Transcript Astrogebra La détermination de l’orbite elliptique de Mars par Kepler Contexte historique • Le Soleil, la Lune et les planètes appelés «

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La détermination de l’orbite elliptique de Mars par Kepler
Contexte historique
• Le Soleil, la Lune et les planètes appelés « astres errants » ont attiré
l’attention des hommes qui ont élaboré divers modèles pour interpréter leurs
mouvements.
• Le système de PTOLEMEE (IIème siècle de notre ère) a prévalu jusqu’au
XVIIème siècle et consistait à placer la Terre au centre du monde et à en faire
un corps fixe.
• L’astronome polonais Nicolas COPERNIC (1473–1543) proposa une
représentation héliocentrique du système solaire montrant le double
mouvement des planètes sur elles-mêmes et autour du Soleil, théorie
condamnée par le Pape comme contraire aux Ecritures.
• Un siècle plus tard, l’astronome allemand Jean KEPLER
(1571-1630) , convaincu que la distribution, la forme et les
dimensions des orbites n’étaient pas dues au hasard mais
régies par des lois, entreprit de les découvrir à partir des
observations précises de TYCHO BRAHE dont il avait été
le disciple. C’est ainsi qu’il établit une très belle théorie
concernant l’orbite de Mars et qu’il énonça les trois lois
dites lois de Kepler.
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L'orbite de Mars par Kepler
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Principe de la méthode de Kepler
• Pour un objet inaccessible, la méthode des parallaxes, qui consiste le viser à
partir de deux sites différents, permet de déterminer la distance qui le sépare
de l’observateur.
• Kepler a utilisé cette méthode pour situer Mars par rapport à la Terre, la
planète étant beaucoup plus près de nous que le fond du ciel avec les étoiles
constituant le décor.
• Cependant la distance de Mars à la Terre est telle que, même en se plaçant
en deux points diamétralement opposés de la Terre, on ne pourrait voir Mars
sous deux angles sensiblement différents. Il a alors imaginé de viser Mars
depuis deux positions différentes de la Terre sur son orbite, ce qui permet
d'avoir des lieux d'observation assez éloignés.
• Pour faire ces mesures, il faut que Mars soit dans les deux cas à la même
place dans le repère héliocentrique de Copernic.
• Or Mars comme la Terre se déplace constamment ; il faut donc que les deux
mesures soient faites à un intervalle de temps égal à la durée que met Mars
pour faire un tour complet et que l'on appelle « révolution sidérale de Mars ».
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Mar s
Au temps t1
l mar s
l sol eil

Ter r e
Sol ei l
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
L'orbite de Mars par Kepler
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Mars
Au temps t2 =
T1 + 1 période de Mars
l mars
l sol eil

Terre
Soleil

Mars est revenu à la même place et la Terre a fait un tour de plus
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Période synodique
La méthode de Kepler demande la connaissance de la période sidérale
de Mars.
La révolution sidérale ne peut pas être déterminée directement, mais elle peut
être calculée à partir de la révolution synodique observable depuis la Terre.
Celle-ci est calculée par la période synodique qui, elle, est directement
observable.
Pour sauter le calcul de la période synodique période sidérale passer à
Tracé de l’orbite de Mars
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Révolution sidérale et révolution synodique
La révolution sidérale ne peut pas être déterminée directement, mais elle peut
être calculée à partir de la révolution synodique observable depuis la Terre.
Révolution synodique : intervalle de temps qui s'écoule entre deux
passages successifs d'une planète dans une situation déterminée par rapport
au Soleil et à la Terre.
Cette période est calculable à partir d’observations de positions de planètes à
des dates déterminées.
relation période synodique – période sidérale
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Pour une planète extérieure
Pour une planète intérieure
1
1 1


TP TT S
1
1 1


TP TT S
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Mesure de la période synodique
Observation des temps d’opposition
La mesure de la période synodique de Mars consiste à repérer les dates
successives de ses oppositions. On en déduit la période synodique.
Les orbites de la Terre et surtout de Mars sont elliptiques. Les intervalles de
temps entre plusieurs oppositions successives peuvent être assez différentes.
La période synodique est une moyenne sur une période assez grande des
intervalles de temps entre oppositions successives.
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Mesure de la période synodique
Observation des temps d’opposition
On peut utiliser l’observations des configurations Mars – Soleil soit avec :
• un planétarium (Skyglobe ou autre) en repérant les moments des
alignements lors des oppositions ou conjonctions lorsque l’on fait défiler
le temps.
Les temps observés peuvent être imprécis.
• un calculateur d’éphémérides (ICE ou serveur de l’IMCCE) et chercher
par interpolation soit
- le moment où les longitudes géocentriques de la planète et du Soleil
sont égales pour la conjonction
- le moment où elles sont déphasées de 180° pour les oppositions.
et inversement si l’on utilise les longitudes héliocentriques.
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Mesure de la période synodique
Temps des oppositions :
Temps des oppositions avec
Skyglobe
configuré à Londres,
face au Sud,
à minuit en hiver ou 1 heure
en été.
Sans toucher à l’heure, avancer ou
reculer le temps de mois en mois
d’abord, puis de jour en jour à
l’approche de l’opposition jusqu’à
ce que Mars soit dans le méridien.
Comme le Soleil ne passe pas tous les jours de l’année rigoureusement à
minuit dans le demi-méridien nord l’indication de date est légèrement
approchée.
On peut l’obtenir avec plus de précision en recherchant par petits sauts
l’instant où les ascensions droites des deux astres diffèrent exactement de 12
heures.
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Mesure de la période synodique
Temps des oppositions avec les éphémérides
On peut chercher à tâtons la date précise où les longitudes du Soleil et de
Mars sont exactement opposées.
Méthode fastidieuse et longue.
Il est plus facile de faire calculer aux alentours de l’opposition les longitudes de
Mars et du Soleil sur quelques jours et par un graphique ou un calcul formel
d’interpolation, de trouver la date.
programme ICE ou autres
ou
http://www.imcce.fr/page.php?nav=fr/ephemerides/formulaire/form_ephepos.php
Ce travail peut être fait sous tableur Excel et l’utilisation du programme ICE.
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Mesure de la période synodique
Temps des oppositions avec les éphémérides
Date
Julian Date
Year
2453685.50000 2005
2453686.50000 2005
2453687.50000 2005
2453688.50000 2005
2453689.50000 2005
Date
Julian Date
Year
2453685.50000 2005
2453686.50000 2005
2453687.50000 2005
2453688.50000 2005
2453689.50000 2005
Heliocentric Coordinates of MARS
Time
Long
Lat
Mon Da h m s
ø '
"
ø '
Nov 11 0 00 00
47 05 22.2
- 0 04
Nov 12 0 00 00
47 39 10.1
- 0 03
Nov 13 0 00 00
48 12 54.5
- 0 02
Nov 14 0 00 00
48 46 35.6
- 0 01
Nov 15 0 00 00
49 20 13.2
- 0 00
Heliocentric Coordinates of EARTH
Time
Long
Lat
Mon Da h m s
ø '
"
ø '
Nov 11 0 00 00
48 42 06.5
+ 0 00
Nov 12 0 00 00
49 42 26.1
+ 0 00
Nov 13 0 00 00
50 42 47.1
+ 0 00
Nov 14 0 00 00
51 43 09.6
0 00
Nov 15 0 00 00
52 43 33.6
- 0 00
"
51.9
46.5
41.1
35.9
30.7
Dist
AU
1.4654601
1.4666980
1.4679400
1.4691859
1.4704357
"
00.4
00.3
00.2
00.0
00.1
Dist
AU
.9900451
.9898078
.9895744
.9893453
.9891206
Il reste à interpoler pour trouver le moment précis de l’opposition.
Ici égalité des longitudes en coordonnées écliptiques géocentriques.
Ce travail peut être fait sous tableur Excel et l’utilisation du programme ICE.
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Période synodique
La mesure de la période synodique demande à calculer des intervalles de
temps entre deux dates.
Rien de plus simple en utilisant un calendrier avec années bissextiles et des
mois irréguliers !
Exercice : nombre de jours écoulés entre le jour de la rentrée scolaire et le
dernier jour de cette année scolaire.
1er septembre 2004 et 1er juillet 2005
Les astronomes (et autres) utilisent une datation qui consiste simplement
à compter les jours un à un.
Le jour julien
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L'orbite de Mars par Kepler
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Utilisation de ICE
Trouver les coordonnées écliptiques d’une planète ou du Soleil à une date
• Entrer la date (F1/F1)
• Donner le nom du fichier de sortie (F2)
• Faire faire le calcul (F3/F3)
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Utilisation de ICE
Trouver les coordonnées écliptiques d’une planète ou du Soleil à une date
•Entrer la date (F1) : ouverture du menu :
• Entrer la date (F1) avec le format exact (décimales non obligatoire)
• Donner le nombre de ligne de calcul (F5)
• Sortir du menu (F7)
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L'orbite de Mars par Kepler
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Utilisation de ICE
Trouver les coordonnées écliptiques d’une planète ou du Soleil à une date
• Faire le calcul en coordonnées héliocentriques (F3) / (F3) :
Mars
Terre
(earth)
• Sortir (F10)
• Récupérer le fichier de données
pour les insérer dans le fichier excel
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oppositions_mars.xls
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Utilisation de ICE
On obtient pour la période synodique : 782,26 jours
et la période sidérale :
685,17 jours
Valeurs officielles de l’UAI : 779,936 jours et 686,980 jours
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L'orbite de Mars par Kepler
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Tracé de l’orbite de Mars
Observations de Mars utilisées par Kepler
Date
Jour
julien
longitude
Soleil
longitude
Mars
17/02/1585
2300017
339,38
135,20
10/03/1585
2300038
359,68
131,80
5/01/1587
2300704
295,35
182,13
26/01/1587
2300725
316,10
184,70
28/03/1587
2300786
16,83
168,20
12/02/1589
2301473
333,70
218,80
19/09/1591
2302422
185,78
284,30
6/08/1593
2303109
143,43
346,93
7/12/1593
2303232
265,88
3,07
25/10/1595
2303919
221,70
49,70
Données dans le fichier excel : data_kepler.xls
Classement par couples pour le tracé géométrique ?
Résultats fichier excel : data_kepler_res.xls
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Tracé de l’orbite de Mars
Couples d’observations de Mars utilisées par Kepler
Date
Jour
julien
10/03/1585
2300038
26/01/1587
2300725
17/02/1585
2300017
5/01/1587
2300704
28/03/1587
2300786
12/02/1589
2301473
19/09/1591
2302422
6/08/1593
2303109
7/12/1593
2303232
25/10/1595
2303919
DT
longitude
Soleil
687
687
687
687
687
longitude
Mars
359,68
131,80
316,10
184,70
339,38
135,20
295,35
182,13
16,83
168,20
333,70
218,80
185,78
284,30
143,43
346,93
265,88
3,07
221,70
49,70
Tracé des points des orbites de la Terre et de Mars ?
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L'orbite de Mars par Kepler
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Méthodes
Mars
l mars
l sol eil

Terre
Soleil

Manuelle
O
y  y1 y  RT sin( L1T )

 tan(l1 M )
x  x1 x  RT cos( L1T )
y  y2
y  RT sin( L2 T )

 tan(l2 M )
x  x 2 x  RT cos( L2 T )
M
a
r
s
Analytique
Semi manuelle (IRIS)
Geogebra
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L'orbite de Mars par Kepler
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Tracé d’un couple d’observations
L’orbite de la Terre est prise circulaire, r = 60 mm.
Sur une feuille blanche ou millimétrée, on trace :
- le centre (O), emplacement du Soleil
- la direction Og, origine des directions
Mar s
Terre
On utilise le rapporteur pour placer
la Terre aux première et deuxième
positions.
lSoleil
LTerre = lSoleil +/- 180°
l mar s
l sol eil
Mars
Avec le rapporteur, on trace la
direction Terre Mars, angle lMars
De même pour la deuxième
observation.

Ter r e
Sol ei l
LTerre = lSoleil-180

O
Le point de l’orbite de Mars est à
l’intersection des deux directions.
On recommence pour les autres couples d’observations.
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L'orbite de Mars par Kepler
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Tracé d’un couple d’observations
L’orbite de la Terre est prise circulaire, r = 60 mm.
Sur une feuille blanche ou millimétrée, on trace :
- le centre (O), emplacement du Soleil
- la direction Og, origine des directions
Mars
Terre
On utilise le rapporteur pour placer
la Terre aux première et deuxième
positions.
l mars
LTerre = lSoleil +/- 180°
l sol eil
Mars
Avec le rapporteur, on trace la
direction Terre Mars, angle lMars
De même pour la deuxième
observation.

Terre
Soleil

O
Le point de l’orbite de Mars est à
l’intersection des deux directions.
On recommence pour les autres couples d’observations.
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L'orbite de Mars par Kepler
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Orbite de Mars
5
2
A l’aide de la feuille transparente
1
O rb iet deM a rs
O b se rva toi n s de K ep el r
R = 90 m m
3
S
4
• on recherche le meilleur ajustement d’un
des cercles.
• noter le rayon et la position du centre.
• le rayon trouvé donne le demi grand axe a
de l’orbite de Mars exprimé en rayons de
l’orbite terrestre.
O b s e rv a to ire d e L y o n (F C )
k e p c e rc l.s k d - 9 9 /0 7 /0 5
• la distance Soleil-centre du cercle donne la
valeur de c de l’ellipse de l’orbite de Mars
• de c et a on en déduit l’excentricité e.
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L'orbite de Mars par Kepler
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Méthode analytique
Mars
Positions de Mars à partir des deux
observations.
l 2S
x2  RT cos( L2 )
y1  RT sin( L1 )
y2  RT sin( L2 )
On exprime les équations des droites
Terre-Mars aux deux positions :

l 2M
T2
Coordonnées des points T1 et T2 :
x1  RT cos( L1 )
M
l1M
Terre
l1S

T1
L2T
Soleil
L1T

S
y  y1 y  RT sin( L1T )

 tan(l1 M )
x  x1 x  RT cos( L1T )
y  y2
y  RT sin( L2 T )

 tan(l2 M )
x  x 2 x  RT cos( L2 T )
Intersection des deux droites :
cos( L2 T ) tan(l2 M )  cos( L1T ) tan(l1 M )  sin( L2 T )  sin( L1T )
x M  RT
tan(l2 M )  tan(l1 M )
y M  ( x M  x1 ) tan(l1 M )  y1
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Résultats
5
2
1
Rayon orbite Terre : 60 mm
S
3
Programmation dans excel :
fichier kepler_calculs.xls
Point
4
Positions Terre
Position Mars
x1
y1
X2
y2
x mars
y mars
r mars
1
-59,9991
0,3351
-43,2331
41,6041
-93,2231
37,4942
100,4807
2
-56,1562
21,1301
-25,6888
54,2226
-87,1775
51,9356
101,4753
3
-57,4301
-17,3720
-53,7892
26,5843
-97,9352
-8,9100
98,3397
4
59,6950
6,0425
48,1878
-35,7483
71,7411
-41,2163
82,7379
5
4,3107
59,8449
44,7983
39,9138
64,4358
63,0696
90,1652
Programmation dans excel : fichier kepler_calcul_res.xls
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L'orbite de Mars par Kepler
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Mesure du rayon de l’orbite de Mars et de son excentricité
Points reportés sur un graphique : même
méthode que par rapporteur et cercles
concentriques.
Construction d’une image avec les points positionnés.
Cette image peut être traitée par IRIS (imaorbite.jpg).
Utilisation de la fonction Photométrie d’ouverture.
(Analyse / Photométrie d’ouverture)
Cette fonction permet d’ajuster, à la souris, un cercle de rayon donné.
On mesure pour les points de la Terre et de Mars,
les rayons
et les positions des centres
des cercles qui s’ajustent au mieux aux points des orbites.
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L'orbite de Mars par Kepler
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Mesure du rayon de l’orbite de Mars et de son excentricité avec IRIS
Traitement par IRIS d’imaorbite.jpg
On mesure pour les points de la Terre et de Mars,
• les rayons
• les positions des centres des cercles qui s’ajustent au mieux aux points des
orbites.
Données à rentrer dans le fichier excel : kepler_iris.xls
Mesu. 1
Mes. 2
xt
yt
rt
Echelle
xm
ym
rm
a Mars
Construire les formules pour arriver aux résultats
e Mars
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Résultats ->
L'orbite de Mars par Kepler
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Mesure du rayon de l’orbite de Mars et de son excentricité avec IRIS
On mesure pour les points de la Terre et de Mars
• les rayons
• les positions des centres des cercles qui
s’ajustent au mieux aux points des orbites.
Terre
Résultats imaorbite.jpg
Mesu. 1
Mes. 2
xt
500
500
yt
501
501
rt
300
300
Mars
Echelle
2010/02/27
xm
0.200
0.200
ym
463
464
rm
533
530
a Mars
1.5333
1.5367
e Mars
0.1063
0.1003
L'orbite de Mars par Kepler
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Tracé de l’orbite de Mars
Peut-on justifier l’utilisation de cercles à la place des ellipses ?
Avec un rayon de l’orbite de la Terre de 60 mm et de 92 mm pour Mars
et des excentricités de 0,01671 et 0,090 de Mars
Quelles est la différence grand axe – petit axe de chaque ellipse ?
Programmation dans excel : fichier kepler_iris.xls feuille 2
Résultats dans le fichier kepler_iris_res.xls feuille 2
a
e
b
(a-b)
Terre 60 0,01671 59,992 0,01 mm
Mars 90 0,09340 91,598 0,40 mm
La différence correspond au tracé de l’épaisseur
- d’un trait fin pour la Terre
- d’un trait un peu épais pour Mars.
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L'orbite de Mars par Kepler
29
L’orbite de Kepler avec Géogébra
Fichier : keplomars_depart.ggb
Les données de départ sont les mêmes
mises dans la partie tableur.
A l’aide du tableur trouver les couples qui
correspondent à la période synodique.
1 - Repérer les configurations Terre Soleil Mars semblables
Comment ?
Colonne I faire les différences de longitudes Soleil-Mars.
Recherche des couples de même élongation au Soleil
- 17 février 1585 et 28 mars 1787
769 jours
- 5 janvier 1587 et 12 février 1789
769 jours
- 19 septembre 1591 et 7 décembre 1793
810 jours
2 – noter les espaces de temps les séparant
Moyenne : 782.7 jours
3 - Calculer la période sidérale de Mars
P = 684,6 jours
2010/02/27
686.98 jours
L'orbite de Mars par Kepler
1
1 1


TP TT S
30
Recherche des couples d’observation séparés par une période sidérale
Les dates doivent différer d’environ une période sidérale de Mars.
Dans les colonnes J, K et L faire les différences des dates jours juliens
entre les observations de deux en deux (col. J), de trois en trois (col. K) et
de quatre en quatre (col. K)
Se servir du tableur pour
trouver les couples
1 - 17/02/1585 et 05/01/1587
2 - 10/03/1585 et 26/01/1587
3 - 28/03/1588 et 12/02/1589
4 - 19/09/1591 et 06/08/1593
5 - 07/12/1593 et 25/10/1595
2010/02/27
L'orbite de Mars par Kepler
31
Orbite de la Terre
Placer le Soleil au centre : point S
S = (0,0)
Dessiner l’orbite de la Terre
On assimilera l’orbite de la Terre à une orbite circulaire.
C_T = Cercle[S,1]
Le cas d’une orbite légèrement
elliptique sera abordée à la fin.
L’origine des longitudes
héliocentriques est l’axe des x.
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L'orbite de Mars par Kepler
32
Construction des points de l’orbite de Mars
Pour chaque couple, on choisira :
• une couleur
• un bouton logique de visibilité des droites et intersection la construction
1
2
3
4
5
Date 1
17/02/1585
10/03/1585
28/03/1588
19/09/1591
07/12/1593
Date 2
05/01/1587
26/01/1587
12/02/1589
06/08/1593
25/10/1595
Couleur
(0,102,204)
(102,204,0)
(255,102,102)
(153,153,0)
(255,204,0)
flg_1
flg_2
flg_3
flg_4
flg_5
Flag
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L'orbite de Mars par Kepler
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Construction point 1 de la Terre
Coul : (0,102,204)
flg_1
Longitude Terre/Soleil = long. Soleil/Terre+180°
Dates 17/02/1585 et 05/01/1587
• 17/02/1585
T_1=(1;159.38°)
ou
T_1=Intersection[C_T,DemiDroite[S,Vecteur
[S,(-cos(G4*pi/180),-sin(G4*pi/180))]]]
• 05/01/1587
T'_1=(1;115.21°)
ou
T'_1=Intersection[C_T,DemiDroite[S,Vecteur
[S,(-cos(G6*pi/180),-sin(G6*pi/180))]]]
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L'orbite de Mars par Kepler
34
Construction premier point de Mars
Construction des directions vers Mars : T1 : H4 (135.12°) et T’1 : H6 (182.08°)
Direction de Mars de T1
d1=DemiDroite[T_1,vecteur[S,cos(H4*pi/180),sin(H4*pi/180))]]
Direction de Mars de T’1
d’1=DemiDroite[T_1,vecteur[S,(cos(H6*pi/180),sin(H6*pi/180))]]
Mettre la condition de visibilité flg_1
Position de Mars :
M_1=Intersection[d1,d'1]
Construire les quatre autres points.
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L'orbite de Mars par Kepler
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Tracé des points de l’orbite de Mars
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L'orbite de Mars par Kepler
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Recherche de l’orbite
Supposition : l’orbite elliptique est très proche d’un cercle
On recherchera l’ajustement
• du meilleur cercle
• qui passe au mieux des cinq points
Ce cercle est déterminé par :
son centre C de coordonnées :
xC et yC
Son rayon r
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L'orbite de Mars par Kepler
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Méthode sous Geogebra
A partir d’un cercle donné, proche des points
• calcul la distance des points au cercle
• somme des carrés de ces distances appelée excès E.
Si le cercle passe par tous les points, E est nul.
En faisant varier la position du centre et le rayon du cercle, on va
chercher à minimiser cet excès E.
Pour la variation des trois paramètres, on crée trois curseurs :
x_C
y_C
r
On tracera le cercle et apparaître son centre C
Calcul de l’excès E 
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L'orbite de Mars par Kepler
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Calcul de l’excès
I1 est à l’intersection de CM1 et du
cercle.
I1
I_1=Intersection[DemiDroite[M_1,C],c_M]
Mesure de MI1
L_1=Longueur[Vecteur[I_1,M_1]]
Idem pour M2, M3…
E  ( M1 I1 ) 2  ( M2 I 2 ) 2  ( M3 I 3 ) 2  ( M4 I 4 ) 2  ( M5 I5 ) 2
E=L_1^2+L_2^2+L_3^2+L_4^2+L_5^2
Affichage avec un texte :
"E=" + E
Propriété texte : mettre 10 décimales, taille 14 et Gras
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L'orbite de Mars par Kepler
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Ajustement du cercle
On agit sur les trois curseurs
En itérant jusqu’à ce que E
soit minimal.
On agira successivement sur xC,
yC, r et l’on recommencera par
xC…
Les curseurs varient doucement
lorsqu’on les sélectionne à la souris
et que l’on agit sur les touches
flèches .
Pour faire varier un curseur de
façon très progressive lui donner
dans les Propriétés un incrément
de 0 (minimum).
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L'orbite de Mars par Kepler
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Calcul des éléments de l’orbite
Tracer le grand axe de l’orbite de Mars
gaxe=Droite[C,S]
Demi-grand axe a :
Créer les points d’intersection J1 et
J2 du cercle cM et gaxe
J=Intersection[gaxe,c_M]
Le demi-grand axe = CJ1
a=Longueur[Vecteur[C,J_1]]
Excentricité :
e_M=Longueur[Vecteur[C,S]]/a
Longitude du périhélie :
Lper = Angle[Vecteur[(0, 0), (1, 0)], Vecteur[C, S]]
Afficher a, e et Lper.
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L'orbite de Mars par Kepler
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Résultats
Géogébra :
Littérature :
a = 1,524
e = 0,09340
lg per = 336,1°
Et si l’on tient d’une orbite elliptique de la Terre ?
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L'orbite de Mars par Kepler
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Orbite elliptique de la Terre
L’orbite de la terre sera toujours considérée comme un cercle
L’orbite ne sera plus centrée sur le Soleil
Périhélie
Position du centre avec ?
eT = 0.01671
lT : 102,94°
S
a = 1  c = 0.01671
x_T=e*cos(l_T+180°)
yT = c sin(lT + 180°)
y_T=e*sin(l_T+180°)
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
CT
Position de CT :
xT = c cos(lT + 180°)
Cercle orbite Terre :
102.94°
c_T= (x_T,y_T)
L'orbite de Mars par Kepler
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Orbite elliptique de la Terre
Positions des points T1, T’1, T2, …
Comme dans le cas précédent :
Périhélie
Intersection demi-droite ST et cercle
S
T_1=Intersection[c_T,DemiDroite[S,vecteur[(0,0),
(-cos(G4*pi/180),-sin(G4*pi/180))]]]
102.94°

CT
Le reste est inchangé.
Il suffit de refaire l’ajustement qui minimise l’excès E.
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Nouveaux résultats
Version 1
Littérature
Version 2
a = 1,524
e = 0,09340
lg per = 336,1°
Les mesures de Tycho Brahé étaient bonnes !
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. . . . . FIN
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