Departamento de Control, División de Ingeniería Eléctrica Facultad de Ingeniería UNAM La función de transferencia de sistemas lineales México D.F.
Download ReportTranscript Departamento de Control, División de Ingeniería Eléctrica Facultad de Ingeniería UNAM La función de transferencia de sistemas lineales México D.F.
Departamento de Control, División de Ingeniería Eléctrica Facultad de Ingeniería UNAM
La función de transferencia de sistemas lineales
México D.F. a 21 de Agosto de 2006
La función de transferencia
La
Función de transferen cia
función de transferencia L L
c
(
t r
(
t
) )
salida entrada con condicione s iniciales cero
de un sistema se define como la Laplace de la variable de entrada, suponiendo condiciones iniciales cero.
•Solo es aplicable a sistemas descritos por ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo.
•Es una descripción entrada salida del comportamiento del sistema.
•Depende de las características del sistema y no de la magnitud y tipo de entrada •No proporciona información acerca de la estructura interna del sistema
La función de transferencia
Ejemplos de funciones de transferencia:
1.- Circuito RL
Utilizando ley de voltajes de Kirchhoff, se tiene:
v
(
t
)
Ri
(
t
)
L di dt v
(
t
)
i
(
t
)
R
Figura 1. Circuito RL Aplicando la transformada de Laplace con condiciones iniciales cero:
V
(
s
)
RI
(
s
)
LsI
(
s
) la relación corriente voltaje en Laplace, queda: 1
I
(
s
)
V
(
s
)
L R s R
1
L
La función de transferencia
2.- Sistema masa amortiguador resorte
Utilizando las leyes de Newton, se obtiene:
m d
2
y dt
2
b dy dt
ky
(
t
)
r
(
t
) donde
m
es la masa,
b
es el coeficiente de fricción viscosa,
k
es la constante del resorte,
y
(
t
) es el desplazamiento y es la fuerza aplicada. Su transformada de Laplace es:
r
(
t
)
M
s
2
Y
(
s
)
sy
( 0 )
y
' ( 0 )
sY
(
s
)
y
( 0 )
KY
(
s
)
R
(
s
) considerando:
y
' ( 0 ) 0 ,
y
( 0 ) 0 ,
m k b y(t) r(t)
Figura 1. Sistema masa Amortiguador resorte.
Ms
2
Y
(
s
)
bsY
(
s
)
KY
(
s
)
R
(
s
) La función de transferencia es:
Y
(
s
)
R
(
s
)
Ms
2 1
bs
K
La función de transferencia
2b.- Sistema masa amortiguador resorte con desplazamiento inicial
Considérese ahora que existe un desplazamiento inicial conservar la condición una entrada una salida se hace
y
0
r
(
t
. Entonces para ) 0
M
s
2
Y
(
s
)
sy
( 0 )
y
' ( 0 )
sY
(
s
)
y
( 0 )
KY
(
s
)
R
(
s
) condiciones iniciales
r
(
t
) 0 ,
y
' ( 0 ) 0 ,
y
( 0 )
y
0 , La función de transferencia es:
Y
(
s
)
y
0 (
Ms Ms
2
bs
b
)
K
Ahora el desplazamiento solo depende de la posición inicial y los parámetros del sistema.
La función de transferencia
Resumen de las leyes de elementos Tipo de elemento
c i a I n d u c t a n
Elemento físico Inductancia eléctrica Resorte traslacional Resorte rotacional Ecuación representativa
v
21
L di dt v
21 1
df k dt
21 1
dT k dt f
Símbolo
i v
1
L v
1 1
T
1
T
2
v
2
v
2 2
f
La función de transferencia
Resumen de las leyes de elementos Capacitancia eléctrica
i
C dv
21
dt
n c i a C a p a i c t a
Masa Inercia Capacitancia fluídica
f
m dv dt T
j d
dt q
21
C f dp
21
dt
Capacitancia térmica
q
C t dT dt v
1
i C v
2
q
1
f m v q j p
2
C f p
1
T
q
2
T C t
La función de transferencia
Resumen de las leyes de elementos Resistencia eléctrica
i
1
R v
21
i c a R e i s t s e n
Amortiguador traslacional Amortiguador rotacional Resistencia fluídica
f
bv T
b
21
q
1
R f p
21 Resistencia térmica
q
1
R t T
21
T
1
f
1
v
1
i T b R v
2
b v
21
T
2
f p
1
R f q R t p
2
q T
2
Diagramas de bloques
La relación causa y efecto de la función de transferencia, permite representar diagramáticos.
las relaciones de un sistema por medios Diagrama a bloques
Los diagramas de bloques de un sistema son bloques operacionales y unidireccionales que representan la función de transferencia de las variables de interés.
Consideraciones:
• Tiene la ventaja de representar en forma más gráfica el flujo de señales de un sistema.
• Con los bloques es posible evaluar la contribución de cada componente al desempeño total del sistema. • No incluye información de la construcción física del sistema (Laplace).
• El diagrama de bloques de un sistema determinado no es único.
Diagramas de bloques
Elementos de un diagrama a bloques
Variable de entrada Función de transferencia
G
(
s
) Variable de salida
Flecha:
Representa una y solo una variable. La punta de la flecha indica la dirección del flujo de señales.
Bloque:
Representa la operación matemática que sufre la señal de entrada para producir la señal de salida. Las funciones de transferencia se introducen en los bloques. A los bloques también se les llama ganancia.
Diagramas de bloques
Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado
C
(
s
)
R
(
s
) punto de suma
E
(
s
) + -
B
(
s
)
G
(
s
) punto de bifurcación
H
(
s
) Función de transferencia en lazo abierto Función de transferencia trayectoria directa Función de transferencia lazo cerrado
B
(
s E
(
s
) )
G
(
s
)
H
(
s
)
C
(
s
)
E
(
s
)
G
(
s
)
C
(
s
)
R
(
s
)
G
(
s
) 1
G
(
s
)
H
(
s
)
Diagramas de bloques
Reducción de diagrama de bloques
Por elementos en serie
R
(
s
)
G
1 (
s
)
D
(
s
)
G
2 (
s
)
C
(
s
) Por elementos en paralelo
G
1 (
s
)
R
(
s
) + +
C
(
s
)
G
1 (
s
)
R
(
s
)
G
1 (
s
)
G
2 (
s
)
C
(
s
)
R
(
s
)
G
1 (
s
)
G
2 (
s
)
C
(
s
)
Diagramas de bloques
Reducción de diagrama de bloques
Por elementos en lazo cerrado
C
(
s
)
R
(
s
)
E
(
s
) + -
B
(
s
)
G
(
s
)
H
(
s
)
R
(
s
)
G
(
s
) 1
G
(
s
)
H
(
s
)
C
(
s
)
La simplificación de un diagrama de bloques complicado se realiza mediante alguna combinación de las tres formas básicas para reducir bloques y el reordenamiento del diagrama de bloques utilizando reglas del álgebra de los diagramas de bloques.
Diagramas de bloques
Reducción de diagrama de bloques
Reglas del álgebra de los diagramas de bloques
Diagrama de bloques original
A G AG
+ -
B AG
B
Diagrama de bloques equivalente
A B
+ -
G A
B G G
1
G AG B
B A G AG A G AG AG AG G
Diagramas de bloques
Reducción de diagrama de bloques
Reglas del álgebra de los diagramas de bloques
Diagrama de bloques original
A AG G
Diagrama de bloques equivalente
A G AG A
1
G A A
+ -
G
1
B A
1
G
2 + -
G
2
G
1
G
2
B