Transcript Презентация OpenDocument

Паркеты из
правильных и
неправильных
многоугольников
Цель
Выяснить из каких
многоугольников можно
составить паркет.
Гипотеза
Для того, чтобы можно
было составить паркет,
сумма углов
многоугольников в узле
паркета должна равняться
360º.
Задачи
1.Узнать что такое паркет, где
применяется?
2. Вспомнить теорию о
многоугольниках.
3.Сформулировать и доказать формулу
для правильных многоугольников.
4. Выяснить можно ли составить
паркет из разноименных
многоугольников и неправильных
многоугольников.
Задача№1
Что такое паркет?
●
●
Паркет-это настил на
полу из какого-либо
материала, уложенный
так, что образуется узор.
Паркетную доску можно
использовать для
оформления
стен.Поистине необычное
решение – мозаичный
паркет. Из различных
пород дерева можно
выложить оригинальный
рисунок. Он будет
роскошно смотреться в
кабинете или гостиной.
Паркет в компьютерной
графике
●
●
●
●
●
Паркет-это замощение плоскости
многоугольниками без пробелов и
перекрытий.
Растр-это порядок расположения
точек(растровых элементов).
n
m
Возможно использование в
качестве растрового элемента
фигуры разной формы,
соответствующие следующим
требованием:
1.Все фигуры должны быть
одинаковые.
2.Должны полностью покрывать
плоскость без наезжания и дырок.
n
m
Задача№2
Теория
●
Многоугольник-это
замкнутые ломаные линии,
не имеющие
самопересечения.
●
Правильный
многоугольник-это
выпуклый многоугольник, у
которого все стороны
между собой равны и все
углы между собой равны.
Задача№3
Паркеты из одноименных
многоугольников
Выясним, из каких правильных многоугольников можно
составить паркет?
Геометрические фигуры могут “встретиться” в вершине
паркета только тогда, когда сумма их углов составляет 360
градусов, иначе они не сомкнуться вокруг вершины или
“налезут” друг на друга).
Формула для правилных
многоугольников
Пусть в каждой точке плоскости сходятся m одинаковых
правильных n–угольников, то должно выполняться равенство:
m*180º*(n–2)/n=360º.
Величина угла правильного n–угольника равна 180º*(n–2)/n
После преобразований получим:
m=2*n/(n–2), m – натуральное число.
Если n=3, m=6 (6 треугольников в узле).
Если n=4, m=4 (4 четырёхугольника в узле).
Если n=5, m=3,333333…
Значит, пятиугольниками заполнить плоскость нельзя.
Если n=6, m=3 (шестиугольника)
Для п ≥ 7 не существует правильных многоугольников, для
которых бы выполнялось главное условие. Значит, паркет из
этих многоугольников (п > 7; 8; 9… построить нельзя!)
Паркет можно построить из:
правильных треугольников;
правильных шестиугольников;
правильных
четырехугольников.
Задача№4
Полуправильные паркеты из
разноименных
многоугольников.
Из каких правильных разноименных многоугольников можно составить
паркет?
Величина каждого угла 180º*(n–2)/n
<180º, в то же время 180º*(n–2)/n >
60º, (т. к. внутренний угол правильного треугольника 60º),
т. е. 60º ≤ 180º*(n–2)/n <180º
360º/2=180º, значит, окрестность точки нельзя замостить двумя
правильными многоугольниками.
360º/3=120º < 180º, наименьшее количество правильных многоугольников,
которые можно уложить, чтобы покрыть окрестность точки, равно 3.
360º/4=90º < 180º
360º/5=72º < 180º
360º/6=60º < 180º
Окрестность точки можно замостить 3, 4, 5, 6 правильными
многоугольниками.Таким образом, решение задачи
распадается на анализ тех вариантов, когда в вершине
паркета сходятся 3, 4, 5 и 6 правильных многоугольников.
Если длина стороны
многоугольников паркета
задана, то существует
только 11 различных
правильных паркетов:
Паркет из неправильный
многоугольников
Можно сложить паркет из произвольных неправильных, но все
же одинаковых треугольников.
Для этого сложим из треугольников одинаковые
параллелограммы, а затем замостим всю плоскость такими
параллелограммами.
Паркет из неправильных
многоугольников
Можно сложить паркет из прямоугольников, ромбов,
четырехугольников произвольной формы.
Вывод
Решив поставленные задачи и
проанализируя результаты, гипотеза
подтвердилась.
Библиография
1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г.,
Юдина И.И. «Геометрия», 7-9 классы,15-е изд.,
М.:"Просвещение", 2005
2. Якушенкова О.С.,[Электронный ресурс]:
https://globallab.org/ru/project/cover/2697b4ee-56de-4aa2-822b-11ddbb
Дата доступа:25.06.2015г