yx((Px  Py)  Rxy) IE 2 [b, y]
1. (Pa  Pb)  Rab
premisa
2. yx((Px  Py)  Rxy) IEG 1[a, x; b, y]
Equivalencias entre cuantificadores
•
Al hablar de formalización del lenguaje natural
veíamos algunas equivalentes:
Nadie es perfecto:
x¬Px
para cualquier x, x no es P
es lo mismo que:
¬xPx
no hay un x tal que x sea P
•
•
Estas equivalencias no son sino instancias de la
equivalencia general entre  y  :
x  expresa lo mismo que ¬x¬
Las 4 reglas derivadas siguientes se limitan a
recoger esta equivalencia.
Definición del universal por el existencial
x 
______
¬x¬
¬x¬
______
x 
1. x Px
premisa
2. x¬Px hipótesis
 3. ¬Pa
(EE 2)
 4. Pa
EU 1
 5. Pa  ¬Pa IC 3,4
6. Pa  ¬Pa EE 2, 3-5
7. ¬x¬Px
RA 2-6
Nótese que la EE en la línea 6
aparentemente viola una restricción
de la regla, dado que la constante a
aparece en la primera línea de dicha
EE. Pero nótese que, al obtenerse
una contradicción, podría obtenerse
desde ella otra contradicción
cualquiera (o cualquier otra fórmula).
Definición del universal por el existencial
x 
______
¬x¬
¬x¬
______
x 
1. ¬x¬Px
 2. ¬Pa
 3. x¬Px
 4. x¬Px  ¬x¬Px
5. Pa
6. xPx
premisa
hipótesis
IE 2
IC 1, 3
RA 2-4
IU 5
Nótese que la línea 2 abre
una hipótesis, no una
eliminación del existencial.
Dicha hipótesis se cierra
con una de las reglas
apropiadas, en este caso
la Reducción al Absurdo
Definición del existencial por el universal
x 
______
¬x¬
¬x¬
______
x 
1. xPx
 2. x¬Px
  3. Pa
  4. ¬Pa
  5. Pa  ¬Pa
 6. Pa  ¬Pa
6. ¬x¬Px
premisa
hipótesis
(EE 1)
EU 2
IC 3, 4
EE 1, 3-5
RA 2-6
Nótese que el juego entre
la RA y la Eliminación del
Existencial es justamente
el inverso a la demostración
de DUE: ahora abrimos la
EE dentro de la hipótesis
introducida con vistas a
la Reducción al Absurdo.
Definición del existencial por el universal
x 
______
¬x¬
¬x¬
______
x 
1. ¬x¬Px
premisa
 2. ¬xPx
hipótesis
  3. Pa
hipótesis
  4. xPx
IE 3
  5. xPx  ¬xPx IC 2, 4
 6. ¬Pa
RA 3-5
 7. x¬Px
IU 6
 8. x¬Px  ¬x¬Px IC 1, 7
9. xPx RA 2-8
Negación del existencial al universal
¬x 
______
x¬
x¬
______
¬x 
Negación del universal al existencial
¬x 
______
x¬
x¬
______
¬x 
En estas demostraciones se aplican estrategias similares
a las 4 anteriores. Quedan como ejercicio.
Simetría de la identidad
t1 = t2
________
t2 = t1
1. a = b
2. a = a
3. b = a
premisa
II
SI 1, 2
c1 = c2
 (c1)
Nótese que la regla de sustitución de la identidad no
supone que sustituyamos todas las ocurrencias de la
constante. En este caso nos limitamos a sustituir la a
marcada en rojo.
Transitividad de la identidad
t1 = t2
t2 = t3
________
t1 = t3
1. a = b
2. b = c
3. a = c
premisa
premisa
SI
c2 = c1
 (c1)
1, 2
La transitividad no es más que un caso especial de la
sustitución de la identidad. Recuérdese que el
igualador no es sino un predicado binario “especial”