Transcript introduction aux modèles cosmologiques M. Lachièze-Rey Centre d’Etudes de Saclay, FRANCE Cosmologie La cosmologie concerne les propriétés globales du monde. L’univers possède des propriétés globales.  La.

introduction aux modèles
cosmologiques
M. Lachièze-Rey
Centre d’Etudes de Saclay,
FRANCE
Cosmologie
La cosmologie concerne les propriétés globales du monde.
L’univers possède des propriétés globales.
 La cosmologie scientifique existe.
Cosmologie relativiste : selon la théorie de la relativité générale
Univers = espace-temps + contenu énergétique
Fondements :
Principes
Principe cosmologique : L’espace est homogène et isotrope
Simplicité
La gravitation gouverne la cosmologie
Théories
La gravitation est décrite par la relativité générale :
Toute la physique connue
Observations : très nombreuses
Relativité générale
Le Cadre pour la physique :
pas espace + temps, mais espace-temps courbe
Métrique g  courbure (tenseur de Riemann R)
Le tenseur de Riemann représente la gravitation.
Les équations d’Einstein permettent de calculer R à partir
- du contenu énergétique (tenseur d’énergie-impulsion T)
- et de la constante cosmologique L.
En général très compliquées
Simplifiées par les symétries
(symétrie sphérique, cosmologie)
Matière et lumière suivent les géodésiques de l’espace-temps.
Le but de la cosmologie relativiste est de trouver
une bonne description de l’espace-temps, par exemple par sa métrique.
Principe cosmologique
L’espace [les sections spatiales de l’espace-temps]
sont à symétrie maximale (=homogènes et isotropes)

1) l’espace-temps est simple = espace * temps
Mais les propriétés de l’espace varient
dans le temps (expansion).
2) description simple du contenu énergétique :
Quantités moyennes seulement
(densité d’énergie r, pression p)
Le principe cosmologique suffit à déterminer une forme pour la métrique :
ds2 = dt2 -a(t) 2 ds2,
- où ds2 est la métrique d’un espace à symétrie maximale :
R3 (k=0), S3 (k=1) ou H3 (k=-1) .
= forme de Robertson - Walker.
Dans des « bonnes » coordonnées ;
(ceci est indépendant de la théorie de gravitation).
Donc ces modèles sont déterminés par la fonction a(t) et la constante k.
a(t) est le facteur d ’échelle :
toute longueur cosmique varie proportionnellement à a
k est le paramètre de courbure.
Temps conforme
ds2 = dt2 -a(t) 2 ds2
On peut toujours effectuer un changement de variable t --> h
défini par dh =dt /a(t).
La métrique s’écrit
ds2 = a(t[h]) 2 [dh2 -a(t) 2 ds2]
- Elle est « conformément plate »
- h est le temps conforme (sans signification physique).
Sections spatiales symétriques
Modèles de Friedmann Lemaître
La relativité générale permet de calculer la courbure
de l’espace-temps à partir du tenseur d’énergie-impulsion
et de L, par les équations d’Einstein.
Avec le pc,
la courbure se réduit à a(t) et k;
Les équations d’Einstein se réduisent aux
équations de Friedmann.
La matière est décrite par
sa densité moyenne
et sa pression moyenne.
Modèles de big bang
= ceux pour lesquels le facteur d ’échelle s annule
pour une valeur de t finie : a(ti) =0.
(en fait, cette cosmologie ne tient pas compte des effets
quantiques qui pourraient empêcher une telle singularité.
Il vaut mieux remplacer la condition par a(ti) = Lplanck
Aujourd ’hui
Le taux présent d’expansion H(t0 ) est
la constante de Hubble H0
Une distance D varie proportionnellement à a,
V = D’= (a’/a) D.
On note (a’/a) 0 = H0.
De l ’équation de Friedmann on déduit
(H0) 2+ k / (a0)2 = (8 pG) r0 / 3 + L /3
Un modèle simple
On suppose L = k= 0.
Pas de constante cosmologique,
Sections spatiales euclidiennes
Ce modèle est appelé Einstein - de Sitter
Ceci implique
r0 =3 (H0) 2 / (8 pG) = rcritique
C’est la définition de la densité critique rcritique, qui sera utilisé comme
unité cosmologique de densité d ’énergie.
Pour toute forme d’énergie r, on posera
W = r/ rcritique.
Par exemple, Wmatière = rmatière / rcritique
ATTENTION : W n’est pas une quantité constante !
Dans les années 1970-1980, ceci était considéré comme le meilleur
modèle pour décrire notre univers (cdm).
Pour une notation harmonieuse, on écrit aussi:
L / 3 (H0) 2 = l = WL
On a donc, de manière générale,
1+ k / (H0 a0)2 = Wcontenu + WL
Un univers à sections spatiales euclidiennes vérifie donc
Wcontenu + WL = 0.
Contenu
On distingue plusieurs formes d’énergie dans l’univers qui peuvent
être source de gravitation:
Matière (baryonique ou non baryonique) : p=0
Rayonnement (électromagnétique ou gravitationnel,
neutrinos s’ils n’ont pas de masse) : p = - r
Énergie « exotique » = r > 0 (pourquoi ?), p < 0.
En particulier « énergie du vide » p = - r.
Toutes ces formes d ’énergie se diluent avec l ’expansion :
Matière : r a a-3
Rayonnement : r a a-4
Énergie du vide : r a Ct
Rem.: on peut formellement écrire la contribution
de la constante cosmologique sous la forme rL = L /8pG, pL = - rL.
D’où la confusion.
Loi d ’expansion
Elle est exprimée par la fonction a(t).
Sa première dérivée (logarithmique) est le taux d‘expansion H(t),
aujourd’hui la constante de Hubble HO.
Sa seconde dérivée est exprimée par le
paramètre de décélération q= - a’’ a / (a’)2.
Son signe indique accélération ou décélération de l ’expansion.
Aujourd’hui, 2qO = W -2 WL
Les observations donnent HO.
Les différents tests cosmologiques fournissent le plus souvent
des combinaisons de k et qO .
Espace-temps de Minkowski
Une solution formelle de la relativité générale.
Non physique car : pas de contenu, pas d’expansion.
Métrique ds2 = dt2 - ds2
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 = dr2 + r2 (dq2 + sin2 q df2)
Géodésiques radiales : r = A t +B
Matière (lignes de temps) = A > 0
Lumière A = 1
NB. Par un changement de variable t=t cosh a, r=t sinh a,
la même métrique s’écrit :
ds2 = dt 2 - t2 [da2 + sinh2 a (dq2 + sin2 q df2)]
Décrit un univers en expansion, à sections spatiales hyperboliques
--> Attention ! (Mizony)
Espace-temps complètement
symétriques
Il en existe trois seulement : Minkowski, de Sitter et anti-de Sitter.
de Sitter : expansion, sections spatiales = S3 (3-sphère).
Peut-être vu comme un hyperboloïde à 4D dans un espace plat à 5D
La solution des équation de Friedmann avec L > 0
anti-de Sitter : lignes de temps fermées (!),
sections spatiales = H3 (espace hyperbolique).
Peut-être vu comme un hyperboloïde à 4D dans un espace plat à 5D
de Sitter
Métrique canonique : ds2 = dt2 - cosh2(t/L) ds+ 2
Où L = 1/L2
Où ds+2 est la métrique de la 3-sphère S3 de rayon L.
C’est une forme RW : facteur d’expansion a(t) = cosh(t/L)
• expansion accélérée : bonne approximation de
notre univers aujourd’hui (la meilleure?)
• inflation
• symétrie maximale
--> le vide géométrique ?
Le même espace-temps (en fait différentes parties)
sont décrites par des formes différentes de la métrique -->
Changements de variables :
1)
sinh(t/L) = sinh(T/L) cosh (a)
cosh(t/L) sin (r) = sinh(T/L) sinh (a)
cosh(t/L) cos (r) = cosh(T/L)
Donne
ds2 = dT2 - sinh2(t/L) ds-2
Où ds-2 est la métrique de l’espace hyperbolique H3 de rayon L.
sinh(t/L) = sinh(v/L) + r2 ev/L /2 L2
cosh(t/L) sin (r) = r ev/L / L
cosh(t/L) cos (r) = cosh(v/L) - r2 ev/L /2 L2
Donne
ds2 = dv2 - e2v/L ds02
Où ds02 est la métrique de l’espace Euclidien R3.
2)
3) ds2 = (1-L R2/3) dt2 - (1-L R2/3)-1 dR2 - R2 dw2
(forme statique).
Forme sans dimension des équation de Friedmann
Les équation de Friedmann impliquent
2 q0 = Wmatière + 2 Wrayonnement - 2 WL
Wmatière + Wrayonnement + WL -1 = k / (H02 a02) = - Wcourbure
On peut les écrire sous une forme sans dimension :
En posant x = a/a0 = 1/(1+z)
(x’)2=F-2(x),
Avec F(x)= Wmat /x+ Wray /x2 + x2 WL + Wcourbure
Où x est la seule quantité à varier
Âge de l ’univers
Par définition, c’est le temps écoulé depuis le moment où a(t) s’est
annulé :
tU = H0-1 ∫01 dx (Wmat /x+ Wray /x2 + x2 WL + Wcourbure)-1/2