Transcript Tema 3: GRAVITACIÓN EN EL UNIVERSO Intensidad del campo gravitatorio terrestre Campo gravitatorio de la Tierra Energía potencial gravitatoria terrestre Gravitación en el Universo Descripción del movimiento de planetas y satélites Movimiento.

Tema 3: GRAVITACIÓN EN EL UNIVERSO
Intensidad del campo
gravitatorio terrestre
Campo gravitatorio
de la Tierra
Energía potencial
gravitatoria terrestre
Gravitación
en el
Universo
Descripción del movimiento
de planetas y satélites
Movimiento de
planetas y satélites
Leyes de Kepler
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1.Campo gravitatorio de la Tierra
El campo gravitatorio de la Tierra es la perturbación que ésta produce en el
espacio que la rodea por el hecho de tener masa.
Lo estudiamos especialmente ya que sus efectos nos atañen directamente,
aunque los resultados que obtengamos son aplicables a cualquier cuerpo celeste.
Como vimos en la unidad anterior, los campos gravitatorios quedan caracterizados
por:
● la intensidad de campo
g
en cada punto
● el potencial V en cada punto
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1.1. Intensidad del campo gravitatorio terrestre
En el punto P, que dista una distancia r del centro de la
Tierra, el vector intensidad de campo es:
MT
g  G 2  u
r
h
RT
P
g
r
u
donde MT es la masa de la Tierra.
La distancia r la podemos poner en función
del radio de la Tierra RT y de la altura h:
r = RT + h
MT
g  G
u
2
(R T  h)
El módulo de este vector es:
MT
gG
(R T  h) 2
Para puntos situados sobre la superficie de la
Tierra a nivel del mar donde h = 0:
M
gG
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R
T
2
T
3
Actividad 1: Calcular el valor de la intensidad del campo gravitatorio sobre la
superficie de la Tierra
Datos: MT= 5,98·1024 kg; RT = 6,37·106 m ; G = 6,67·10-11
N  m2
kg 2
Aplicamos la expresión anterior y sustituimos los datos:
24
MT
N
5,98

10
g  G  2  6,67 1011 

9,83
RT
kg
(6,37 106 ) 2
¿Y en la cima del Everest, cuya altura es de 8 850 m ?
La distancia la centro de la Tierra es ahora: RT + h
N
MT
5,98 1024
11
 9,80
g  G
 6,67 10 
2
6
3 2
kg
(R T  h)
(6,37 10  8,85 10 )
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Peso de un cuerpo
Peso de un cuerpo es la fuerza con que la Tierra (o el planeta en el que se
encuentre) lo atrae.
Cuerpo de masa m
FTierra ,cuerpo  p (peso)
r
El peso de un cuerpo está relacionado con la intensidad
del campo gravitatorio de la Tierra (del planeta):
p
Tierra
p
FTierra ,cuerpo
MT  m
 p  G 
u
2
r
p  m· g
La fuerza peso, al igual que la intensidad de campo, tiene en cualquier punto
dirección radial y sentido dirigido hacia el centro de la Tierra.
El peso de cuerpo situado a cierta distancia de la Tierra puede:
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►Hacer caer el objeto sobre la superficie terrestre
La caída tiene lugar con una aceleración
a la que llamamos aceleración de la
gravedad g , que tiene el mismo valor
que la intensidad del campo gravitatorio
en ese punto.
g
g
g
La aceleración de la
gravedad (y la intensidad
del campo gravitatorio ) no
es constante sino que
disminuye al aumentar la
distancia al centro de la
Tierra.
MT
g  G  2  u
r
g
g
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g =9 m/s2
g =9,1 m/s2
g =9,2 m/s2
g =9,3 m/s2
La aceleración de la
gravedad (y la intensidad
del campo gravitatorio ) no
es constante sino que
disminuye con la distancia
al centro de la Tierra.
g =9,4 m/s2
g =9,5 m/s2
g =9,6 m/s2
g =9,7 m/s2
g =9,8 m/s2
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►Mantener el objeto o satélite en órbita alrededor de la Tierra.
En este caso, el peso
actúa como fuerza
p
centrípeta
La fuerza centrípeta es
imprescindible para
que cualquier objeto
describa una órbita
cerrada ( circular,
elíptica, … )
Esto ocurre con la
Luna o con los
satélites artificiales.
Applet Lanzamiento Newton
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¿Qué ocurriría si , en un instante determinado, la Tierra dejara de
atraer al satélite?
p
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Masa y Peso
Aunque en el lenguaje cotidiano confundimos ambas magnitudes: Mi peso es
60 kg, debemos diferenciarlas claramente.
La masa es una magnitud escalar propia de cada cuerpo que se refiere a la
cantidad de materia que contiene e indica la resistencia que el cuerpo ofrece a
ser acelerado.
Es constante y su valor no depende del lugar en el que se encuentre el cuerpo.
Se mide en kg en el S.I.
Por el contrario, el peso es una magnitud vectorial que expresa la fuerza con
que la Tierra lo atrae.
Se mide en N en el S.I. Su valor no es constante, ya que depende del lugar en
el que se encuentre el cuerpo.
Ambas magnitudes está relacionadas:
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p  m· g
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Variación de la gravedad y del peso con la altura
Hemos visto que la aceleración de la
gravedad y el peso varían con la altura.
MT
g  G
(R T  h) 2
h
MT
g0  G  2
RT
Si llamamos g0 a la aceleración de la
gravedad sobre la superficie de la Tierra y
g al valor de la aceleración de la gravedad
a una altura h:
Dividiendo ambas ecuaciones, obtendremos una expresión
que nos relaciona a ambas aceleraciones.
g

g0
G
MT
(R T  h)
MT
G
RT2
2
R T2
g

g 0 (R T  h )2
Para el peso nos vale la misma expresión. Basta cambiar la aceleración g por el
peso p.
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Actividad 2 : Un satélite artificial tiene una masa de 600 kg. Calcula su peso: a) en la superficie
de la Tierra , b) a 800 km de altura
Datos: RT = 6 370 km =
6,37·106
m;
MT = 5,98·
1024
kg; G =
6,67·10─11
N  m2
kg2
h = 800 km = 8·105 m
a) Como el peso de un cuerpo es la fuerza con que lo atrae la Tierra, aplicamos la ley de Newton de
la Gravitación:
24
FTierra,satélite  p  G
RT
MT  m
 600
11 5,98 10
 5898 N
 6,67 10
2
6 2
RT
(6,37 10 )
Otra forma: Calculamos primero el valor de g y después el peso p = m · g
24
MT
N
11 5,98 10
g  G 2  6, 67 10
 9,83
6 2
RT
(6,37 10 )
kg
p  m  g  600  9,83  5898 N
b)Aplicamos la misma expresión anterior, pero teniendo en cuenta que la distancia es ahora mayor :
h
RT
MT  m
5,98 1024  600
11
pG
 4655 N
2  6,67 10
6
5 2
(R T  h)
(6,37 10  8 10 )
Otra forma: Calculamos primero el valor de g y después el peso p = m · g
MT
5,98 1024
N
11
gG
 6, 67 10
 7, 76
2
6
5 2
(R T  h)
(6,37 10  8 10 )
kg
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p  m  g  600  7,76  4656 N
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Actividad 3 : Determinar a qué altura sobre la superficie de la Tierra debemos subir
un cuerpo para su peso se reduzca un 20 %
Datos: RT = 6 370 km = 6,37·106 m
Para que el peso se reduzca un 20%, la aceleración de la gravedad debe reducirse
en el mismo porcentaje.
g
Si debe de reducirse un 20%, a la altura h la aceleración g
debe valer el 80% de g0:
h
g = 0,80 · g0
g0
Sustituyendo en la expresión que obtuvimos en la diapositiva
anterior:
R T2
g

g 0 (R T  h) 2
0,8  g 0
g0
R T2

(R T  h) 2
Resolviendo la ecuación anterior ,podemos calcular la altura h que nos piden:
R T  (1  0,8)
6370  (1  0,8)  752 km
h

0,8
0,8
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1.2. Energía potencial gravitatoria terrestre
Un cuerpo de masa m sometido al campo gravitatorio
terrestre, adquiere cierta energía potencial, que nos viene
dada por la fórmula:
MT  m
Ep  G
r
h
RT
m
r
donde MT es la masa de la Tierra y r la
distancia del cuerpo al centro de la Tierra.
Como podemos expresar r en función del
radio de la Tierra y de la altura:
r = RT + h
MT  m
Ep  G
RT  h
Como vimos en la unidad anterior, a la energía potencial que tiene el cuerpo m
cuando esté infinitamente alejada de la Tierra, le asignamos valor cero (La Tierra
no interacciona con ella).
Cuando la masa m se acerca a la Tierra, su energía potencial debe disminuir y
por tanto debe valer menos que cero. Esta es la razón por la que la energía
potencia gravitatoria es siempre negativa ( excepto en el infinito que vale cero)
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1.2. Energía potencial gravitatoria terrestre(Cont.)
m
Para calcular la energía potencial gravitatoria en cursos
anteriores se utilizaba la expresión:
Ep  m  g  h
Diferente a la que hemos visto este curso:
MT  m
Ep  G
RT  h
La primera expresión supone que la aceleración de la gravedad g
es constante a diferentes alturas, lo cual no es cierto.
Por tanto, sólo podremos aplicar esa expresión para cuerpos que se encuentren
cerca de la superficie terrestre, donde el valor de g no varía apreciablemente.
Esta ecuación se obtuvo asignando a la masa m una energía potencial nula cuando
se encuentra sobre la Tierra. Al alejarse de ella, su energía potencial va aumentando
y adquiriendo valores positivos.
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1.2. Energía potencial gravitatoria terrestre
Aumenta la energía potencial gravitatoria
Ep  m  g  h  0
Ep  m  g  h  0
m
m
M m
Ep  G T
0
RT  h
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m
M m
Ep  G T
0
RT  h
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Ep  m  g  h  0
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∞
MT  m
Ep  G
0
RT  h
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Potencial gravitatorio terrestre
Como vimos en la unidad anterior, el potencial gravitatorio en un punto del campo
gravitatorio terrestre es el trabajo que realiza la fuerza del campo gravitatorio para
trasladar la unidad de masa desde dicho punto hasta el infinito.
h
El potencial gravitatorio que crea la Tierra en el
punto P es:
P
RT
MT
V  G
r
r
Cuando expresamos r en función del radio de la Tierra y
de la altura, el potencial es:
MT
V  G
RT  h
Como vimos en la unidad anterior, el trabajo para trasladar un cuerpo de masa m
desde un punto A a otro B es:
WAB  m  (VA  VB )
siendo VA y VB el potencial gravitatorio en los puntos A y B.
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Actividad 4: Calcular :a)
el potencial gravitatorio terrestre en un punto A situado a 300 km de
altura b) el trabajo que realizarán las fuerzas del campo al trasladar una masa
de 2000 kg desde el punto anterior a otro en el que el potencial vale – 8·107 J/kg
Datos:
RT = 6 370 km =
6,37·106
m;
MT = 5,98·
1024
kg; G =
6,67·10─11
h = 300 km = 3·105 m ; VB = – 8·107 J/kg
N  m2
kg2
a) El potencial gravitatorio que crea la Tierra en el punto A es:
A
h
MT
5,98 1024
MT
11
7 J
VA  G
 6,67 10


5,98

10
 G
r
RT  h
6,37 106  3 105
kg
RT
b) Como vimos en el unidad2 y en la diapositiva anterior, el trabajo gravitatorio para trasladar un
cuerpo de masa m desde un punto A a otro B es:
WAB  m  (VA  VB )  2000  [5,98  107  (8  107 )]  2000  2,02 107  4,04  1010 J
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2. Movimientos de planetas y satélites
En el Sistema Solar los planetas se mueven alrededor del Sol en órbitas el´pticas de
mayor o menor excentricidad. La excentricidad de la órbita de la Tierra es muy
pequeña, de manera que la órbita es casi circular.
Los satélites también siguen este tipo de órbitas alrededor de sus correspondientes
planetas.
2.1.Descripción del movimiento de planetas y satélites
Para el estudio del movimiento de los planetas alrededor del sol o de los
satélites (naturales o artificiales) alrededor de la Tierra, se introducen las
siguientes magnitudes:
►Velocidad orbital
►Período de revolución
►Energía mecánica de traslación o energía de enlace
►Velocidad de escape
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►Velocidad orbital
Es la velocidad que tiene el planeta en su movimiento alrededor del Sol o del
satélite alrededor del planeta.
Como la fuerza gravitatoria le proporciona al
planeta o al satélite la fuerza centrípeta necesaria:
Fgravitatoria  Fcentrípeta
Fgravitatoria
v
MT  mL
 mL 
G
2
r
r
2
La velocidad orbital es:
r
G  MT
v
r
Vemos que la velocidad orbital de la Luna NO DEPENDE
de la masa de la Luna.
►Período de revolución o período orbital T
Es el tiempo que tarda el planeta o el satélite en dar una vuelta completa
distancia  veloc  tiempo
2π  r  v  T
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2π  r
T
v
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►Energía mecánica de traslación o energía de enlace
Es la suma de la energía cinética más la energía
potencial gravitatoria que tiene el planeta (o el satélite)
en su movimiento orbital.
1
G  M  m
2
E  Ec  Ep  m  v 
2
r
Si sustituimos la velocidad orbital v por el valor
deducido en la diapositiva anterior, nos queda:
1 GMm
E
2
r
La energía mecánica de traslación es pues negativa,
ya que el planeta ( o el satélite) describe una órbita
cerrada alrededor del Sol ( o del planeta)
Cuando un satélite cambia de órbita en ausencia de rozamiento, su energía
mecánica se conserva:
Ecórbita in ferior  Epórbita in ferior  Ecórbita superior  Epórbita superior
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►Velocidad de escape
Es la velocidad ve que debe adquirir un cuerpo
(un satélite artificial) para escapar de la
atracción terrestre.
Se considera que un cuerpo escapa del campo gravitatorio
terrestre cuando llega a una distancia infinita de la Tierra (
Ep = 0 ) con velocidad nula ( Ec = 0 )
Aplicando la conservación de la energía mecánica, nos queda:
Ecórbita in ferior  Epórbita in ferior  Ecórbita superior  Epórbita superior
1
G  M T  m
2
0  0  m  ve 
2
r
Obtenemos para la velocidad de escape, la expresión:
2  G  MT
ve 
r
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a) Hallar la velocidad de escape que debemos imprimir a un cohete de 600 kg de
masa si queremos lanzarlo desde un punto situado sobre la superficie de la
Tierra y a nivel del mar.
2
N

m
6
24
–11
Datos: RT = 6,37·10 m; MT = 5,98· 10 kg; G = 6,67·10
Actividad 5:
kg2
Basta con aplicar la expresión que hemos obtenido en la diapositiva anterior:
2  6,67 1011  5,98 1024
m
2  G  MT


11.190
ve 
s
6,37 106
r
r = RT
b) ¿Cuánto valdría la velocidad de escape si la masa del cohete fuera 1200 kg?
m
11.190
s
ya que la velocidad de escape es independiente de la masa del cohete.
Sólo influye la masa del planeta desde el cual queremos lanzar el cohete
c) ¿Cuánto valdría la velocidad de escape si la plataforma de lanzamiento estuviese a 900 km de
altura sobre la superficie de la Tierra?
Aplicamos la misma fórmula anterior:
h = 9·105 m
r = RT + h
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2  G  MT
2  6,67 1011  5,98 1024
m
ve 


10.475
s
RT  h
6,37 106  9 105
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2.2.Leyes de Kepler
Ya las vimos al comienzo de la unidad 2. Son la descripción cinemática del movimiento de los
planetas y satélites.
Primera Ley:
Todos los planetas se deslazan alrededor del Sol siguiendo una trayectoria
elíptica, una elipse, en uno de cuyos focos se encuentra emplazado el Sol.
Planeta
Eje menor
afelio
Eje mayor
perihelio
semieje mayor
Focos
Sol
APPLET
1ªLey Fendt
Leyes de Kepler
A.Franco
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Segunda Ley:
La recta que une cada planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos
iguales.
vaerolar  constante
t
t
Áreas iguales
APPLET 2ªLey
APPLET
2ªLey Fendt
Tercera Ley:
Los cuadrados de los periodos siderales de revolución de los planetas
alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores
de sus órbitas elípticas.
T  kr
2
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APPLET 3ªLey
3
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Actividad 6:
Según la 3ª ley de Kepler, el cuadrado del periodo de revolución de la Tierra
es directamente proporcional al cubo del radio de su órbita ( considerada ésta
como circular)
2
3
T  kr
Determinar de qué magnitudes depende la constante de
proporcionalidad k.
La velocidad orbital de la Tierra es:
G  MSol
v 
r
G  MSol
v
r
2
r
El periodo de revolución:
2π  r
T
v
G  MSol 4π  r

T2
r
2
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2
2π  r
v
T
4π  r
T 
G  MSol
2
4π 2
k
G  MSol
3
2
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2
2
4π

r
v2 
T2
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Actividad 7:
¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad de la 3ª ley de Kepler
para cualquier planeta de nuestro sistema solar?
Datos: MS = 1,98·
1030
kg; G =
6,67·10–11
N  m2
kg2
Sustituimos en la expresión obtenida en la dispositiva
anterior:
r
4π 2
4π 2
k


11
30
G  MSol 6,67 10 1,98 10
 3 1019
k '  3,35 1018
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s2
m3
m3
s2
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Actividades para el próximo día:
* 2, 3 y 6 de la página 79
* 10 de la página 81
* 13 y 14 de la página 83
* 15 y 16 de la página 85
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Actividad 2, de la página 79
La masa de un cuerpo es una propiedad intrínseca de éste e independiente del
lugar donde se encuentra y de los cuerpos que le rodean. Por tanto, aunque el
cuerpo se aleje de la superficie terrestre, su masa no cambia, es la misma que
en cualquier otro lugar.
Su peso, por el contrario, es la fuerza con que la Tierra lo atrae. Esta fuerza es
inversamente proporcional a la distancia al centro de la Tierra. Por lo tanto, si el
cuerpo se aleja de la superficie ( asciende), su peso disminuye.
p  G
h
MT  m
(R T  h) 2
MT  m
p0  G 
R T2
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Actividad 3 de la página 79
Datos: h = 200 km = 2·105 m; RT = 6,37·106 m; MT = 5,98· 1024 kg;
2
N

m
G = 6,67·10─11
kg2
Hallamos el módulo del campo gravitatorio terrestre a una distancia del centro
de la Tierra r = RT + h :
24
MT
MT
5,98

10
N
11
g G 2  G

6,67

10


9,24
r
(RT  h)2
(6,37  106  2  105 )2
kg
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Actividad 6 de la página 79
Datos: RT = 6,37·106 m;
Hallamos la altura a la cual el peso se reduce a la cuarta parte a partir de la expresión
de la página 78 . En este caso la relación entre el peso p a una altura h y el peso p0
sobre la superficie de la Tierra es:
po
p
4
Si sustituimos en la expresión de la página 78:
p0
2
T
2
T
R
p

p 0 (R T  h) 2
R
4 
(R T  h) 2
p0
R T2
1

4 (R T  h) 2
RT
1

2 RT  h
Extraemos la raíz cuadrada a esta última ecuación:
Despejamos la altura h:
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h  2 R T  R T  R T  6,37 106 m
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Actividad 10 de la página 81:
Datos:
m = 7 500 kg; hA = 4 200 km = 4,2· 106 m ; hB = 5 800 km = 5,8· 106 m ;
MT = 5,98·
1024 kg;
RT =
6,37·106 m;
G=
6,67·10-11
N  m2
kg2
Si tomamos el origen del potencial en el infinito, el potencial gravitatorio creado
por la Tierra en cada uno de los puntos será:
MT
J
5,98 1024
7
11
VgA   G


3,77

10
  6,67 10 
RT  hA
kg
6,37 106  4, 2 106
VgB
MT
5,98  1024
J
11
7
 G
  6,67  10 
  3,28  10
6
6
RT  hB
kg
6,37  10  5,8  10
El trabajo realizado por el campo es igual a la disminución de energía potencial
gravitatoria y lo podemos expresar en función del potencial en cada punto, como
vimos antes:
WAB  m  (VgA  VgB )  7500   3,77 107  (3, 28 107 )  


 3,68 1010 J
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Actividad 13 de la página 83:
Datos: r = 8 500 km = 8,5· 106 m ; MT = 5,98· 1024 kg; G = 6,67·10-11
N  m2
kg2
Calculamos la velocidad a la que el satélite
describe su órbita, velocidad orbital, con la
expresión :
p
G  MT
6, 67 1011  5,98 1024
3 m

6,85

10
v

s
r
8,5 106
El período de revolución T lo calculamos
en función de la distancia recorrida 2·π·r y
la velocidad orbital v:
2r
2   8,5 106
T

v
6,85 103
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 7,8 103 s
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Actividad 16 de la página 85:
Datos: v = 1 000 m/s; MT = 5,98·
1024 kg;
RT =
6,37·106 m;
G=
6,67·10-11
N  m2
kg2
En ausencia de rozamientos, la energía mecánica se conserva, lo que significa que
la energía mecánica Eo que tiene el objeto cuando se encuentra sobre la superficie
de la Tierra tiene que ser igual a la energía mecánica E que tenga cuando se
encuentre en el punto más alto, con velocidad nula:
Eco + Epo = Ec + Ep
Eo = E
Sustituyendo cada término:
G  MT  m
G  MT  m
1
m  vo2 
 0
2
RT
RT  h
Y para calcular la altura h basta con despejarla de la expresión anterior:
2  G  MT  R T
h
 RT 
2
2  G  MT  R T  vo
2  6,76 1011  5,98 1024  6,37 106
4
6


6,37

10

5,12

10
m
11
24
6
2
2  6,67 10  5,98 10  6,37 10 1000
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Satélite geoestacionario: describe una órbita geoestacionaria
Una órbita geoestacionaria es una órbita geosíncrona directamente encima del ecuador
terrestre
una órbita donde el satélite tiene un periodo orbital igual al periodo de
rotación del objeto principal y en la misma dirección
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Satélite geoestacionario
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