Transcript 估計 估計(estimation) • 估計(estimation)： – Groupsamplingstatistics母群體真實的 值。 • 估計量(estimator)： – 推估母體參數的統計量。   母體參數 ˆ  統計量  f x1 , x2 , x3 , xn   E.

估計
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估計(estimation)
• 估計(estimation)：
– Groupsamplingstatistics母群體真實的
值。
• 估計量(estimator)：
– 推估母體參數的統計量。
  母體參數
ˆ  統計量  f x1 , x2 , x3 , xn 

E ˆ  
2
估計
• 點估計(point estimation)：
– 由樣本資料求得估計量，推估未知的母群體參
數。
• 區間估計(interval estimation)：
– 兩個點構成區間，推估母體參數範圍。
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點估計的性質
• 1.一致性(consistency)： ˆ  
• 2.不偏性(unbiased)： Biasˆ  E ˆ  
• 3.有效性(efficiency)：變異小
 
  
 
 Var ˆ1
efficiency)： R.E  
ˆ
Var

2

1
• 相對有效性(relative
• 費雪精確度(Fisher accuracy)：
2
4
• 均方誤(mean square error)
– 均方誤越小則為最佳估計量，同時考慮有效性與不偏
性。
2
2


ˆ
ˆ
ˆ
ˆ










MSE


E




Var


Bias

–


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區間估計
p    u   1  
• 重複抽樣下，此區間我們有(1-α)%的信心
包含母群體參數。
– 信賴區間(confidence interval)：
– 信賴水準(confidence level)：1-α
– 信賴下限(lower limit of confidence)：
– 信賴上限(upper limit of confidence)：
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μ的信賴區間
P    u   1  
P Z   Z  Z 1   1  
2 
 2


 
 x  Z 

2
n

• 信賴區間長度(越短)OR(越長)-越準確?
• 信賴水準(1-α) (越小)OR(越大)-越準確?
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• μ的信賴區間
– X為常態母群體之隨機分配，變異數σ2已知。
( X  Z

2
n
, X  Z

2
n
)
• Example：
– 查表Z0.025 ； Z0.975 ：
8

• Example： P Z

2
 Z  Z 1   1  
2 
– 常態隨機變數X的標準差為15，隨機抽取25個樣本，得
樣本平均值為90，請估計以下的信賴區間：
– 1. (1-α)=0.9
2. (1-α)=0.95
• Example：
– 已知大專畢業生第一年月薪為常態分配，標準差為
1020元，若調查9位畢業生其平均薪資為25000元，請
估計大專畢業生第一年月薪的95%信賴區間。
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• Example：
– 假定某保險公司其投保人的母群體中抽出36位投保人，
其樣本年齡平均值為39.58歲，已知母群體標準差為7.2
歲，求母群體平均數的95%信賴區間。(37.23 , 41.93)
• Example：
– 欲估計某外商公司業務職員每週薪水，茲隨機抽取75
位員工，計算其每週平均薪資及標準差為227元及15元，
試計算平均薪資的90%信賴區間。(224.15 , 229.85)
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• μ的信賴區間
– X為常態母群體之隨機分配，變異數σ2未知。
( X  t
2
 n 1
S
S
, X  t n 1
)
2
n
n
• Example：(小樣本-t分配)
– 自某班隨機抽出4個同學的統計成績，分別為64、66、
89、77，求全班同學平均成績的95%信賴區間。
(55.68 , 92.32)
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• Example：(小樣本- t分配)
– 某電子通信連鎖店欲估計某款手機的月平均銷售量，隨機抽取10
筆月銷售紀錄，樣本平均值為135.5，標準差為11.98，假設此款
手機銷售量為常態分配，求月平均量的90%信賴區間以及95%信
賴區間。
• 當樣本數大於30時，以t分配計算的結果與Z分配相似。
• Example：
– 某電腦組裝工廠欲估計組裝一部電腦的平均時間，隨機抽取41台
的紀錄，計算出平均時間為18分鐘，標準差為1.8分鐘，假設組裝
時間為常態分配，請問μ的95%信賴區間 。t~(17.43,18.57)
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• 母體比例信賴區間估計
– 估計某種特質在母群體中所佔的比例。
( pˆ  Z 
2
pq
, pˆ  Z 
2
n

pq
)   pˆ  Z 
2
n

pˆ qˆ
, pˆ  Z 
2
n
pˆ qˆ 

n 
• 當樣本數很大時，P取代P或pˆ 取代p 所得結果很相近。
X
 pˆ
n
 p  E P   P
P
 P2  Var P  
P (1  P ) pq

n
n
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• Example：
– 自一批產品中抽出60個檢查，得9個為不良品，試求該
產品不良率90%信賴區間。(0.075 , 0.225)
• Example：
– 某生產線欲估計其不良率，隨機抽檢150個產品，其中
有六個為不良品，求不良率P的95%信賴區間。
(0.00864 , 0.0713)
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樣本大小的決定
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樣本大小的決定
• 母體參數區間估計 = 點估計量 + 抽樣誤差
• 抽樣誤差：
– 估計值與母體參數真實值的最大誤差。此誤差小於或等於抽樣
誤差的機率約為(1-α)100%


P ˆ    e  1  
– e = Z＊點估計量標準誤
X  Z
Z


2
n
2
n
X e
e
 Z 
2
n
 e





2
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決定樣本大小的程序
•
•
•
•
1.設定可忍受的誤差水準e。
2.設定信賴水準，查表得Z值。
3.計算n。
4.若非整數，取大於n之最小整數。
• Example：
– 調查36名開車上學的大專學生，其車子的車齡平均為2.6年，標準
差0.3，請問需要多少樣本才能有95%的信心，使母體平均數與推
估值的誤差不超過0.05。(139)
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• Example：
– 欲了解每週平均修車理賠金額，隨機抽出20個
樣本，計算出樣本平均值為900，標準差為300，
請問虛要多少樣本才能有95%的信心確認μ的
估計值誤差不超過100。(35)
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估計P所需要本數
X  Z
Z
2
2
P1  P 
X e
n
P1  P 
e
n
 Z
n 2
 e

2

  P1  P 


– 若母體P已知，直接帶入式子。
– 若母體P未知，則先隨機抽出樣本，計算 P 。
– 母體P未知，則以(1/2)*(1/2)為之，是最保守的
作法。
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• Example：
– 某衛生機構預估某城市患蛀牙的比例，若希望
誤差小於0.05的機率為0.98，則需要抽多少樣
本：
• 1.根據過去經驗，平均機率P為0.3。(457)
• 2.先抽出30人，得知蛀牙比例P為0.4。(522)
• 3.不知道P值。(543)
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