Transcript Mean-Variance Analysis continued TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Context of risk-return portfolio optimization Portfolio optimization Implementation performance  Dynamics New information min E Q( x, r ) x risk T x.

Mean-Variance Analysis
continued
TIØ4317
Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management
Context of risk-return portfolio
optimization
Portfolio optimization
Implementation
performance

Dynamics
New information
min E Q( x, r )
x
risk
T x  
n
x 1, xi 0
i
1 i
Market data
Statistical
processing
TIØ4317
Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management
Hovedpunkter
• Utvidelse av standard modellen
• Begrensninger for størrelse på handel, lån
og transaksjonskostnader
• Formulere faktor-modeller
TIØ4317
Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management
Risikofrie lån
• Short salg ikke tillatt, men lov å låne til risikofri
rente
n


x

v
Lånebeløp: v  0 ,
 i 1
i 1
n
Forventet utbytte: R( x; r )   ri xi  rf v 
i 1
Varians: uendret fordi lånerenten er risikofri
TIØ4317
Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management
Risikofrie lån til ulike rentesatser
•
•
•
•
Kan låne til renten rf 1 for beløp opp til
Rente rf 2 for beløp opp til v2
Lånebeløp v1 , v2
n


Restriksjoner:
x

v

v
 i 1 2 1
v1
i 1
v1  v1, v2  v2
n
• Forventet utbytte:
R( x; r )   ri xi  rf 1v1  rf 2v2
i 1


r
r
v
v
• f 2 f 1  2 over null kun når 1  v1
TIØ4317
Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management
Størrelse på posisjoner,
transaksjonskostnader
• Mange små posisjoner uønsket fordi
– Mange posisjoner  høyere transaksjonskostnader når porteføljen reviseres
– Mer omfattende overvåkning  høyere
driftskostnader
TIØ4317
Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management
Max-grense for antall aktiva i porteføljen,
min-grense på posisjonsstørrelser
• Begrenser antall aktiva i porteføljen til κ
• Minste beholdning av aktiva (hvis ikke null): x i
• Mean-variance-efficient portfolios with trading
size limits:
Min  2 ( x)  (1   ) R( x; r )
n
s.t.
 xi  1
i 1
n
Z
i 1
i

xi Z i  xi  x i Z i
Z i  0,1
TIØ4317
for alle i=1,…,n
for alle i=1,…,n
Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management
Transaksjonskostnader
• Effektivt forventet utbytte =
Forventet utbytte – kostnader
• For små transaksjoner:
skalafordel konkav trans.kost.funksjon
• For store transaksjoner:
innlikviditetskostnadene øker  konveks
• Tilnærminger:
– Trans.kostnader prop. med trans.størrelse
– Konstante trans.kostnad inntil en viss mengde,
deretter lineær
TIØ4317
Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management
Lineær kostnadsfunksjon
• C0 Konstant kostnad for mengder opp til x i
• Forventet utbytte:
n
R( x; r )   (r i  c1 ) xi
i 1
TIØ4317
Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management
Konstant for små transaksjoner,
lineær for store transaksjoner
• C0: Konstant kostnad for størrelser opp til x i
• C1: Prop. kostnader for større transaksjoner
0
x
•
i transaksjoner opp til x i
1
x
•
i transaksjoner over x i
xi  xi0  xi1
1
Zi  
0
TIØ4317
hvis aktiva i er inkludert med fast kostnad C0
ellers
Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management
Konstant for små transaksjoner,
lineær for store transaksjoner (forts.)
n
n
i 1
i 1
• Forventet utbytte: R( x; r )   (r i xi0  c0 Z i   (r i  c1 ) xi1
• Restriksjoner:
0  xi0  x i Z i
0  xi1  Z i
TIØ4317
Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management
Mean-variance efficient portfolio
with transaction costs
Min
s.t.
 ( x)  (1   ) R ( x; r )
2
n
 (x
i 1
0
i
 x ) 1
1
i
0  x  xi Zi
0
i
0  xi1  Z i
Z i  0,1
TIØ4317
Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management
Portefølje revisjon
• Porteføljeoptimering innebærer ofte
revisjon av en eksisterende portefølje.
• Dette involverer både kjøp og salg, og
transakjsonskostnader må taes med.
• Den gjeldende kost funksjonen er
symmetrisk om x0.
TIØ4317
Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management
Portefølje rev., restriksjoner
• Restriksjoner på handelsstørrelse tar formen
zero-or-range. Dvs. enten skjer det ingen trading
eller så skjer den ved enten kjøp eller salg.
• Restriksjonsområdene er gitt ved
xi  xi  xi
xi  xi  xi
og
• For å modellere disse restriksjonene introduserer
vi to ikke-negative variabler y+1 og y-1 for kjøp og
salg av aktiva i, slik at vi får xi = x0i + y+i – y-i
TIØ4317
Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management
• Introduserer også to binærvariabler som følger:
Zsi = 1 hvis eksponeringen av aktiva i blir
redusert gjennom salg, 0 ellers
Zpi = 1 hvis eksponeringen av aktiva i øker
gjennom kjøp, 0 ellers
• Ved revisjon blir det ofte også brukt en
restriksjon på total endring i antall aktiva kalt
portfolio turnover
• Denne restriksjonen blir ilagt det totale kjøpet og
ser slik ut:
 yi  u
TIØ4317
Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management
Mean-variance efficient portfolio revision
• Minimize
 2 ( x)  (1   ) R( x; r )
n
• subject to
x
i 1
i
1
xi  yi  yi  x0i ,
0  yi  Z pi ,
xi  x0i  yi  x i ,
}for alle i
0  yi  Z si ,
x i  x0i  yi  x i ,
TIØ4317
Z siEmpirical
, Z pi Finance:
 {0Financial
,1} Optimization and Risk Management
3.4 Factor models of return
• Implementasjon av mean-variance
optimeringsmodeller krever estimat av
vektorerne for middelverdi og varians og
kovariansmatrisen
• Krever ofte veldig mange parametere.
• Eksempel: Et kapitalforvaltnigsproblem
hos S&P500 krever estimering av 1000
forventede avkastninger og 124750
kovarianser.
TIØ4317
Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management
Factor models, forts.
• Skal her se på både en-faktor og multifaktor modeller
• En-faktor modellen kom først og er
forløperen til CAPM
• Multi-faktor modellen førte etter hvert til
Arbitrage Pricing Theory
TIØ4317
Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management
3.4.1 En-faktor modellen
• Avkastningen på det i’te verdipapiret er relatert
til den enkle faktoren rM gjennom den lineære
relasjonen:
ri  i  i rM   i
• Variansen er gitt ved σ2M og  i er normalfordelt
med middelverdi 0 og varianse σ2εi
• rM er avkastningen fra en markedsindeks
TIØ4317
Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management
• Sensitiviteten til avkastningen er gitt med β, som
kalles factor loading
• Følgende antagelser ligger til grunn:
– Kovariansen mellom det security specific restuttrykket
og faktoren er 0, dvs. Cov( i , rM )  0
for alle i.
– Kovariansen for restuttrykket er 0, dvs. Cov( i ,  i ' )  0
for alle i ≠ i’.
• Ved å bruke denne e-faktor modellen kan vi nå
utlede parameterene som trengs i meanvariance modellen.
TIØ4317
Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management
• Forventet avkastning fra verdipapiret:
ri    i  i rM   i 
ri   i  i rM
• Variansen til det i’te verdipapiret er gitt ved:
i
2
2

   ri  ri  


– Setter inn ri fra faktor modellen og får:
2

 i    i  rM  rM   i  


2
2

 i  i   rM  rM    2i  rM  rM  i    i 2 


 i 2  i 2 M 2   i 2
2
TIØ4317
2
Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management
• Kovariansen mellom verdipapir i og i’ er gitt ved:
 ii '    ri  ri  ri '  ri '  
• Setter inn ri fra faktor modellen og får
 ii '    i  rM  rM   i   i '  rM  rM   i '  
2

 ii '  i i '  rM  rM    i  rM  rM  i 


 i '  rM  rM  i '    i i ' 
• Av forutsetningene er de 3 siste leddene lik 0
 ii '  i i ' M
TIØ4317
2
Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management
• Mean-variance optimization with single-factor
models
– Bruker resultatene fra det vi har gjort hittil til å lage en
modell for effektive porteføljer. Forventet avkastning
blir:
n
n
i 1
i 1
R  x; r     i xi   i rm xi
TIØ4317
Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management
– Porteføljevariansen blir:

n
2
n
n
 x     ii ' xi xi '   
i 1 i '1
n
i 1
n
n
n
n
x    ii ' xi xi '
2 2
i i
i 1 i '1;
i ' i
n
    x    x   i i ' xi xi '
i 1
2
i
2
M
2
i
i 1
2 2
i i
i 1 i '1;
i '1
2
M
– Her er antallet parametere 3n+2, som er mye mindre
enn dersom vi hadde regnet direkte med kovarians
matrisen.
TIØ4317
Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management
Mean-variance efficient portfolios
with single factor models
 n

n
n
n


2 2 2
2 2
2
Minimize     i  M xi    i xi    i  i ' M xi xi ' 
i 1
i 1 i '1;
 i 1

i
'

i


n
 n

 1      i xi    i rm xi 
i 1
 i 1

n
subject to
x
i 1
i
 1,
x X
TIØ4317
Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management
Systematisk og ikke-systematisk
risiko
• Skriver variansen som:
n
n
n
 2 x    2i xi2   i i ' M2 xi xi '
i 1
i 1 i '1
• Snur om og får:
n
n



 2
2
2 2
 x     i xi     i xi    i ' xi '  M
i 1
 i 1
 i '1

n
n
 2 x     2i xi2   p2 M2
i 1
TIØ4317
Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management
Systematisk og ikke-systematisk
risiko
• Porteføljebetaen βp reflekterer
sensitiviteten av avkastningen mot
faktoren.
• Dette medfører at ved store antall
investeringer i porteføljen vil den ikkesystematiske risikoen kunne diversifiseres
bort.
TIØ4317
Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management
En-faktor modeller og CAPM
• Dersom vi skriver en-faktor modellen som en
lineær relasjon mellom avkastningen som er
større enn markedsfaktoren og overskuddet
mellom markedsfaktoren og den risikofrie
faktoren og fjerner restleddet ε får vi:
ri  rf  i  i rM  rf 
• Noe som er identisk med CAPM bortsett fra αi
som, ifølge CAPM, skal være lik 0.
TIØ4317
Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management