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Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
Volumen de los cuerpos
El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa.
Estos dos cuerpos ocupan
el mismo espacio.
Cada uno de ellos está
formado por 8 ladrillos.
La unidad de volumen que hemos empleado es el ladrillo.
Empleando el cubo como
unidad, la figura adjunta
tiene un volumen de
26 cubos
unidad
2 + 9 + 15 = 26
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Unidades de volumen (I)
Las unidades del sistema métrico decimal son:
El metro cúbico: m3
El decímetro
cúbico: dm3
Es un cubo de un
dm de arista.
El centímetro
cúbico: cm3
Es un cubo de un
cm de arista.
Es un cubo de un
metro de arista.
El milímetro cúbico (mm3) es
un cubo de un mm de arista
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Unidades de volumen (II)
Las unidades de volumen menores que el metro
cúbico se llaman SUBMÚLTIPLOS.
dm3, cm3 y mm3 son
submúltiplos del m3
Las unidades de volumen mayores que el metro cúbico se llaman
MÚLTIPLOS. Las principales son:
El decámetro cúbico (dam3).
Es un cubo de 10 metros de arista.
El hectómetro cúbico (hm3)
Es un cubo de 100 metros de arista.
El kilómetro cúbico (km3)
Es un cubo de 1000 metros de arista.
mm3
cm3
dm3
m3
dam3
hm3
km3
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Relación entre las unidades de volumen
La figura adjunta representa un décímetro cúbico.
Como 1 dm = 10 cm, en la primera capa hay 100
cubos de 1 cm3: 10·10.
Con 10 capas completamos el dm3.
Luego, caben 1000 cm3: 100·10.
Por tanto: 1 dm3 = 1000 cm3
Análogamente puede verse que:
1 m3 = 1000 dm3
Luego:
1 cm3 = 1000 mm3
1 m3 = 1000 dm3 = 1.000.000 cm3
por 1000
= 1.000.000.000 mm3
por 1000
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Cambio de unidad
Regla general:
Una unidad de volumen es 1000 veces mayor que la de orden inmediato
inferior, y 1000 veces menor que la del orden inmediato superior.
Para pasar de una unidad a otra se sigue el esquema:
De mayor a menor:
x 1000
km3
: 1000
x 1000
hm3
Se multiplica por 1000
x 1000
dam3
: 1000
De menor a mayor:
x 1000
m3
: 1000
x 1000
dm3
: 1000
: 1000
x 1000
cm3
mm3
: 1000
Se divide entre 1000
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Volumen del cubo
El cubo es un ortoedro con las tres aristas iguales
a
V = a·a·a = a3
a
a
El volumen de un cubo de un decímetro
de lado es V = 1·1·1 = 1 dm3
V= 10·10·10 = 1000 cm3
1 dm = 10 cm
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Volumen y capacidad
Las unidades de volumen y capacidad están estrechamente relacionadas
En una caja de un
decímetro de arista
cabe un litro
1 dm3 = 1 l
1 dm3 = 1000 cm3
1 litro = 1000 ml
1000 dm3 = 1 m3
1 cm3 = 1 ml
1 m3 = 1 kl
1000 l = 1 kl
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Volumen del prisma
El volumen de un prisma es igual
al área de su base por su altura.
Prisma triangular
V = B.h
Prisma rectangular
Prisma pentagonal
h
h
h
b
a
V
a·b
·h
2
b
B
a
V = a·b·h
V = (área del pentágono)·h
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Volumen del prisma hexagonal
El volumen del prisma es igual al área
del hexágono de la base por su altura.
V = B.h
Ejemplo. Calcula el volumen del prisma si el
perímetro de la base es 6 cm y su altura 3,5 cm.
La base es un hexágono regular
Si p = 6, entonces l = 1,
y su apotema a = 0,86.
Área de la base:
B
p·a 6·0,86

 2,58 cm 2
2
2
a2 = 12 - 0,52 = 0,75
1
0,5
V = 2,58·3,5 = 9,03 cm3
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Volumen del cilindro
El volumen del cilindro es igual al área
de su base (que es un círculo) por su altura.
V   ·r 2 ·h
Ejemplo. Calcula el volumen de un cilindro de
altura 15 cm y radio de la base 4 cm.
15 cm
h
4
V   ·4 2 ·15
r
V = 3,14·42·15 = 753,6 cm3
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Volumen de la pirámide
El volumen de la pirámide es igual a
un tercio del área de la base por la altura.
h
B
Pirámide cuadrangular
1
V  ·B·h
3
Ejemplo:
Calcula el volumen de una pirámide de 9 cm de
altura, y cuya base es un rectángulo de 4 cm de
largo por 2,5 de ancho.
Área de la base: B = 4·2,5 = 10
1
3
1
3
3
Luego: V  ·B·h  ·10·9  30 cm
Pirámide pentagonal
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Volumen del cono
El volumen del cono es igual a un
tercio del área de la base por la altura.
·r2 ·h
V
3
Ejemplo:
Calcula la máxima cantidad
de líquido que puede contener
un embudo cuyas medidas
aparecen en la figura.
Si el diámetro vale 10, el radio r = 5 cm.
3,14·52 ·8,6
Luego: V 
 225cm3
3
225 cm3 = 225 ml = 0,225 litros.
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Volumen de la esfera
El volumen de una esfera es igual
a cuatro tercios del producto  ·r3
V
4
 ·r 3
3
Ejemplo. Calcula el volumen del cuerpo de la figura.
radio = r
56 cm
Se trata de dos medias esferas y de un cilindro.
4
Si r  7, V   ·73  1436
3
El radio de las esferas y del cilindro es 7 cm;
la altura del cilindro, 70 - 2·7 = 56 cm.
4
El volumen total es: V   ·r 2 ·h   ·r 3
3
2
Luego, V = 3,14·7 ·56 + 1436 = 8616,16 + 1436 =
= 10.052,16 cm3
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Resolución de problemas (I)
Problema. Una empresa tiene que transportar sus productos en contenedores con forma de
ortoedro. Sus dimensiones interiores son de 30 dm, 24 dm y 18 dm. Los productos se envasan
en cajas cúbicas iguales del mayor tamaño posible. ¿Cuál es el volumen del contenedor?
¿Cuántas cajas caben exactamente en el contenedor?
Primero:
Leer y comprender el enunciado
El contenedor es como una caja de 30 por 24 y por 18 dm. Se debe llenar con cajas cúbicas lo
más grandes que se pueda.
Se preguntan dos cosas: 1º) el volumen del contenedor;
2º) el número de cajas que pueden entrar en él.
Segundo:
Hacer esquemas o dibujos
18 dm
Dibujamos un contenedor:
Introducimos cajas:
24 dm
30 dm
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Resolución de problemas (II)
Problema. Una empresa tiene que transportar sus productos en contenedores con forma de
ortoedro. Sus dimensiones interiores son de 30 dm, 24 dm y 18 dm. Los productos se envasan
en cajas cúbicas iguales del mayor tamaño posible. ¿Cuál es el volumen del contenedor?
¿Cuántas cajas caben exactamente en el contenedor?
Tercero:
Buscar la idea
Para que las cajas cúbicas quepan en número exacto, su arista debe ser divisor de 30, 24 y 18.
Para que sean las de mayor tamaño, ese divisor será el más grande de ellos: el m.c.d.
Como 30 = 2 · 3 · 5, 24 = 23 · 3 y 18 = 2 · 32, entonces m.c.d. (30, 24, 18) = 2 · 3 = 6.
Luego la arista de las cajas valdrá 6 dm.
Cuarto:
Aplicar las fórmulas
Volumen del contenedor :
18 dm
V = 30 · 24 · 18 = 12960 dm3
Volumen de cada caja :
6 · 6 · 6 = 216 dm3
Número de cajas que caben: 12960 : 216 = 60
24 dm
30 dm
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