Transcript Probabilidad y azar una presentación de Eliseo Martínez H. ¿Qué es el azar? Veamos lo que nos dice el diccionario 1.

Probabilidad y azar
una presentación de Eliseo Martínez H.
¿Qué es el azar?
Veamos lo que nos dice el diccionario
1. m. casualidad: el azar hizo que nos volviéramos a encontrar
años después
2. al azar loc. Adv. Sin orden, sin planeamiento; aleatoriamente:
eligió un número al azar
Podemos intuir, entonces, que el azar está relacionado con la
suerte, con lo impredecible (que no se puede predecir), con lo
aleatorio (que significa suerte). Parece ser que toda nuestra
vida está asociado a lo impredecible. ¿Podemos predecir el
mañana?
El dado y la moneda en el desarrollo de la ciencia
Aunque usted no lo crea, estudiando el comportamiento de los
resultados al lanzar una moneda o un dado, se pueden establecer
principios matemáticos de probabilidad que han resultado vitales
para el desarrollo de la ciencia, como la Física, la Biología, la
Genética, la Economía, la Química, las Ciencias Sociales.
De hecho, la axiomática de todo el cálculo de la probabilidad está
basado, prácticamente, en el lanzamiento de una moneda o de un
dado.
Un ejemplo más de que los principios de la ciencia son por lo
general sencillos.
Por una sana costumbre, los generales romanos no podían entrar a Roma con su
ejercito. Puesto que el senado romano apoyaba a Pompeyo que tomó el control de
Roma, Julio Cesar decide “cruzar el Rubicón” (río al norte de Italia) con sus legiones,
significando con este cruce la lucha contra Pompeyo y el senado...
Poco antes del cruce del Rubicón dice la frase que pronunciaban los legionarios
romanos en el juego al lanzar los dados: alea jacta est... (la suerte está echada)
El dado en el arte
Dados
Bartolomé Esteban Murillo (1617, 1682)
He aquí un dado...
Los dados se cuentan entre los artilugios más antiguos utilizados en juegos de
apuestas. Los arqueólogos han descubierto dados cúbicos, idénticos a los
actuales, en tumbas egipcias del año 2000 A.C. Y también se han encontrado
dados en yacimientos chinos que se remontan al 600 A. C.
La nueva moneda de cien pesos chilena
El “sello”
Al centro del núcleo y guardando la
simetría del conjunto, el Escudo
Nacional y bajo él el año de
acuñación, la cifra "100" y la
palabra "PESOS" superpuesta con
el anillo. Circundando el conjunto,
en anillo, ramas de laurel
... y la “cara”
El rostro de una mujer mapuche, situado al
centro del núcleo y coronado con la frase
"REPÚBLICA DE CHILE" en el anillo. En la
parte inferior del anillo la frase "PUEBLOS
ORIGINARIOS". Al costado izquierdo de la
figura, en letras pequeñas, la expresión
"Mapuche".
El lanzamiento de una moneda
Tome usted una moneda y láncela al aire, y observe la figura
obtenida una vez que la moneda detenga su movimiento azaroso
Mientras la moneda va en el aire, ¿puede predecir con absoluta
certeza el resultado que obtendrá?
Vamos a lanzar una misma moneda 4 veces, y observemos los
resultados:
¡Sello!
¡Sello!
¡Cara!
¡Sello!
El lanzamiento de una moneda
¡Sello!
¡Sello!
¡Cara!
¡Sello!
En los cuatro lanzamientos, en este caso, obtuvimos tres veces
“sello” y una vez “cara”
Para este caso se dice que la frecuencia de sellos fue de 3, y la
frecuencia de cara fue de 1.
Aprovechamos de decir entonces que frecuencia de un resultado
es el número de veces que se repite dicho resultado al replicar una
cierta cantidad de veces un fenómeno azaroso.
El lanzamiento de una moneda
Decíamos entonces que no hay manera de determinar el
resultado a priori (antes de) el lanzamiento una moneda al aire.
Sin embargo...
... si todos los alumnos del curso, cada uno con una moneda de
cien pesos lanzan su moneda al aire, sin temor a equivocarnos
podemos decir que ...
.. el 50% de las monedas, es decir la mitad del curso, obtendrá
como resultado “sello”, y el otro 50% restante obtendrá como
resultado “cara”.
Y si el resultado anterior no ocurre, erraremos “por muy poco”
Primera actividad con una moneda
1. Que cada alumno tenga una moneda de 100 pesos (si no
tiene de 100 pesos, cualquier moneda sirve)
2. Que cada alumno lance la moneda al aire 30 veces (puede
ser un número arbitrario de veces, 40, 50, etcétera)
3. Que cada alumno cuente la frecuencia de obtener “cara”
(observe que por complemento se obtendrá la frecuencia de
obtener “sello”)
4. Que cada alumno realice la siguiente operación matemática
(con una calculadora):
Frecuencia de “cara”
Número de lanzamientos
Primera actividad con una moneda
5. Que el profesor anote en la pizarra los resultados obtenidos por
cada alumno
6. Que los alumnos observen todos los resultados, y responda ¿son
similares los resultados?
7. Ahora, que cada alumno indique la frecuencia de “caras”
obtenidas, y además el número de lanzamientos efectuados.
8. Que el profesor, con una calculadora, sume todas las frecuencias
de “cara” de cada alumno, y sume todos los lanzamientos
efectuados por cada alumno. Y realice el siguiente cómputo
Total de frecuencia de “cara”
Total de lanzamientos
Primera actividad con una moneda
Debería ocurrir que:
Total de frecuencia de “cara”
= 0.5
Total de lanzamientos
O en su defecto:
Total de frecuencia de “cara”
 0.5
Total de lanzamientos
aproximadamente igual
Conclusiones sobre esta actividad del lanzamiento de una
moneda
• Resulta imposible predecir el resultado que se puede obtener al
lanzar una moneda
• No obstante, para un número grande de lanzamientos podemos
predecir con un pequeño margen de error, el número de “caras” a
obtener (y por lo tanto el número de “sellos”)
Si lanzamos n veces una moneda, entonces el número de “caras” a
obtener será aproximadamente igual a la mitad de los
lanzamientos, es decir el 50% de los lanzamientos
aproximadamente serán “caras”
Lanzamiento de la moneda: algunas consideraciones
Cuando decimos que en n lanzamientos (40, 75, etcétera) el
50% se obtendrá “cara”, se interpreta el 50% como:
50 dividido por 100, esto es
50 = 0.5 = 1
100
2
De manera tal que el 50% de, por ejemplo, 75 lanzamientos es
50 . 75 = 75 = 37.5
100
2
Y puesto que no puede existir físicamente “37.5 veces caras”, es
que este resultado se interpreta como “aproximadamente se
obtendrán 37 o 38 caras, o un número cercano a este valor”
Lanzamiento de la moneda: tabla de frecuencias
Para contabilizar los resultados obtenidos en los lanzamientos de
una moneda, se puede utilizar la siguiente tabla:
nº de caras
nº total
Resultados frecuencia frecuencia
nº de sellos
relativa
nº total
cara
sello
Suma de ambas
frecuencias
relativas, su
valor es
siempre 1
total
nº de caras
obtenidas
nº total de
lanzamientos
nº de sellos
obtenidos
Lanzamiento de la moneda: tabla de frecuencias
Realizaremos una simulación para ver como utilizamos la tabla.
Supongamos que vamos a lanzar 15 veces una moneda. Los
resultados de los lanzamientos aparecerán y de acuerdo a éstos
llenaremos la tabla
Resultados
frecuencia
cara
7
sello
8
frecuencia
relativa
7 = 0,4666
15
8 = 0,5333
15
total
15
1
El lanzamiento de la moneda: la probabilidad
Mediante lanzamientos sucesivos de una moneda, hemos concluido
empíricamente (experimentalmente) que aproximadamente el 50%
de las veces (es decir, la mitad de los lanzamientos) obtendremos
“cara”.
Recordemos que 50% es igual a 1/2
Podríamos haber razonado de la siguiente forma: “Al lanzar una
moneda al aire puede ocurrir uno y sólo uno de los dos
resultados posibles: cara o sello. Si la moneda no está cargada
para ningún lado, hay un 50% de que salga cara y un 50% que
se obtenga sello. De otra forma, la probabilidad de obtener cara
es 1/2 , o lo que es lo mismo, la probabilidad de obtener cara es
del 50%”