Cap. 2 Definizioni, postulati e assiomi Definizioni Una delle cose che rende la geometria e le discipline scientifiche “materie difficili” sono le definizioni
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Transcript Cap. 2 Definizioni, postulati e assiomi Definizioni Una delle cose che rende la geometria e le discipline scientifiche “materie difficili” sono le definizioni
Cap. 2 Definizioni,
postulati e assiomi
Definizioni
Una delle cose che rende la geometria e
le discipline scientifiche “materie difficili”
sono le definizioni
Vediamo cosa significa definire
Definire : determinare il contenuto di un
concetto, dichiarare con brevi e precise
parole le qualità essenziali di una cosa,
in modo da distinguerla nettamente da
un’altra
Analizziamo “dichiarare con brevi e precise
parole le qualità essenziali di una cosa”
Una definizione deve essere:
breve (non può essere resa tramite esempi e
deve avere il minor numero di termini possibili)
essenziale (al suo interno non deve contenere
termini superflui o che la abbelliscono)
precisa: non può essere adatta a due o più
cose ma solo ad una
In pratica per ottenere il massimo punteggio
dovete rispettare queste regole e questo non è
affatto semplice
Es. definizione di quadrato
Analizziamo le seguenti definizioni:
Il quadrato è un quadrilatero
Il quadrato è un poligono con tutti i lati uguali
Il quadrato è un quadrilatero con tutti i lati uguali
Sono tutte definizioni brevi, esenti da termini
superflui ma nessuna di esse è pertinente
Pur essendo il quadrato un quadrilatero e un
poligono con tutti i lati uguali nessuna delle due
è precisa (la prima va bene anche per rettangolo,
parallelogramma ecc. la seconda per tutti i poligoni
equilateri, la valutazione va sotto la sufficienza)
La terza definizione combina le prime due
entrambe parzialmente vere pertanto ha un
contenuto informativo maggiore, continua ad
essere breve e ad utilizzare parole precise ma
continua ad essere adatta a più cose
Raggiunge sicuramente la sufficienza ma non il
punteggio massimo
Le seguenti due figure sono entrambe ben
descritte dalla nostra proposizione
Definizione scientifica
La definizione scientifica e sicuramente
più complessa di una definizione
normale perché utilizza un linguaggio
specifico
Un linguaggio si dice specifico se
appartiene ad una particolare disciplina
La prossima diapositiva vi mostrerà
diverse definizioni di quadrato, tutte
corrette ma la cui valutazione può essere
differente
Definizione di quadrato
Il quadrato è un quadrilatero con tutti gli
angoli e i lati uguali (punteggio 8 ½)
Quadrilatero angolo e lato fanno parte del
linguaggio specifico della disciplina
Omettere le parole è un quadrilatero e
inserire “poligono che ha quattro lati uguali
e quattro angoli retti” porta ad una
definizione che manca del carattere di
brevità (punteggio 8)
Il quadrato è un quadrilatero con tutti gli
angoli e i lati congruenti (punteggio 9)
La parola congruente appartiene al
linguaggio specifico della geometria perciò
la definizione ha un utilizzo migliore del
linguaggio specifico
Il quadrato è un quadrilatero equilatero ed
equiangolo (punteggio 10)
C’è un uso preciso del linguaggio specifico
e una definizione più breve
equilatero equiangolo
Se l’insegnante ha spiegato i poligoni
regolari (poligoni che sono contemporaneamente equilateri ed
equiangoli) allora la definizione giusta per
ottenere il massimo punteggio è:
Il quadrato è un
quadrilatero regolare
Definizione di postulato
Dal dizionario della Treccani
postulato dal lat. postulatum «ciò che è
richiesto; richiesta»
Proposizione che, senza essere evidente
né dimostrata, si assume come
fondamento di una dimostrazione o di una
teoria
i postulati fanno riferimento ad una materia
particolare
Definizione di assioma
L’assioma è un principio certo ed evidente
senza ulteriori indagini che costituisce la
base per ulteriori ricerche
Gli assiomi hanno una validità più
generale dei postulati e sono alla base di
più discipline
I postulati di Euclide
Insieme agli enti geometrici fondamentali la geometria
euclidea utilizza 5 postulati per rendere coerente la
sua struttura.
1 Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed
una sola retta.
2 Si può prolungare un segmento oltre i due punti
indefinitamente.
3 Dato un punto (centro) e una lunghezza (raggio), è
possibile descrivere un cerchio.
4 Tutti gli angoli retti sono uguali.
5 Se una retta taglia altre due rette determinando dallo
stesso lato angoli interni la cui somma è minore di
quella di due angoli retti, prolungando le due rette,
esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei
due angoli è minore di due retti.
Primo postulato
Punto A
Punto B
Retta r
È evidente che qualsiasi altra retta non
passerà per i due punti
Terzo postulato
Punto A (centro)
Lunghezza
Circonferenza
Per definire un
circonferenza basta
prendere un punto
come centro e una
lunghezza come
raggio
Gli assiomi
1. Le cose uguali ad una stessa cosa sono uguali tra
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
loro. A = B B = C A = C [proprietà transitiva]
Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, le
somme ottenute sono uguali.
Se da cose uguali si tolgono cose uguali, le parti
rimanenti sono uguali.
Se cose uguali sono aggiunte a cose disuguali, le
somme ottenute sono disuguali.
I doppi di una stessa cosa sono uguali tra loro.
Le metà di una stessa cosa sono uguali tra loro.
Cose che coincidono tra loro sono uguali.
A = B B = A [proprietà riflessiva]
Il tutto è maggiore della parte.
Metodo assiomatico deduttivo
… roba da panico!!!!!!
Chiunque di voi leggendo queste tre parole si porrà questa
domanda …. “ma che roba è …”
L’unica speranza risiede nel vocabolario
Metodo In genere, il modo, la via, il procedimento seguito nel
perseguire uno scopo, secondo un ordine e un piano
prestabiliti in vista del fine che s’intende raggiungere
Assiomatico che fa uso di assiomi, principi assunti come veri
senza dimostrazione perché evidenti
Deduttivo il metodo da usare è basato soltanto sul
ragionamento senza far ricorso all’esperienza nel corso del
suo sviluppo
La geometria
euclidea fa uso del metodo
assiomatico-deduttivo perché partendo
dagli enti geometri fondamentali (3)
e dai postulati (5),
riesce a dimostrare,
col puro ragionamento,
tutto il resto utilizzando
proposizioni già dimostrate