Transcript Character Tables Character Tables Each point group has a complete set of possible symmetry operations that are conveniently listed as a matrix.

Character Tables
1
Character Tables
Each point group has a complete set of possible symmetry operations
that are conveniently listed as a matrix known as a Character Table.
Symmetry Operations – The Order is the total number of operations
Point Group Label
C2V
E
C2
v (xz)
’v (yz)
A1
1
1
1
1
A2
1
1
-1
-1
B1
1
-1
1
-1
B2
1
-1
-1
1
Symmetry Representation Labels
In C2v the order is 4:
1 E, 1 C2, 1 v and 1 ’v
Character
4 characters:
İrreducible represention of B2
2
Karakter Çizelgesi
C3 v
G1
G2
G3
E
1
1
2
C3 C32  v  v '  ' 'v
1
1
1
1
1
1
1 -1 -1 -1
-1 -1 0
0
0
3 sınıf mevcuttur
Simetri işlemleri
İndirgenemez gösterimler (İG)
Irreducible representations (IR)
Grup derecesi h = 6
(h = 1 +2 +3)
Mulliken
Sembolleri
C3v E
A1 1
A2 1
E
2
2C3
3 v
1
1
-1
1
-1
0
Eşdeğer elemanlar
ve eşdeğer atomlar
sınıf oluşturur.
3
Mulliken Sembolleri
A veya B
tek boyutlu İG
E
T ( veya F)
iki boyutlu İG
üç boyutlu İG
A baş dönme eksenine göre simetrik (+)
B baş dönme eksenine göre antisimetrik (−)
Alt indis
1 C2 ( Cn) eksenine, yoksa v işlemine göre simetrik ( = +1)
2 C2 ( Cn) eksenine, yoksa v işlemine göre antisimetrik ( = -1)
Alt indis
g (gerade)
evirme işlemine göre simetrik ( = +1)
u (ungerade) evirme işlemine göre antisimetrik ( = −1)
Üst indis
' (tek üs) h düzlemine göre
'' (çift üs)
“
simetrik (+)
antisimetrik (−)
4
Mulliken labels
A means symmetric with respect to the highest order axis Cn;
B - antisymmetric
One- (A, B), two- (E), three- (T), four (G), five (H) dimensional representation
Symmetric (') or antisymmetric (") with respect to h
A'1g
Presence (g) or absence (u) of a center of inversion
Symmetric (1) or antisymmetric (2) behavior with respect to a second
symmetry element (C2 or v)
5
Karakter Çizelgeleri ve Mulliken Sembolleri-1
•
•
•
C1 group. Consists of a single operation E; thus its order h=1 and
number of classes is 1. There is a single irreducible representation.
Cs group. Consists of two operations, E and h; thus its order h is 2
and the number of classes is 2. There are two irreducible
representations.
Ci group. Consists of two operations, E and i. Both its order h and
number of classes is 2. Similarly to Cs, the group includes two
irreducible one-dimensional representations.
C1
E
A
1
Cs
E
h
A'
A"
1
1
x,y, Rz
1
-1
z,Rx,Ry
Ci
E
i
Ag
Au
1
1
Rx
1
-1
x,y,z
6
Karakter Çizelgeleri ve Mulliken Sembolleri-2
ÖRNEK: C2v ve C3v nokta gruplarının karakter çizelgelerindeki
Mulliken sembollerini belirleyiniz.
C2v
E
C2
xz
yz
A1
A2
B1
B2
+1
+1
+1
+1
+1
+1
-1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
-1
+1
C3v
E
2C3
3v
A1
A2
E
+1
+1
+2
+1
+1
-1
+1
-1
0
Tz
Rz
Tx or Ry
Ty or Rx
Tz
Rz
(Tx, Ty) or (Rx, Ry)
7
Karakter Çizelgeleri ve Mulliken Sembolleri-3
C4v nokta grubunun tam karakter çizelgesi
2 v
2 d
1
1
1
z
1
1
-1
-1
Rz
1
-1
1
1
-1
B2
1
-1
1
-1
1
E
2
0 -2
0
0
C 4v
E
2C 4
A1
1
1
A2
1
B1
C2
Tekli fonksiyonlar
(p orbitalleri)
2
2
2
x + y ,z
2
2
x -y
xy
( x , y ), ( R x , R y )
( xz , yz )
İkili fonksiyonlar
( d orbitalleri)
These are basis functions for the irreducible representations.
They have the same symmetry properties as the atomic orbitals with the same names.
8
Atom Orbitallerinin Simetrileri-1
•
•
When bonds are formed, atomic orbitals combine according to their symmetry.
Symmetry properties and degeneracy of orbitals can be learned from
corresponding character tables by their inspection. Hold in mind the following
transformational properties:
Atomic orbital
Transforms as
s
x2+y2+z2
px
x
py
y
pz
z
dz2
z2, 2z2-x2-y2
dx2-y2
x2-y2
dxy
xy
dxz
xz
dyz
yz
Totaly symmetric
S
py
dz2
9
Atom Orbitallerinin Simetrileri-2
Atomic orbital
s
px
py
pz
dz2
dx2-y2
dxy
dxz
dyz
C2v
Mulliken labels
B1
x, Ry
xz
B2
y, Rx
yz
a1
b1
b2
a1
a1
a1
a2
b1
b2
a1'
a1g
a1g
e'
e'
a2"
a1'
e'
e'
eu
a1
t2
t2
t2
e
e
t2
t2
t2
t1u
D3h
eg
A1’
eu
a2u
a1g
b1g
b2g
eg
eg
e"
e"
B1g
x2-y2
A2
B2g
xy
E
(xz, yz)
T1
(x, y)
xy
Oh
A1
Eu
Rz
Td
x2+y2, z2
z
A2
D4h
A1g
A2u
x2, y2, z2
D3h
t1u
t1u
eg
t2g
t2g
T2
x2+y2, z2
A2’
Rz
E’
(x,y)
(x2-y2, xy)
A1”
t2g
Td
(Rx,Ry)
z
C2v
D4h
Eg
A1
A2”
z
E”
(Rx,Ry)
(xz, yz)
Oh
x2+y2+z2
(2z2-x2-y2, x2-y2)
(Rx,Ry,Rz)
(x,y,z)
A1g
x2+y2+z2
Eg
(2z2-x2-y2, x2-y2)
T1g
(Rx,Ry,Rz)
T2g
(xz, yz, xy)
T1u
…
(xz, yz, xy)
(x,y,z)
10
Atom Orbitallerinin İndirgenemez Gösterimleri-1
ÖRNEK: SO2 molekülünde py orbitalinin indirgenemez gösterimini
oluşturunuz.
S
O
C2v
O
E
C2
(xz)
(yz)
+1
-1
-1
+1
Ty, Rx
py has the same symmetry properties as Ty and Rx vectors
11
Atom Orbitallerinin İndirgenemez Gösterimleri-2
ÖRNEK: D4h nokta grubunda px ve py orbitallerinin İG oluşturunuz.
y
the px and py orbitals in a system with a C4 axes.
C4
x
In matrix form:
 p x ' 0 - 1  p x 
 p '  
 p 
1
0
 y 
 y 
px
px’  py
py
py’  px
A 2x2 transformation
matrix
12
Atom Orbitallerinin İndirgenemez Gösterimleri-3
ÖRNEK: D4h nokta grubunda dx2-y2 orbitalinin indirgenemez gösterimini oluşturunuz.
h
Au
Au
C4
[AuCl4]-
h.[d x2-y2] =
(+1) .[d x2-y2]
Au
C4.[d x2-y2] =
(-1) .[d x2-y2]
D4h
E
2C4 C2
2C2’ 2C2” i
+1
-1
+1
+1
-1
2S4
+1 -1
h
2v
2d
+1
+1
-1
13
Vektörlerin İndirgenemez Gösterimleri-1
ÖRNEK: Ty vektörünün indirgenemez gösterimini oluşturunuz.
Ty unit vector on each atom represents translation in the y direction
z
z
C2
S
O
y
O
E .(Ty) = (+1) Ty
yz .(Ty) = (+1) Ty
-y
S
O
C2.(Ty) = (-1) Ty
xz .(Ty) = (-1) Ty
O
14
Vektörlerin İndirgenemez Gösterimleri-2
ÖRNEK: 1-SO2 molekülünde Rz dönme vektörünün İG oluşturunuz.
2- Simetrisini belirleyiniz.
x
O
S
O
y
E(Rz) = (+1)(Ty)
C2(Rz)= (+1)(Ty)
xz(Rz) = (-1)(Ty)
yz(Rz) = (-1)(Ty)
A2 simetrisi
15
Vektörlerin İndirgenemez Gösterimleri-3
ÖRNEK: Rz dönme vektörünün indirgenemez gösterimini oluşturunuz.
C4 v
E
2C4
C2
2 v
2 d
A1
1
1
1
1
1
z
A2
1
1
1
-1
-1
Rz
B1
1
-1
1
1
B2
1
-1
1
-1
E
2
0
-2 0
x2 + y2 , z 2
z2
-1
x2 - y2
z( x 2 - y 2 )
1
xy
xyz
0
( x, y ), ( Rx , R y ) ( xz, yz)
( xz 2 , yz 2 ),[ x( x 2 - 3 y 2 ), y (3x 2 - y 2 )]
A2 transforms like a rotation around z.
E
+Rz
C4
+Rz
v
C2
+Rz
-Rz
d
-Rz
16
İndirgenebilir Gösterimler
Reducible representations
• Bir grubun Gr indirgenebilir gösterimi, Gi indirgenemez gösterimlerin
toplamından meydana gelmiştir.
Gr   ni Gi
i indirgenebilir gösterimde kaç tane
• ni sayısı, i indirgenemez gösteriminin,
bulunduğunu gösterir.
İndirgenebilir Gösterim
n
C2v
E
C2
xz
yz
3
A1
1
1
1
1
z
1
A2
1
1
-1
-1
Rz
2
B1
1
-1
1
-1
x, Ry
3
B2
1
-1
-1
1
y, Rx
Gr
9
-1
1
3
Gr = 3 A 1 + 1 A 2 + 2 B 1 + 3 B 2
17
İndirgeme Formülü
1
ni    ( R )  i ( R )
h R
ni = indirgenemez gösterim sayısı
h = nokta grubunun simetri işlemi sayısı (grup derecesi)
(R) = indirgenebilir temsildeki R işleminin karakteri
i(R) = i indirgenemez temsildeki R işleminin karakteri
Best to get used to this by practice!
18
İndirgeme İşlemi-1
ÖRNEK: Aşağıdaki Gr indirgenebilir temsili, indirgenemez gösterimlerine indirgeyiniz.
3 v
C 3v
E 2C3
Γr
A1
4
1
1
1
2
1
A2
1
1
-1
E
2
-1
0
1
1  4  1 + 2  1  1 + 3  2  1  2
6
1
n A2  1  4  1 + 2  1  1 - 3  2  1  0
6
1
n E  1  4  2 - 2  1  1 + 3  2  0  1
6
n A1 
Gr = 2A1+E
19
İndirgeme İşlemi-2
C2V
E
C2
v (xz)
’v (yz)
G
4
0
2
2
C2V
E
C2
v (xz)
’v (yz)
A1
1
1
1
1
z
x2,y2,z2
A2
1
1
-1
-1
Rz
xy
B1
1
-1
1
-1
x, Ry
xz
B2
1
-1
-1
1
y, Rx
yz


nA1 
1
141 + 101 + 121 + 121

4
nA 2 
1
141 + 101 + 12-1 + 12-1
4
nB1 
1
141 + 10-1 + 121 + 12-1
4
nB2 
1
141 + 10-1 + 12-1 + 121
4






Gred = 2A1 + B1 + B2
20
İndirgeme İşlemi-3
C2v
E
C2
(xz)
G3N
+9
-1
+1
(yz)
3
aA1 = (1/4)[ ( 1x9x1) + (1x-1x1) + (1x1x1) + (1x3x1)] = (12/4) =3
aA2 = (1/4)[ ( 1x9x1) + (1x-1x1) + (1x1x-1) + (1x3x-1)] = (4/4) =1
aB1 = (1/4)[ ( 1x9x1) + (1x-1x-1) + (1x1x1) + (1x3x-1)] = (8/4) =2
aB2 = (1/4)[ ( 1x9x1) + (1x-1x-1) + (1x1x-1) + (1x3x1)] = (12/4) =3
G3N = 3A1 + A2 + 2B1 + 3B2
21
İndirgeme İşlemi-4
C3v
G3N
E
2C3
3v
15
0
3
n(A1) = 1/6[(1x 15x1) + (2 x 0 x 1) + (3 x 3x 1)] = 1/6 [15 + 0+ 9] = 4
n(A2) =
1/6[(1 x 15 x 1) + ( 2 x 0 x 1) + (3 x 3x –1)] = 1/6 [15 + 0 -9] = 1
n(E) = 1/6[ (1 x 15 x 2) + (2 x 0 x –1) + (3 x 3 x 0)] = 1/6[30 + 0 + 0 ] = 5
G = 4A1 + A2 + 5E
22
IR Seçim Kuralı
IR seçim kuralına göre, bir titreşim esnasında dipol değişimi
oluyorsa elektromanyetik dalga ile etkileşebilir.
Titreşim modu, o nokta grubuna ait öteleme vektörlerinden (Tx, Ty, Tz) en
az biri ile aynı simetride ise, bu IR geçişi simetri izinlidir.
Nokta Grubu
C2v
D3h
D4h
Td
Oh
IR aktif titreşim modları
A1, B1, B2
E', A2 ' '
A2u, Eu
T2
T1u
23